國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2025年春《土木工程力學(xué)(本)》形考作業(yè)一、靜力學(xué)基本概念與物體的受力分析（一）靜力學(xué)基本概念靜力學(xué)是研究物體在力系作用下平衡規(guī)律的科學(xué)。力是物體間的相互機(jī)械作用，這種作用會(huì)使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變（外效應(yīng)），也會(huì)使物體發(fā)生變形（內(nèi)效應(yīng)）。在靜力學(xué)中，主要研究力的外效應(yīng)。力具有大小、方向和作用點(diǎn)三個(gè)要素，可用有向線(xiàn)段來(lái)表示。剛體是靜力學(xué)中的一個(gè)理想化模型，是指在力的作用下，其內(nèi)部任意兩點(diǎn)之間的距離始終保持不變的物體。在研究物體的平衡問(wèn)題時(shí)，當(dāng)物體的變形對(duì)問(wèn)題的研究影響很小時(shí)，可以將物體視為剛體。力系是指作用在物體上的一群力。如果兩個(gè)力系對(duì)同一物體的作用效果相同，則稱(chēng)這兩個(gè)力系為等效力系。若一個(gè)力與一個(gè)力系等效，則稱(chēng)這個(gè)力為該力系的合力，而該力系中的各力稱(chēng)為這個(gè)合力的分力。（二）物體的受力分析對(duì)物體進(jìn)行受力分析是解決靜力學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵步驟。首先要明確研究對(duì)象，將其從周?chē)矬w中分離出來(lái)，畫(huà)出分離體的簡(jiǎn)圖。然后在分離體上畫(huà)出所有作用于它的主動(dòng)力和約束反力。常見(jiàn)的約束類(lèi)型有柔體約束、光滑接觸面約束、圓柱鉸鏈約束、固定鉸支座、可動(dòng)鉸支座和固定端支座等。柔體約束的約束反力沿著柔體的中心線(xiàn)背離物體；光滑接觸面約束的約束反力通過(guò)接觸點(diǎn)，方向沿接觸面的公法線(xiàn)指向物體；圓柱鉸鏈約束的約束反力作用在銷(xiāo)釘與構(gòu)件的接觸點(diǎn)，方向不能預(yù)先確定，通常用兩個(gè)相互垂直的分力來(lái)表示；固定鉸支座的約束反力與圓柱鉸鏈約束相同；可動(dòng)鉸支座的約束反力垂直于支承面，通過(guò)銷(xiāo)釘中心；固定端支座的約束反力除了有兩個(gè)相互垂直的分力外，還有一個(gè)阻止物體轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶。例如，對(duì)于一個(gè)放置在光滑斜面上并用繩子拉住的物體，其主動(dòng)力為重力，約束反力有繩子的拉力（柔體約束反力）和斜面的支持力（光滑接觸面約束反力）。通過(guò)正確地對(duì)物體進(jìn)行受力分析，畫(huà)出受力圖，為后續(xù)的平衡計(jì)算奠定基礎(chǔ)。二、平面力系的簡(jiǎn)化與平衡（一）平面力系的簡(jiǎn)化平面力系可分為平面匯交力系、平面力偶系、平面平行力系和平面一般力系。力的平移定理是平面力系簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)，它表明作用在剛體上的力可以平行移動(dòng)到剛體上的任意一點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，這個(gè)附加力偶的矩等于原力對(duì)新作用點(diǎn)的矩。對(duì)于平面一般力系，向平面內(nèi)任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化，可得到一個(gè)主矢和一個(gè)主矩。主矢等于原力系中各力的矢量和，與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)；主矩等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心的矩的代數(shù)和，與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。根據(jù)主矢和主矩的不同情況，平面一般力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果可能是一個(gè)合力、一個(gè)合力偶或平衡。當(dāng)主矢不為零，主矩為零時(shí)，力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力，合力的大小和方向等于主矢，作用線(xiàn)通過(guò)簡(jiǎn)化中心；當(dāng)主矢為零，主矩不為零時(shí)，力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力偶，合力偶矩等于主矩；當(dāng)主矢和主矩都為零時(shí)，力系處于平衡狀態(tài)。（二）平面力系的平衡條件與平衡方程平面力系的平衡條件是主矢和主矩都為零。對(duì)于平面匯交力系，其平衡方程為\(\sumF_x=0\)和\(\sumF_y=0\)，即力系中各力在\(x\)軸和\(y\)軸上投影的代數(shù)和分別為零，可求解兩個(gè)未知量。平面力偶系的平衡條件是所有力偶矩的代數(shù)和為零，即\(\sumM=0\)，可求解一個(gè)未知量。平面一般力系的平衡方程有基本形式\(\sumF_x=0\)，\(\sumF_y=0\)，\(\sumM_O=0\)，其中\(zhòng)(O\)為任意一點(diǎn)，可求解三個(gè)未知量；還有二力矩形式\(\sumF_x=0\)，\(\sumM_A=0\)，\(\sumM_B=0\)，要求\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)的連線(xiàn)不垂直于\(x\)軸；三力矩形式\(\sumM_A=0\)，\(\sumM_B=0\)，\(\sumM_C=0\)，要求\(A\)、\(B\)、\(C\)三點(diǎn)不共線(xiàn)。以一個(gè)簡(jiǎn)支梁為例，梁上作用有集中力和分布力。首先對(duì)梁進(jìn)行受力分析，畫(huà)出受力圖，然后根據(jù)平面一般力系的平衡方程，列出\(\sumF_x=0\)，\(\sumF_y=0\)和\(\sumM_O=0\)，通過(guò)求解這些方程，可得到梁的支座反力。三、軸向拉伸與壓縮（一）軸向拉伸與壓縮的概念和實(shí)例軸向拉伸和壓縮是工程中常見(jiàn)的基本變形形式。當(dāng)桿件受到沿軸線(xiàn)方向的拉力或壓力作用時(shí)，桿件將產(chǎn)生軸向伸長(zhǎng)或縮短的變形。例如，橋梁中的拉桿、建筑中的柱等都可簡(jiǎn)化為軸向拉伸或壓縮的桿件。（二）內(nèi)力與應(yīng)力用截面法求桿件的內(nèi)力，即假想地將桿件在需要求內(nèi)力的截面處截?cái)?，分為兩部分，取其中一部分為研究?duì)象，根據(jù)平衡條件求出該截面的內(nèi)力。對(duì)于軸向拉壓桿件，其內(nèi)力為軸力，用\(F_N\)表示，軸力的正負(fù)規(guī)定為拉力為正，壓力為負(fù)。應(yīng)力是指桿件截面上某一點(diǎn)的內(nèi)力集度。對(duì)于軸向拉壓桿件，橫截面上的正應(yīng)力\(\sigma\)均勻分布，計(jì)算公式為\(\sigma=\frac{F_N}{A}\)，其中\(zhòng)(F_N\)為軸力，\(A\)為橫截面面積。正應(yīng)力的正負(fù)與軸力的正負(fù)相同，拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。（三）變形與胡克定律桿件在軸向拉力或壓力作用下，會(huì)產(chǎn)生軸向變形\(\Deltal\)和橫向變形\(\Deltab\)。軸向變形量\(\Deltal\)與軸力\(F_N\)、桿件原長(zhǎng)\(l\)成正比，與桿件的抗拉（壓）剛度\(EA\)成反比，即\(\Deltal=\frac{F_Nl}{EA}\)，這就是胡克定律，其中\(zhòng)(E\)為材料的彈性模量。橫向變形\(\Deltab\)與軸向變形\(\Deltal\)之間存在一定的關(guān)系，橫向應(yīng)變\(\varepsilon'=\frac{\Deltab}\)與軸向應(yīng)變\(\varepsilon=\frac{\Deltal}{l}\)之比的絕對(duì)值為材料的泊松比\(\mu\)，即\(\mu=\left|\frac{\varepsilon'}{\varepsilon}\right|\)。（四）強(qiáng)度計(jì)算為了保證桿件在工作時(shí)能夠安全可靠地工作，需要對(duì)桿件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。軸向拉壓桿件的強(qiáng)度條件為\(\sigma_{max}=\frac{F_{Nmax}}{A}\leq[\sigma]\)，其中\(zhòng)(\sigma_{max}\)為桿件的最大工作應(yīng)力，\(F_{Nmax}\)為最大軸力，\([\sigma]\)為材料的許用應(yīng)力。根據(jù)強(qiáng)度條件，可以進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)和確定許用荷載等計(jì)算。例如，已知一根鋼桿的直徑、材料的許用應(yīng)力和所受的軸向拉力，首先計(jì)算鋼桿的橫截面積，然后根據(jù)軸力和橫截面積求出橫截面上的正應(yīng)力，最后將正應(yīng)力與許用應(yīng)力進(jìn)行比較，判斷鋼桿是否滿(mǎn)足強(qiáng)度要求。四、扭轉(zhuǎn)（一）扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)也是工程中常見(jiàn)的基本變形形式之一。當(dāng)桿件受到一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于桿件軸線(xiàn)的力偶作用時(shí)，桿件將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，即各橫截面繞軸線(xiàn)發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。例如，汽車(chē)的傳動(dòng)軸、機(jī)器中的轉(zhuǎn)軸等都承受扭轉(zhuǎn)作用。（二）扭矩與扭矩圖用截面法求扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力，即扭矩，用\(T\)表示。扭矩的正負(fù)規(guī)定為：按右手螺旋法則，四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，拇指背離截面時(shí)扭矩為正，反之為負(fù)。為了直觀(guān)地表示扭矩沿桿件軸線(xiàn)的變化情況，可繪制扭矩圖。扭矩圖以橫坐標(biāo)表示截面的位置，縱坐標(biāo)表示扭矩的大小。（三）圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形對(duì)于圓軸扭轉(zhuǎn)，橫截面上的切應(yīng)力\(\tau\)沿半徑呈線(xiàn)性分布，圓心處切應(yīng)力為零，圓周處切應(yīng)力最大。最大切應(yīng)力\(\tau_{max}\)的計(jì)算公式為\(\tau_{max}=\frac{T}{W_t}\)，其中\(zhòng)(T\)為扭矩，\(W_t\)為抗扭截面系數(shù)，對(duì)于實(shí)心圓軸\(W_t=\frac{\pid^3}{16}\)，對(duì)于空心圓軸\(W_t=\frac{\piD^3}{16}(1-\alpha^4)\)，\(d\)為實(shí)心圓軸直徑，\(D\)為空心圓軸外徑，\(\alpha=\fracz3jilz61osys{D}\)，\(d\)為空心圓軸內(nèi)徑。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形用扭轉(zhuǎn)角\(\varphi\)表示，扭轉(zhuǎn)角與扭矩\(T\)、軸長(zhǎng)\(l\)成正比，與軸的抗扭剛度\(GI_p\)成反比，即\(\varphi=\frac{Tl}{GI_p}\)，其中\(zhòng)(G\)為材料的切變模量，\(I_p\)為極慣性矩，對(duì)于實(shí)心圓軸\(I_p=\frac{\pid^4}{32}\)，對(duì)于空心圓軸\(I_p=\frac{\piD^4}{32}(1-\alpha^4)\)。（四）強(qiáng)度和剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件為\(\tau_{max}=\frac{T_{max}}{W_t}\leq[\tau]\)，其中\(zhòng)(T_{max}\)為最大扭矩，\([\tau]\)為材料的許用切應(yīng)力。根據(jù)強(qiáng)度條件，可以進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)和確定許用荷載等計(jì)算。圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件為\(\theta_{max}=\frac{T_{max}}{GI_p}\times\frac{180}{\pi}\leq[\theta]\)，其中\(zhòng)(\theta_{max}\)為單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角的最大值，\([\theta]\)為許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。通過(guò)剛度條件，可以對(duì)圓軸的扭轉(zhuǎn)變形進(jìn)行控制。例如，已知一根實(shí)心圓軸的直徑、所受扭矩和材料的許用切應(yīng)力，首先計(jì)算抗扭截面系數(shù)，然后根據(jù)\(\tau_{max}=\frac{T}{W_t}\)求出最大切應(yīng)力，將其與許用切應(yīng)力比較，判斷圓軸是否滿(mǎn)足強(qiáng)度要求。五、梁的彎曲（一）彎曲的概念和實(shí)例彎曲是工程中另一種常見(jiàn)的基本變形形式。當(dāng)桿件受到垂直于軸線(xiàn)的外力或力偶作用時(shí)，桿件的軸線(xiàn)將由直線(xiàn)變成曲線(xiàn)，這種變形稱(chēng)為彎曲。以彎曲變形為主的桿件通常稱(chēng)為梁。例如，橋梁的梁、建筑中的樓板梁等都是梁的實(shí)例。（二）梁的內(nèi)力——剪力和彎矩用截面法求梁的內(nèi)力，即剪力\(F_S\)和彎矩\(M\)。剪力和彎矩的正負(fù)規(guī)定為：剪力使截面左側(cè)部分相對(duì)于右側(cè)部分向上錯(cuò)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)；彎矩使梁的下部受拉時(shí)為正，反之為負(fù)。為了直觀(guān)地表示剪力和彎矩沿梁軸線(xiàn)的變化情況，可繪制剪力圖和彎矩圖。繪制剪力圖和彎矩圖的方法有兩種，一是根據(jù)剪力和彎矩的方程繪制，二是根據(jù)剪力、彎矩與荷載集度之間的微分關(guān)系繪制。（三）梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力梁橫截面上的正應(yīng)力\(\sigma\)沿高度呈線(xiàn)性分布，中性軸處正應(yīng)力為零，離中性軸最遠(yuǎn)的邊緣處正應(yīng)力最大。對(duì)于矩形截面梁，最大正應(yīng)力\(\sigma_{max}=\frac{M_{max}y_{max}}{I_z}\)，其中\(zhòng)(M_{max}\)為最大彎矩，\(y_{max}\)為離中性軸最遠(yuǎn)的邊緣到中性軸的距離，\(I_z\)為截面對(duì)中性軸的慣性矩。梁橫截面上的切應(yīng)力\(\tau\)沿高度的分布較為復(fù)雜，對(duì)于矩形截面梁，最大切應(yīng)力\(\tau_{max}=\frac{3F_{Smax}}{2A}\)，其中\(zhòng)(F_{Smax}\)為最大剪力，\(A\)為橫截面面積。（四）梁的強(qiáng)度計(jì)算梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為\(\sigma_{max}=\frac{M_{max}}{W_z}\leq[\sigma]\)，其中\(zhòng)(W_z\)為抗彎截面系數(shù)，對(duì)于矩形截面\(W_z=\frac{bh^2}{6}\)，對(duì)于圓形截面\(W_z=\frac{\pid^3}{32}\)。梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為\(\tau_{max}\leq[\tau]\)。在進(jìn)行梁的設(shè)計(jì)時(shí)，一般先根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)截面尺寸，然后再進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核。例如，已知一根矩形截面梁的荷載、跨度和材料的許用應(yīng)力，首先根據(jù)梁的最大彎矩和正應(yīng)力強(qiáng)度條件，計(jì)算出所需的抗彎截面系數(shù)，進(jìn)而確定截面的尺寸，最后根據(jù)最大剪力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。六、組合變形（一）組合變形的概念和實(shí)例組合變形是指桿件同時(shí)發(fā)生兩種或兩種以上基本變形的情況。例如，工業(yè)建筑中的排架柱，在承受豎向荷載的同時(shí)還承受水平風(fēng)荷載，將產(chǎn)生軸向壓縮和彎曲的組合變形；機(jī)器中的轉(zhuǎn)軸，在傳遞扭矩的同時(shí)還承受橫向力，將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合變形。（二）斜彎曲斜彎曲是指當(dāng)橫向力不作用在梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)時(shí)，梁將在兩個(gè)相互垂直的縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)同時(shí)發(fā)生彎曲變形。對(duì)于斜彎曲，可將橫向力分解為作用在兩個(gè)縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)的分力，分別計(jì)算在兩個(gè)方向上的彎矩，然后根據(jù)疊加原理，求出梁橫截面上的正應(yīng)力。（三）拉伸（壓縮）與彎曲的組合當(dāng)桿件同時(shí)承受軸向拉力（或壓力）和橫向力作用時(shí)，將產(chǎn)生拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形。對(duì)于這種組合變形，先分別計(jì)算軸向拉（壓）力產(chǎn)生的正應(yīng)力和橫向力產(chǎn)生的正應(yīng)力，然后根據(jù)疊加原理，求出梁橫截面上的總正應(yīng)力。（四）扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合對(duì)于承受扭轉(zhuǎn)與彎曲組合變形的圓軸，先分別計(jì)算扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的切應(yīng)力和彎曲產(chǎn)生的正應(yīng)力，然后根據(jù)第三或第四強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為\(\sigma_{r3}=\sqrt{\sigma^2+4\tau^2}\leq[\sigma]\)，第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為\(\sigma_{r4}=\sqrt{\sigma^2+3\tau^2}\leq[\sigma]\)，其中\(zhòng)(\sigma\)為彎曲正應(yīng)力，\(\tau\)為扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。例如，對(duì)于一個(gè)承受扭轉(zhuǎn)與彎曲組合變形的圓軸，已知軸的直徑、所受扭矩和橫向力，首先計(jì)算扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力和彎曲正應(yīng)力，然后根據(jù)第三或第四強(qiáng)度理論，計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力，將其與許用應(yīng)力比較，判斷軸是否滿(mǎn)足強(qiáng)度要求。七、壓桿穩(wěn)定（一）壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定是指壓桿在軸向壓力作用下，保持其原有直線(xiàn)平衡狀態(tài)的能力。當(dāng)壓桿所受的軸向壓力較小時(shí)，壓桿能夠保持直線(xiàn)平衡狀態(tài)，且在受到微小干擾后，仍能恢復(fù)到原來(lái)