專題四動態(tài)平衡問題、平衡中的臨界和極值問題動態(tài)平衡問題1.動態(tài)平衡:通過控制某些物理量,使物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢的變化,而在這個(gè)過程中物體又始終處于一系列的平衡狀態(tài),在問題的描述中常用“緩慢”等語言敘述.2.做題流程考向一解析法對研究對象進(jìn)行受力分析,畫出受力示意圖,根據(jù)物體的平衡條件列方程,得到因變量與自變量的函數(shù)表達(dá)式(通常為三角函數(shù)關(guān)系),最后根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化.例1[2023·海南卷]如圖所示,工人利用滑輪組將重物緩慢提起,下列說法正確的是 ()A.工人受到的重力和支持力是一對平衡力B.工人對繩的拉力和繩對工人的拉力是一對作用力與反作用力C.重物緩慢拉起過程,繩子拉力變小D.重物緩慢拉起過程,繩子拉力不變考向二圖解法在對物體進(jìn)行受力分析(一般受三個(gè)力)的基礎(chǔ)上,若一個(gè)力為恒力,另一個(gè)力方向不變或另一個(gè)力大小不變或另兩個(gè)力方向的夾角不變,可畫出這三個(gè)力的封閉矢量三角形來分析力的變化情況,圖解法也常用于求極值問題.例2[2024·吉林長春模擬]如圖所示,傾角為α的斜面體置于光滑水平面上,質(zhì)量為m的小球用細(xì)線拴住放在光滑斜面上,斜面足夠長,重力加速度為g,現(xiàn)用水平力F推斜面體使斜面體緩慢地向左移動,小球沿斜面緩慢升高.當(dāng)細(xì)線拉力最小時(shí),推力F等于 ()A.mgcosαB.12mgsinC.mgcos2αD.12mgsin2例3[2022·河北卷]如圖所示,用兩根等長的細(xì)繩將一勻質(zhì)圓柱體懸掛在豎直木板的P點(diǎn),將木板以底邊MN為軸向后方緩慢轉(zhuǎn)動直至水平,繩與木板之間的夾角保持不變,忽略圓柱體與木板之間的摩擦,在轉(zhuǎn)動過程中()A.圓柱體對木板的壓力逐漸增大B.圓柱體對木板的壓力先增大后減小C.兩根細(xì)繩上的拉力均先增大后減小D.兩根細(xì)繩對圓柱體拉力的合力保持不變【技法點(diǎn)撥】類別特點(diǎn)圖例分析說明動態(tài)三角形一個(gè)力恒定,另一個(gè)力方向不變利用一力恒定,一力方向不變化,可以作出動態(tài)三角形,分析方向變化的那個(gè)力的線段長度變化,根據(jù)不同位置判斷另一力的大小變化一個(gè)力恒定,另一個(gè)力大小不變一個(gè)力恒定,另一個(gè)力大小不變,以恒力末端為圓心作出矢量動態(tài)三角形,分析兩個(gè)變力的大小與方向動態(tài)圓一力恒定,另外兩力方向一直變化,但兩力的夾角不變利用兩力夾角不變,可以作出動態(tài)圓,恒力為圓的一條弦,根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化考向三相似三角形法在三力平衡問題中,如果有一個(gè)力是恒力,另外兩個(gè)力方向都變化,且題目給出了空間幾何關(guān)系,多數(shù)情況下力的矢量三角形與空間幾何三角形相似,可利用相似三角形對應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算.注意:構(gòu)建三角形時(shí)可能需要畫輔助線.例4(多選)[2024·江西鷹潭模擬]如圖所示,圓心為O、半徑為R的四分之一圓形光滑軌道豎直固定在水平地面上,在O點(diǎn)正上方有一光滑的小滑輪,小滑輪到軌道上B點(diǎn)的距離為h,輕繩的一端系一質(zhì)量為m的小球,靠放在光滑圓形軌道上的A點(diǎn),A點(diǎn)到小滑輪的距離為L,另一端繞過小滑輪后用力拉住.重力加速度大小為g,則()A.若使小球靜止在A點(diǎn),圓形軌道對小球的支持力大小FN=mgRB.若使小球靜止在A點(diǎn),繩對小球的拉力大小FT=2C.緩慢地拉繩,在使小球由A到B的過程中,圓形軌道對小球的支持力大小FN不變,繩對小球的拉力大小FT變小D.緩慢地拉繩,在使小球由A到B的過程中,圓形軌道對小球的支持力大小FN變小,繩對小球的拉力大小FT先變小后變大[反思感悟]

考向四正弦定理法(拉密定理)如圖所示,物體受三個(gè)共點(diǎn)力作用而處于平衡狀態(tài),則三個(gè)力中任意一個(gè)力的大小與另外兩個(gè)力的夾角的正弦成正比,即F1sinα=F例5[2024·湖南邵陽模擬]如圖所示,送水工人用推車運(yùn)桶裝水,到達(dá)目的地后,工人抬起把手,帶動板OA轉(zhuǎn)至水平即可將水桶卸下.水桶對板OA、OB的壓力分別為F1、F2,若桶與接觸面之間的摩擦不計(jì),∠AOB為銳角且保持不變,在OA由豎直緩慢轉(zhuǎn)到水平過程中 ()A.F1一直增大 B.F1先減小后增大C.F2一直減小 D.F2先增大后減小[反思感悟]

考向五“晾衣繩類”活結(jié)問題如圖所示,“活結(jié)”兩端繩子拉力大小相等,因結(jié)點(diǎn)所受水平分力相等,即Fsinθ1=Fsinθ2,故θ1=θ2=θ,根據(jù)幾何關(guān)系可知,sinθ=dL1+L2=dL,若兩桿間距離d不變,則上下移動懸線結(jié)點(diǎn),θ不變,若兩桿距離d減小,則θ減小,由2FTcosθ=mg,可知例6(多選)如圖所示,輕質(zhì)不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點(diǎn),懸掛衣服的衣架掛鉤是光滑的,掛于繩上處于靜止?fàn)顟B(tài).如果只人為改變一個(gè)條件,當(dāng)衣架靜止時(shí),下列說法正確的是 ()A.繩的右端上移到b',繩子拉力不變B.將桿N向右移一些,繩子拉力變大C.繩的兩端高度差越小,繩子拉力越小D.若換掛質(zhì)量更大的衣服,則衣架懸掛點(diǎn)右移[反思感悟]

變式1[2024·河北保定模擬]如圖所示,P為質(zhì)量不計(jì)的動滑輪,Q為高度可調(diào)節(jié)的滑輪,繞過滑輪Q的輕繩b一端連接在P上,另一端吊著小球,繞過動滑輪的長度一定的輕繩a,一端固定在A點(diǎn),另一端在水平天花板上,現(xiàn)將輕繩a的B端沿水平天花板緩慢向右移,同時(shí)調(diào)節(jié)滑輪Q的高度,使QP保持水平,則在移動過程中 ()A.a繩上拉力變大B.a繩上拉力不變C.b繩對滑輪P的作用力變大D.b繩對滑輪Q的作用力變小[反思感悟]

平衡中的臨界和極值問題1.臨界問題當(dāng)某物理量變化時(shí),會引起其他幾個(gè)物理量的變化,從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”,在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等.臨界問題常見的種類:(1)由靜止到運(yùn)動,摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力.(2)繩子恰好繃緊,拉力F=0.(3)剛好離開接觸面,支持力FN=0.2.極值問題平衡中的極值問題,一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題.3.解題方法(1)極限法:首先要正確地進(jìn)行受力分析和變化過程分析,找出平衡的臨界點(diǎn)和極值點(diǎn);臨界條件必須在變化中去尋找,不能停留在一個(gè)狀態(tài)來研究臨界問題,而要把某個(gè)物理量推向極端,即極大和極小.(2)數(shù)學(xué)分析法:通過對問題的分析,根據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(或畫出函數(shù)圖像),用數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值).(3)物理分析方法:根據(jù)物體的平衡條件,作出力的矢量圖,通過對物理過程的分析,利用平行四邊形定則進(jìn)行動態(tài)分析,確定最大值與最小值.例7[2024·浙江金華模擬]如圖所示,甲,乙兩柱體的截面分別為半徑均為R的圓和半圓,甲的右側(cè)頂著一塊豎直的擋板.若甲和乙的質(zhì)量相等,柱體的曲面和擋板可視為光滑,開始兩圓柱體柱心連線沿豎直方向,將擋板緩慢地向右移動,直到圓柱體甲剛要落至地面為止,整個(gè)過程半圓柱乙始終保持靜止,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,那么半圓柱乙與水平面間動摩擦因數(shù)的最小值為()A.32 B.C.34