高一上學(xué)期信息革命與數(shù)學(xué)再思考試題一、選擇題（每題5分，共30分）1.算法與信息革命的關(guān)聯(lián)性某電商平臺(tái)的"猜你喜歡"功能基于用戶(hù)歷史數(shù)據(jù)生成推薦列表，其核心邏輯屬于數(shù)學(xué)中的（）A.線(xiàn)性代數(shù)矩陣運(yùn)算B.概率統(tǒng)計(jì)貝葉斯模型C.圖論最短路徑算法D.數(shù)論素?cái)?shù)篩選原理2.數(shù)據(jù)加密中的數(shù)學(xué)原理RSA加密算法是互聯(lián)網(wǎng)安全的基礎(chǔ)技術(shù)，其安全性依賴(lài)于（）A.大數(shù)分解問(wèn)題的計(jì)算復(fù)雜度B.橢圓曲線(xiàn)的幾何特性C.離散傅里葉變換的不可逆性D.模運(yùn)算的周期性3.信息存儲(chǔ)的數(shù)學(xué)優(yōu)化某云存儲(chǔ)服務(wù)商采用"糾刪碼"技術(shù)，將10GB文件分割為n個(gè)數(shù)據(jù)塊和m個(gè)校驗(yàn)塊，當(dāng)任意3個(gè)塊損壞時(shí)仍可恢復(fù)原始文件。若采用（n,m）=(10,3)的配置，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是利用了（）A.線(xiàn)性方程組的秩理論B.排列組合的容斥原理C.微積分的極值定理D.復(fù)數(shù)域的正交性4.人工智能中的數(shù)學(xué)模型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程中，通過(guò)反向傳播算法調(diào)整權(quán)重參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵操作是對(duì)損失函數(shù)進(jìn)行（）A.拉普拉斯變換B.梯度下降計(jì)算C.傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)D.蒙特卡洛模擬5.量子計(jì)算的數(shù)學(xué)突破2023年谷歌宣布實(shí)現(xiàn)"量子霸權(quán)"，其量子處理器對(duì)特定問(wèn)題的計(jì)算速度遠(yuǎn)超經(jīng)典計(jì)算機(jī)，這得益于量子力學(xué)與（）的結(jié)合A.非歐幾何B.群論對(duì)稱(chēng)操作C.拓?fù)鋵W(xué)紐結(jié)理論D.模糊數(shù)學(xué)隸屬函數(shù)6.大數(shù)據(jù)分析的統(tǒng)計(jì)方法在新冠疫情趨勢(shì)預(yù)測(cè)中，流行病學(xué)模型SEIR（易感者-暴露者-感染者-康復(fù)者）的參數(shù)估計(jì)需要采用（）A.時(shí)間序列ARIMA模型B.回歸分析最小二乘法C.馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法D.主成分分析降維技術(shù)二、填空題（每空4分，共40分）二進(jìn)制數(shù)101101對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)值是______，在ASCII編碼中，該數(shù)值對(duì)應(yīng)的字符為_(kāi)_____（提示：大寫(xiě)字母A的ASCII碼為65）。某社交平臺(tái)用戶(hù)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)可抽象為無(wú)向圖，若共有100萬(wàn)用戶(hù)（頂點(diǎn)）和500萬(wàn)條好友關(guān)系（邊），則該圖的平均度為_(kāi)_____，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)"小世界效應(yīng)"時(shí)，任意兩用戶(hù)的平均最短路徑長(zhǎng)度數(shù)量級(jí)約為_(kāi)_____。圖像壓縮技術(shù)中，JPEG標(biāo)準(zhǔn)采用的離散余弦變換（DCT）將8×8像素矩陣轉(zhuǎn)換為頻域數(shù)據(jù)，其中直流分量（DC系數(shù)）位于矩陣的______位置，其數(shù)學(xué)意義是該區(qū)域像素的______。區(qū)塊鏈技術(shù)中的"哈希值"具有抗碰撞性，若采用SHA-256算法，無(wú)論輸入文件大小如何，輸出的哈希值固定為_(kāi)_____位二進(jìn)制數(shù)，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是一種______映射。在機(jī)器學(xué)習(xí)中，"過(guò)擬合"現(xiàn)象指模型對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)過(guò)度匹配，可通過(guò)增加正則化項(xiàng)（如L2范數(shù)）緩解，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為在損失函數(shù)中添加______，該操作在幾何上相當(dāng)于對(duì)參數(shù)向量施加______約束。三、計(jì)算題（共30分）12.搜索引擎的PageRank算法（15分）某小型網(wǎng)站由4個(gè)頁(yè)面組成，鏈接關(guān)系如下：頁(yè)面A鏈接到B、C頁(yè)面B鏈接到C頁(yè)面C鏈接到A、D頁(yè)面D鏈接到A（1）構(gòu)建轉(zhuǎn)移矩陣M，其中M[i][j]表示從頁(yè)面j跳轉(zhuǎn)到i的概率（假設(shè)用戶(hù)等概率點(diǎn)擊當(dāng)前頁(yè)面的所有鏈接，不考慮阻尼因子）；（5分）（2）若初始排名向量V0=[0.25,0.25,0.25,0.25]^T，計(jì)算經(jīng)過(guò)1次迭代后的排名向量V1；（5分）（3）當(dāng)?shù)螖?shù)趨于無(wú)窮時(shí)，排名向量將收斂到平穩(wěn)分布V*，寫(xiě)出求解V*的線(xiàn)性方程組（無(wú)需計(jì)算數(shù)值解）。（5分）13.圖像識(shí)別的特征提?。?5分）在人臉識(shí)別技術(shù)中，某算法將人臉圖像轉(zhuǎn)換為128維特征向量。已知數(shù)據(jù)庫(kù)中存在兩類(lèi)樣本：正樣本（本人）：均值向量μ1=[1,2,...,128]^T，協(xié)方差矩陣Σ1=I（單位矩陣）負(fù)樣本（他人）：均值向量μ2=[128,127,...,1]^T，協(xié)方差矩陣Σ2=I（1）計(jì)算兩類(lèi)樣本的馬氏距離平方DM2(μ1,μ2)；（5分）（2）若某待識(shí)別樣本x的特征向量為[64.5,64.5,...,64.5]^T（共128個(gè)64.5），分別計(jì)算x到兩類(lèi)樣本的歐氏距離平方DE2(x,μ1)和DE2(x,μ2)；（6分）（3）基于（2）的結(jié)果，判斷該樣本應(yīng)被識(shí)別為哪類(lèi)，并說(shuō)明決策依據(jù)。（4分）四、建模分析題（共50分）14.社交網(wǎng)絡(luò)信息傳播模型（25分）假設(shè)某謠言在1000人的封閉社群中傳播，每位成員每天有3次接觸機(jī)會(huì)，每次接觸時(shí)：若接觸者已感染，易感者被感染的概率為0.2已感染者次日轉(zhuǎn)為免疫者的概率為0.1（1）建立微分方程模型描述謠言傳播過(guò)程，定義變量并寫(xiě)出方程（提示：參考SIR模型）；（8分）（2）若初始狀態(tài)為1名感染者、999名易感者，計(jì)算第三天結(jié)束時(shí)的感染者數(shù)量（使用歐拉法，步長(zhǎng)Δt=1天）；（8分）（3）分析當(dāng)接觸概率從0.2提升至0.5時(shí)，模型平衡點(diǎn)的變化趨勢(shì)。（9分）15.推薦系統(tǒng)的協(xié)同過(guò)濾算法（25分）某視頻平臺(tái)收集到5位用戶(hù)對(duì)4部電影的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)（1-5分，-1表示未評(píng)分）：用戶(hù)\電影動(dòng)作片喜劇片紀(jì)錄片科幻片甲54-15乙4-125丙-1534丁235-1戊5243（1）使用余弦相似度計(jì)算用戶(hù)甲與其他用戶(hù)的相似度（保留2位小數(shù)）；（10分）（2）采用加權(quán)平均法預(yù)測(cè)用戶(hù)甲對(duì)紀(jì)錄片的評(píng)分（僅使用相似度最高的2位鄰居）；（10分）（3）指出該算法在處理"冷啟動(dòng)問(wèn)題"時(shí)的局限性，并提出一種結(jié)合內(nèi)容特征的改進(jìn)方案。（5分）五、開(kāi)放論述題（共20分）16.數(shù)學(xué)在信息革命中的雙重角色（1）結(jié)合具體案例，分析線(xiàn)性代數(shù)中的"特征值分解"在圖像處理（如主成分分析）和自然語(yǔ)言處理（如主題模型）中的應(yīng)用差異；（10分）（2）論述量子計(jì)算對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系的挑戰(zhàn)，包括但不限于對(duì)"可計(jì)算性理論"和"算法復(fù)雜度"概念的影響。（10分）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)要說(shuō)明）B2.A3.A4.B5.B6.C45，K（提示：ASCII碼65對(duì)應(yīng)A，45+20=65）10，log10(N)（N為用戶(hù)總數(shù)）(0,0)，灰度平均值256，單向哈希λ||w||2，L2范數(shù)球12.（3）V*=MV*且ΣVi=113.（3）識(shí)別為正樣本（距離更接近μ1）14.（1）dS/dt=-0.6SI/N，dI/dt=0.6SI/N-0.1I，dR/dt=0.1I15.（2）預(yù)測(cè)評(píng)分=4.2（鄰居為丙和戊）16.（2）需提及Shor算法對(duì)RSA的威脅、BQP復(fù)雜度類(lèi)等（注：完整參考答案及詳細(xì)評(píng)分細(xì)則另附，實(shí)際考試中應(yīng)根據(jù)解題步驟酌情給分）本文