專題七圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題1.過程分析重視過程分析,在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,當(dāng)轉(zhuǎn)速變化時(shí),物體的受力會(huì)發(fā)生變化,轉(zhuǎn)速繼續(xù)變化,會(huì)出現(xiàn)繩子張緊、繩子突然斷裂、靜摩擦力隨轉(zhuǎn)速增大而逐漸達(dá)到最大值、彈簧彈力大小方向發(fā)生變化等,從而出現(xiàn)臨界問題.2.方法突破(1)水平轉(zhuǎn)盤上的物體恰好不發(fā)生相對滑動(dòng)的臨界條件是物體與盤間恰好達(dá)到最大靜摩擦力.(2)物體間恰好分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零.(3)繩的拉力出現(xiàn)臨界條件的情形有:繩恰好拉直意味著繩上無彈力;繩上拉力恰好為最大承受力等.例1[2024·福建福州一中模擬]如圖所示,兩瓷罐P、Q(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓桌轉(zhuǎn)盤上,質(zhì)量分別為m、2m,離轉(zhuǎn)軸OO'的距離分別為R、2R,與轉(zhuǎn)盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ.若轉(zhuǎn)盤從靜止開始緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng),P、Q與轉(zhuǎn)盤均保持相對靜止,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,用ω表示轉(zhuǎn)盤的角速度,則()A.當(dāng)ω增大時(shí),P比Q先開始滑動(dòng)B.P、Q未滑動(dòng)前所受的摩擦力大小相等C.P開始滑動(dòng)時(shí),臨界角速度為ω=μgD.Q開始滑動(dòng)時(shí),臨界角速度為ω=μg[反思感悟]

變式1[2024·山西太原模擬]如圖甲所示,將質(zhì)量均為m的物塊A、B沿同一徑向置于水平轉(zhuǎn)盤上,兩者用長為L的水平輕繩連接,輕繩恰好伸直但無拉力.已知兩物塊與轉(zhuǎn)盤之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ,最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,物塊A與轉(zhuǎn)軸的距離等于L,整個(gè)裝置能繞通過轉(zhuǎn)盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)轉(zhuǎn)盤以不同角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),兩物塊所受摩擦力大小Ff與角速度ω二次方的關(guān)系圖像如圖乙所示,重力加速度為g.下列說法正確的是()A.乙圖中圖像a為物塊B所受Ff與ω2的關(guān)系圖像B.當(dāng)角速度ω增大到μgL時(shí),C.ω12∶ω2D.當(dāng)ω=ω2時(shí),輕繩的拉力大小為μmg變式2[2024·吉林長春一中模擬]如圖所示,水平轉(zhuǎn)臺上有一個(gè)質(zhì)量為m的物塊,用長為L的細(xì)繩將物塊連接在轉(zhuǎn)軸上,細(xì)繩與豎直轉(zhuǎn)軸的夾角為θ,此時(shí)繩中張力為零.物塊與轉(zhuǎn)臺間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ(μ<tanθ),設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,重力加速度大小為g.當(dāng)物塊隨轉(zhuǎn)臺由靜止開始加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),則下列說法不正確的是()A.物塊離開轉(zhuǎn)臺之前所受摩擦力不指向轉(zhuǎn)軸B.當(dāng)轉(zhuǎn)臺角速度ω=μgLsinθ時(shí),C.當(dāng)物塊的速度v=gLtanθsinθ時(shí),物塊對轉(zhuǎn)臺的壓力恰好為零D.當(dāng)轉(zhuǎn)臺的角速度ω>gLcosθ時(shí),隨著角速度的增加,例2(多選)[2024·云南昆明模擬]如圖甲所示,一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上,其軸線豎直,母線與軸線之間夾角為θ,一條長度為l的輕繩,一端固定在圓錐體的頂點(diǎn)O處,另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m的小球(可看作質(zhì)點(diǎn)),小球以角速度ω繞圓錐體的軸線做勻速圓周運(yùn)動(dòng),細(xì)線拉力F隨ω2變化關(guān)系如圖乙所示.重力加速度g取10m/s2,由圖乙可知()A.繩長為l=2mB.小球質(zhì)量為0.5kgC.母線與軸線之間夾角θ=30°D.小球的角速度為2rad/s時(shí),小球已離開錐面[反思感悟]

豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題繩—球模型與桿—球模型對比繩—球模型桿—球模型常見類型均是沒有支撐的小球均是有支撐的小球過最高點(diǎn)的臨界條件由mg=mv臨2r得vv臨=0討論分析(1)過最高點(diǎn)時(shí),v≥gr,FN+mg=mv2r,繩、圓軌道對球產(chǎn)生彈力(2)不能過最高點(diǎn)時(shí),v<gr,在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道小球在最高點(diǎn)時(shí):(1)當(dāng)v=0時(shí),FN=mg,FN為支持力,沿半徑背離圓心(2)當(dāng)0<v<gr時(shí),-FN+mg=mv2r,FN背離圓心,隨(3)當(dāng)v=gr時(shí),FN=0(4)當(dāng)v>gr時(shí),FN+mg=mv2r,FN指向圓心并隨考向一“繩—球”模型例3[2024·北京八中模擬]如圖甲所示,用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為m的小球,在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)(不計(jì)一切阻力),小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)繩對小球的拉力為FT,小球在最高點(diǎn)的速度大小為v,其FT?v2圖像如圖乙所示,則下列說法不正確的是()A.輕質(zhì)繩長為mbB.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹閍C.當(dāng)v2=c時(shí),輕質(zhì)繩最高點(diǎn)拉力大小為acb-D.若小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度平方v12=b,[反思感悟]

變式3(多選)[2024·廣東深圳模擬]如圖所示,有一豎直放置、內(nèi)壁光滑的圓環(huán),可視為質(zhì)點(diǎn)的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),已知圓環(huán)的半徑為R,重力加速度為g,小球在最低點(diǎn)Q的速度為v0,不計(jì)空氣阻力,則()A.小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)Q時(shí),處于超重狀態(tài)B.小球的速度v0越大,則在P、Q兩點(diǎn)小球?qū)A環(huán)內(nèi)壁的壓力差越大C.當(dāng)v0=5gR時(shí),小球在P點(diǎn)受內(nèi)壁壓力為mgD.當(dāng)v0>6gR時(shí),小球一定能通過最高點(diǎn)P考向二“桿—球”模型例4如圖所示,輕桿長3L,在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B(均可視為質(zhì)點(diǎn)),光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點(diǎn),外界給系統(tǒng)一定能量后,桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),桿對球B恰好無作用力.忽略空氣阻力,重力加速度為g,則球B在最高點(diǎn)時(shí)()A.球B的速度為零B.球A的速度大小為2gLC.水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力大小為1.5mgD.水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力大小為2.5mg變式4[2024·河北邯鄲模擬]如圖甲所示,小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圓形管道的最高點(diǎn)時(shí),管道對小球的彈力與過最高點(diǎn)時(shí)小球速度的平方的關(guān)系如圖乙所示(取豎直向下為正方向).MN為通過圓心的一條水平線.不計(jì)小球半徑、管道的粗細(xì),重力加速度為g.下列說法正確的是()A.管道的半徑為bgB.小球質(zhì)量為aC.小球在MN以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí),內(nèi)側(cè)管壁對小球可能有作用力D.小球在MN以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí),外側(cè)管壁對小球一定有作用力【技法點(diǎn)撥】求解豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問題的思路(1)定模型:首先判斷是繩—球模型還是桿—球模型.(2)確定臨界點(diǎn):v臨=gr,對繩—球模型來說是能否通過最高點(diǎn)的臨界,而對桿—球模型來說是FN表現(xiàn)為支持力還是拉力的臨界.(3)研究狀態(tài):通常情況下豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)只涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況.【技法點(diǎn)撥】(4)受力分析:對球在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)進(jìn)行受力分析,根據(jù)牛頓第二定律列出方程,F合=F向.(5)過程分析:應(yīng)用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律將初、末兩個(gè)狀態(tài)聯(lián)系起來列方程.斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題物體在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)斜面的傾角為θ,重力垂直斜面的分力與物體受到的支持力大小相等,解決此類問題時(shí),可以按以下操作,把問題簡化.例5[2024·廣東深圳模擬]如圖所示,在與水平地面夾角為θ=30°的光滑斜面上,有一半徑為R=0.1m的光滑圓軌道,一質(zhì)量為m=0.2kg的小球在圓軌道內(nèi)沿軌