第1講二重積分的概念與性質(zhì)第10章重積分及其應(yīng)用主講教師|高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）（慕課版）本講內(nèi)容二重積分的概念二重積分的性質(zhì)0201301二重積分的概念曲頂柱體：以二元函數(shù)??=??(x,??)所表示的連續(xù)曲面為頂,??????面上的閉區(qū)域??為底面,平頂柱體體積=底面積×高以??的邊界曲線??為準(zhǔn)線,而母線平行于??軸的柱面為側(cè)面所圍成的柱體.引例14引例1

取近似

分割：由一組曲線網(wǎng)將??分割為??個(gè)小區(qū)域????1,????2,?,??????,以每個(gè)小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線,作母線平行于??軸的柱面將曲頂柱體分為??個(gè)小曲頂柱體

01二重積分的概念5引例1

求和01二重積分的概念4°取極限：

6平面薄片的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片占有??????平面上有界閉區(qū)域,如果薄片的面密度是為??上的正值連續(xù)函數(shù)??=??(??,??),(??(??,??)>0),求此平面薄片的質(zhì)量.

引例201二重積分的概念7設(shè)??(??,??)是有界閉區(qū)域??上的有界函數(shù),將閉區(qū)域??任意分成??個(gè)小區(qū)域????1,????2,?,??????,其中??????表示第??個(gè)小區(qū)域,也表示其面積，在每個(gè)子區(qū)域??????上任取(????,????),

作乘積??(????,????)??????,并作和定義10.1??01二重積分的概念8如果當(dāng)各子區(qū)域的最大直徑??趨于零時(shí),此和式極限存在,則稱(chēng)此極限為函數(shù)??(??,??)在閉區(qū)域??上的二重積分,即被積函數(shù)面積元素積分區(qū)域

01二重積分的概念9D

在直角坐標(biāo)系中,

曲頂柱體體積

平面薄片質(zhì)量

01二重積分的概念10若??(??,??)在有界閉區(qū)域??上連續(xù),則必存在.

二重積分存在的條件01二重積分的概念11

表示這些部分區(qū)域上柱體體積的代數(shù)和.(1)若??(??,??)≥0,則表示曲頂柱體體積；

(2)若??(??,??)≤0,則表示曲頂柱體體積的負(fù)值；

二重積的幾何意義01二重積分的概念(3)若在??上既有??(??,??)≥0,也有??(??,??)≤0,則本講內(nèi)容二重積分的概念二重積分的性質(zhì)02011302二重積分的性質(zhì)

推廣性質(zhì)10.1??性質(zhì)10.2??線性性質(zhì)

??為任意常數(shù).14

如果在??上??(??,??)=1,??為??的面積,則

可加性02二重積分的性質(zhì)性質(zhì)10.3??若??可以分為兩個(gè)閉區(qū)域??1和??2,則性質(zhì)10.4??15

如果在閉區(qū)域??上,有??(??,??)≤??(??,??),則有特別地,

如果在??上，??(??,??)≥0,則推論??保序性02二重積分的性質(zhì)性質(zhì)10.5??

16解??例1例10.1

故于是

因此比較

其中??是三角形區(qū)域,三頂點(diǎn)分別為(1,1)、(1,0)、(2,0).與的大小,02二重積分的性質(zhì)三角形斜邊方程為：??+??=2,在??內(nèi)有1≤??+??≤2<e

若??(??,??)在有界閉區(qū)域??上的最大值為??,最小值為??,則有

17

其中??為積分區(qū)域??的面積.證在??上恒有??≤??(??,??)≤??,估值定理性質(zhì)10.6??02二重積分的性質(zhì)18一、二重積分的概念

02二重積分的性質(zhì)19解??例2例10.2

估計(jì)積分值：其中??是橢圓閉區(qū)域：區(qū)域??的面積為??=??????,

在??上，

由估值定理知

故

02二重積分的性質(zhì)20設(shè)函數(shù)??(??,??)在有界閉區(qū)域??上連續(xù),??為積分區(qū)域??的面積，則在??上至少存在一點(diǎn)(??,??),使得

則性質(zhì)10.7??二重積分中值定理02二重積分的性質(zhì)

21一、二重積分的概念

根據(jù)介值定理,在??上至少存在一點(diǎn)(??,??),使得

即02二重積分的性質(zhì)

是介于連續(xù)函數(shù)??(??,??)的最小值、最大值之間的一個(gè)數(shù),22一、二重積分的概念這個(gè)平頂柱體以曲頂柱體的底為底,以曲頂柱體底面上某點(diǎn)處的高為高.二重積分的中值定理的幾何意義:對(duì)于任意的曲頂柱體,必存在一個(gè)與它體積相等的平頂柱體；02二重積分的性質(zhì)23解??例3同步習(xí)題10.1，提高1由積分中值定理知:

設(shè)

計(jì)算極限(其中(??,??)∈??）

02二重積分的性質(zhì)24一、二重積分的概念1.設(shè)??關(guān)于??軸對(duì)稱(chēng)：（1）若對(duì)?(??,??)∈??,都有??(??,???)=???(??,??),則??=0；（2）若對(duì)?(??,??)∈??,都有??(??,???)=??(??,??),則

其中

性質(zhì)10.8??對(duì)稱(chēng)性質(zhì)02二重積分的性質(zhì)252.設(shè)??關(guān)于??軸對(duì)稱(chēng)：(1)若對(duì)?(??,??)∈??,都有??(???,??)=???(??,??),則??=0；(2)若對(duì)?(??,??)∈??,都有??(???,??)=??(??,??),則其中

02二重積分的性質(zhì)

26解??例4例10.3Oxy?1D11

計(jì)算二重積分

02二重積分的性質(zhì)27

設(shè)閉區(qū)域??關(guān)于直線??=??軸對(duì)稱(chēng),則

設(shè)閉區(qū)域??:??2+??2≤1,則性質(zhì)10.9??輪換對(duì)稱(chēng)性02二重積分的性質(zhì)設(shè)二元函數(shù)??(??,??),??(??,??)在有界閉區(qū)域??上連續(xù)，且??(??,??)>0.28??例5同步習(xí)題10.1，提高2

證明：在??上至少存在一點(diǎn)(??,??),使得02二重積分的性質(zhì)29

得證設(shè)連續(xù)函數(shù)??(??,??)的最小值為??、最大值為??.

得02二重積分的性質(zhì)