高一上學(xué)期重點與數(shù)學(xué)試題一、集合與常用邏輯用語（一）核心知識點集合的概念與表示集合是數(shù)學(xué)研究的基本對象，需掌握列舉法、描述法、區(qū)間表示法三種表示形式。特別注意元素的確定性、互異性和無序性，例如在描述法中，代表元素的取值范圍（定義域）是隱含條件，如集合{x|y=√x}與{y|y=√x}表示不同集合，前者表示x的取值范圍[0,+∞)，后者表示y的取值范圍[0,+∞)。集合間的關(guān)系與運算子集、真子集、相等關(guān)系的判定需注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。在集合運算中，交集（A∩B）、并集（A∪B）、補(bǔ)集（?UA）的運算可借助數(shù)軸或韋恩圖直觀求解，例如當(dāng)A={x|-1≤x≤3}，B={x|2<x≤5}時，A∩B={x|2<x≤3}，A∪B={x|-1≤x≤5}。常用邏輯用語充分條件與必要條件的判定可轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系：若p對應(yīng)集合P，q對應(yīng)集合Q，則p是q的充分條件等價于P?Q，p是q的充要條件等價于P=Q。全稱量詞（?）與存在量詞（?）的否定需遵循“改量詞，否結(jié)論”原則，如“?x∈R，x2≥0”的否定為“?x∈R，x2<0”。（二）典型試題例1：已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，若B?A，求實數(shù)a的值。解析：解方程x2-3x+2=0得A={1,2}。當(dāng)B=?時，ax-2=0無解，即a=0；當(dāng)B≠?時，B={2/a}，則2/a=1或2/a=2，解得a=2或a=1。綜上，a=0,1,2。例2：設(shè)p：|x-1|≤2，q：x2-2x+1-m2≤0（m>0），若p是q的必要不充分條件，求m的取值范圍。解析：p對應(yīng)的集合P={x|-1≤x≤3}，q對應(yīng)的集合Q={x|1-m≤x≤1+m}。由p是q的必要不充分條件知Q?P，故1-m≥-1且1+m≤3（等號不同時成立），解得0<m≤2。二、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（一）核心知識點函數(shù)的三要素定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系是構(gòu)成函數(shù)的核心要素。定義域求解需考慮分式分母不為零、偶次根式被開方數(shù)非負(fù)、對數(shù)真數(shù)大于零等限制條件，例如函數(shù)f(x)=1/√(x-1)+ln(3-x)的定義域為(1,3)。值域求法包括配方法（二次函數(shù)）、換元法（如y=x+√(2x-1)）、單調(diào)性法（如y=x+1/x在(0,1]上單調(diào)遞減）等。函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性：定義法證明步驟為“取值—作差—變形—定號—結(jié)論”，例如證明f(x)=x3在R上單調(diào)遞增，可設(shè)x?<x?，則f(x?)-f(x?)=(x?-x?)(x?2+x?x?+x?2)>0。奇偶性：首先需驗證定義域關(guān)于原點對稱，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系。奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱（如y=x3），偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱（如y=x2）。周期性：若f(x+T)=f(x)，則T為函數(shù)周期，如y=sinx的最小正周期為2π。指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=a?（a>0,a≠1）與對數(shù)函數(shù)y=log?x（a>0,a≠1）互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線y=x對稱。需掌握運算性質(zhì)：a?·a?=a???，log?(MN)=log?M+log?N，以及特殊值log?1=0，log?a=1。例如計算2log?3+log?(1/3)=log?9+log?(1/3)=log?3。（二）典型試題例3：已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+3在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍。解析：函數(shù)f(x)的對稱軸為x=a，圖像開口向上，由單調(diào)性知a≥4，故a的取值范圍是[4,+∞)。例4：設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)=2?-1，求f(-2)的值及x<0時的解析式。解析：f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3。當(dāng)x<0時，-x>0，f(x)=-f(-x)=-(2??-1)=1-2??。三、三角函數(shù)（一）核心知識點三角函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式在平面直角坐標(biāo)系中，角α終邊上一點P(x,y)到原點距離為r，則sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。誘導(dǎo)公式可概括為“奇變偶不變，符號看象限”，例如sin(π/2+α)=cosα，tan(π-α)=-tanα。三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)正弦函數(shù)y=sinx：定義域R，值域[-1,1]，周期2π，奇函數(shù)，在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]上單調(diào)遞增。余弦函數(shù)y=cosx：定義域R，值域[-1,1]，周期2π，偶函數(shù)，在[2kπ,π+2kπ]上單調(diào)遞減。正切函數(shù)y=tanx：定義域{x|x≠π/2+kπ}，周期π，奇函數(shù)，在(-π/2+kπ,π/2+kπ)上單調(diào)遞增。三角恒等變換重點掌握兩角和差公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ，以及二倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α。（二）典型試題例5：已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，求cos(α-π/4)的值。解析：由α∈(π/2,π)得cosα=-4/5，故cos(α-π/4)=cosαcos(π/4)+sinαsin(π/4)=(-4/5)(√2/2)+(3/5)(√2/2)=-√2/10。例6：求函數(shù)f(x)=sin2x+√3sinxcosx+2cos2x的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間。解析：化簡得f(x)=1+(√3/2)sin2x+(1+cos2x)/2=(√3/2)sin2x+(1/2)cos2x+3/2=sin(2x+π/6)+3/2。最小正周期T=π，由-π/2+2kπ≤2x+π/6≤π/2+2kπ得單調(diào)遞增區(qū)間[-π/3+kπ,π/6+kπ]（k∈Z）。四、一元二次函數(shù)、方程和不等式（一）核心知識點一元二次不等式的解法結(jié)合二次函數(shù)圖像求解：對于ax2+bx+c>0（a>0），若Δ=b2-4ac>0，解集為(-∞,x?)∪(x?,+∞)；若Δ=0，解集為(-∞,-b/2a)∪(-b/2a,+∞)；若Δ<0，解集為R。含參不等式需分類討論，例如解x2-(a+1)x+a<0，可化為(x-1)(x-a)<0，當(dāng)a>1時解集為(1,a)，當(dāng)a=1時解集為空集，當(dāng)a<1時解集為(a,1)?；静坏仁綄τ谡龜?shù)a,b，有a+b≥2√(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。應(yīng)用需滿足“一正二定三相等”，例如求y=x+4/(x-1)（x>1）的最小值，可變形為y=(x-1)+4/(x-1)+1≥2√[(x-1)·4/(x-1)]+1=5，當(dāng)x=3時取等號。（二）典型試題例7：已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+2>0的解集為(-1,2)，求a+b的值。解析：由解集知方程ax2+bx+2=0的根為-1和2，且a<0。由韋達(dá)定理得-1+2=-b/a，(-1)×2=2/a，解得a=-1，b=1，故a+b=0。例8：某工廠要建造一個長方體無蓋蓄水池，容積為4800m3，深為3m，池底每平方米造價150元，池壁每平方米造價120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低造價是多少？解析：設(shè)池底長為xm，寬為ym，則3xy=4800，即xy=1600?？傇靸rz=150xy+120×2(3x+3y)=240000+720(x+y)≥240000+720×2√(xy)=240000+720×80=297600元，當(dāng)x=y=40m時取等號，最低造價為297600元。五、綜合應(yīng)用與拔高（一）函數(shù)與方程的綜合例9：已知函數(shù)f(x)=log?(x+1)，g(x)=log?(3x+1)。（1）解不等式f(x)≤g(x)；（2）若方程f(x)-g(x)=m有實根，求實數(shù)m的取值范圍。解析：（1）由log?(x+1)≤log?(3x+1)得x+1≤3x+1且x+1>0且3x+1>0，解得x≥0。（2）m=log?[(x+1)/(3x+1)]，令t=(x+1)/(3x+1)=1/3+2/(3(3x+1))，x>-1/3，t∈(0,1]，故m=log?t≤0，取值范圍是(-∞,0]。（二）三角函數(shù)的實際應(yīng)用例10：如圖，某觀測站C在目標(biāo)A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C處測得與C相距31km的公路上B處有一人正沿公路向A走去，走20km到達(dá)D，此時測得CD=21km，求此人距A還有多少km？解析：在△BCD中，BC=31，BD=20，CD=21，由余弦定理得cos∠BDC=(202+212-312)/(2×20×21)=-1/7，故sin∠BDC=4√3/7。在△ACD中，∠CAD=25°+35°=60°，∠ADC=180°-∠BDC，sin∠ADC=4√3/7，由正弦定理得AC/