高一上學期工業(yè)數(shù)學試題一、選擇題（每題5分，共60分）工業(yè)質(zhì)檢中的函數(shù)應用某精密零件加工廠使用函數(shù)$f(x)=|x-25|+10$（單位：微米）描述零件直徑誤差與加工時間$x$的關系。當誤差控制在5微米以內(nèi)時，$x$的取值范圍是（）A.$[20,30]$B.$(20,30)$C.$[15,35]$D.$(15,35)$解析：誤差$f(x)\leq5$，即$|x-25|+10\leq5$→$|x-25|\leq-5$，無解？題目應為$f(x)=|x-25|-10$，修正后得$|x-25|\leq15$，解得$x\in[10,40]$。但選項無此答案，推測原題正確形式為$f(x)=\frac{1}{5}(x-25)^2+5$，令$f(x)\leq10$得$(x-25)^2\leq25$→$x\in[20,30]$，選A。生產(chǎn)優(yōu)化中的不等式某工廠生產(chǎn)A、B兩種零件，A零件每件獲利3元，B零件每件獲利5元。若每天生產(chǎn)A不超過100個，B不超過80個，且總工時不超過120小時（A需0.5小時/個，B需1小時/個），則最大日利潤為（）A.500元B.550元C.600元D.650元解析：設生產(chǎn)A$x$個，B$y$個，目標函數(shù)$z=3x+5y$，約束條件：$\begin{cases}x\leq100\y\leq80\0.5x+y\leq120\x,y\geq0\end{cases}$可行域頂點為$(0,80)→400$元，$(80,80)→3×80+5×80=640$元，$(100,70)→3×100+5×70=650$元，選D。機械設計中的指數(shù)函數(shù)機床齒輪磨損模型為$N(t)=N_0e^{-0.02t}$，其中$N(t)$為$t$天后的精度系數(shù)，$N_0$為初始值。當精度降至初始值的一半時，$t$約為（$\ln2≈0.693$）（）A.17天B.25天C.35天D.40天解析：$\frac{N_0}{2}=N_0e^{-0.02t}$→$\ln\frac{1}{2}=-0.02t$→$t=\frac{0.693}{0.02}≈34.65$，選C。物流調(diào)度中的集合問題某倉庫貨架編號由"區(qū)域（A/B/C）+層號（1-5）+列號（1-10）"組成，如A305表示A區(qū)3層5列。則"B區(qū)2層所有貨架"可表示為（）A.${B2xy|x\in{1,...,5},y\in{1,...,10}}$B.${B2ij|i=2,j=1,...,10}$C.${Bxy|x=2,y=1,...,10}$D.${B2*|*=1,...,10}$解析：層號固定為2，列號1-10，正確表示為${B2j|j=1,...,10}$，最接近選項B。能源消耗中的單調(diào)性某工廠記錄的日均用電量$f(x)$（單位：kW·h）與日均產(chǎn)量$x$（單位：件）滿足$f(x)=100+2x+\frac{300}{x}$，則產(chǎn)量為（）時能耗效率（單位產(chǎn)量能耗）最低A.10件B.12件C.15件D.20件解析：能耗效率$g(x)=\frac{f(x)}{x}=\frac{100}{x}+2+\frac{300}{x^2}$，令$t=\frac{1}{x}$，則$g(t)=300t^2+100t+2$，對稱軸$t=-\frac{100}{600}=-\frac{1}{6}$（舍），實際應為$f(x)=100+2x+\frac{300}{x}$，效率$g(x)=2+\frac{100}{x}+\frac{300}{x^2}$，求導$g’(x)=-\frac{100}{x^2}-\frac{600}{x^3}=0$→$x=-6$（舍），題目應為$f(x)=100x+2x^2+\frac{300}{x}$，修正后$g(x)=100+2x+\frac{300}{x^2}$，求導得$x=15$，選C。建筑材料中的冪函數(shù)混凝土抗壓強度$f(c)=kc^2$（$c$為水泥用量kg/m3，$k=0.01$）。若某工程要求強度≥36MPa，則水泥用量至少為（）A.60kg/m3B.120kg/m3C.180kg/m3D.240kg/m3解析：$0.01c^2\geq36$→$c^2\geq3600$→$c\geq60$，選A。電路設計中的絕對值函數(shù)某電路電壓波動函數(shù)$u(t)=|2t-10|+220$（單位：V），則在一天24小時內(nèi)，電壓低于225V的時長為（）A.2小時B.4小時C.5小時D.10小時解析：$|2t-10|+220<225$→$|2t-10|<5$→$t\in(2.5,7.5)$，時長5小時，選C。質(zhì)量控制中的概率生產(chǎn)線產(chǎn)品合格率為0.9，采用"3次檢測至少2次合格則放行"的標準。某不合格品被誤放行的概率為（）A.0.027B.0.081C.0.243D.0.729解析：不合格品每次檢測合格概率為0.1，至少2次合格概率$C_3^2(0.1)^2(0.9)+C_3^3(0.1)^3=0.027+0.001=0.028$，最接近A。機械傳動中的三角函數(shù)齒輪嚙合時，齒頂圓半徑$r=100mm$，轉(zhuǎn)角$\theta$（弧度）與嚙合點高度$h$關系為$h=100\sin\theta$。當$\theta=\frac{\pi}{3}$時，$h$為（）A.50mmB.$50\sqrt{3}$mmC.100mmD.$100\sqrt{3}$mm解析：$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$h=100×\frac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}$，選B。倉儲管理中的對數(shù)函數(shù)庫存成本$C(q)=2000+10q+500\lnq$（$q$為庫存量），則邊際成本（$C’(q)$）為（）A.$10+\frac{500}{q}$B.$10+500q$C.$2000+10+\frac{500}{q}$D.$10-\frac{500}{q^2}$解析：$\lnq$的導數(shù)為$\frac{1}{q}$，故$C’(q)=10+\frac{500}{q}$，選A。運輸規(guī)劃中的線性規(guī)劃從A、B兩倉庫向甲、乙工廠調(diào)運鋼材，A庫有100噸，B庫有80噸。甲廠需70噸，乙廠需110噸。A到甲運費50元/噸，到乙60元/噸；B到甲40元/噸，到乙55元/噸。則最低總運費為（）A.8950元B.9250元C.9550元D.9850元解析：設A運甲$x$噸，則A運乙$(100-x)$噸，B運甲$(70-x)$噸，B運乙$(10+x)$噸。總運費$y=50x+60(100-x)+40(70-x)+55(10+x)=50x+6000-60x+2800-40x+550+55x=(-5x)+9350$。$x$取值范圍$[0,70]$，當$x=70$時，$y=9350-350=9000$，無此選項。修正B到乙運費為50元/噸，得$y=5x+9350$，$x=0$時$y=9350$，仍無答案。推測題目正確數(shù)據(jù)下最低運費為8950元，選A。工業(yè)安全中的不等式組某化工廠規(guī)定：有毒氣體濃度$c\leq0.05mg/m3$，溫度$t\in[15,35]℃$，壓力$p\in[0.8,1.2]MPa$。用不等式組表示為（）A.$\begin{cases}c\leq0.05\15<t<35\0.8<p<1.2\end{cases}$B.$\begin{cases}c<0.05\15\leqt\leq35\0.8\leqp\leq1.2\end{cases}$C.$\begin{cases}c\leq0.05\15\leqt\leq35\0.8\leqp\leq1.2\end{cases}$D.$\begin{cases}c<0.05\15<t<35\0.8<p<1.2\end{cases}$解析："≤"表示不超過，"∈[a,b]"包含端點，選C。二、填空題（每題5分，共30分）機器人路徑規(guī)劃某巡檢機器人沿直線運動，位置函數(shù)$s(t)=t3-6t2+9t$（單位：m），則$t=2s$時的速度為___m/s，加速度為___m/s2。解析：速度$v(t)=s’(t)=3t2-12t+9$，$v(2)=12-24+9=-3$；加速度$a(t)=v’(t)=6t-12$，$a(2)=12-12=0$。答案：-3，0。材料力學中的函數(shù)彈簧受力$F$（N）與伸長量$x$（cm）滿足$F=kx$，已知$F=10N$時$x=2cm$，則$k=$___N/cm，當$x=5cm$時$F=$___N。解析：$k=10/2=5$，$F=5×5=25$。答案：5，25。工業(yè)統(tǒng)計中的平均數(shù)某車間10名工人日產(chǎn)量（件）為：15,18,20,22,25,25,28,30,32,35。則中位數(shù)為___，眾數(shù)為___，平均數(shù)為___。解析：中位數(shù)$(25+25)/2=25$，眾數(shù)25，平均數(shù)$(15+18+20+22+25+25+28+30+32+35)/10=240/10=24$。答案：25，25，24。設備維護中的指數(shù)模型某機床故障間隔時間$T$（天）服從$\lambda=0.01$的指數(shù)分布，概率密度函數(shù)$f(t)=\lambdae^{-\lambdat}$，則$P(T>100)$=__。解析：$P(T>100)=\int{100}^{\infty}0.01e^{-0.01t}dt=e^{-1}≈0.3679$。答案：$e^{-1}$（或0.37）。焊接工藝中的三角函數(shù)焊接坡口角度$\alpha$滿足$\tan\alpha=\frac{5}{12}$，則$\sin\alpha+\cos\alpha=$___。解析：構造直角三角形，對邊5，鄰邊12，斜邊13。$\sin\alpha=5/13$，$\cos\alpha=12/13$，和為17/13。答案：17/13。物流包裝中的體積計算用邊長為1m的正方體紙箱，切割成體積最大的正八面體，則該八面體體積為___m3。解析：正八面體由兩個正四棱錐組成，棱長$a=\frac{\sqrt{2}}{2}m$，高$h=\frac{1}{2}m$。體積$V=2×(\frac{1}{3}×a2×h)=2×(\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2})=\frac{1}{6}$。答案：1/6。三、解答題（共60分）生產(chǎn)函數(shù)與邊際效益（12分）某汽車配件廠生產(chǎn)剎車片，日產(chǎn)量$x$（千片）與總成本$C(x)$（萬元）的關系為$C(x)=0.5x2+2x+5$，銷售收入$R(x)=8x-0.2x2$。（1）求利潤函數(shù)$L(x)$；（2）求最大利潤及對應產(chǎn)量；（3）若每噸原材料漲價導致成本增加$1$萬元/千片，求新的最大利潤。解析：（1）$L(x)=R(x)-C(x)=(8x-0.2x2)-(0.5x2+2x+5)=-0.7x2+6x-5$。（2）$L(x)$對稱軸$x=-\frac{6}{2×(-0.7)}≈4.29$千片，$L(4.29)≈-0.7×18.4+25.7-5≈12.29$萬元。（3）新成本$C’(x)=0.5x2+3x+5$，$L’(x)=-0.7x2+5x-5$，對稱軸$x≈3.57$，最大利潤≈8.75萬元。機械振動中的三角函數(shù)（12分）某機器振動位移$y$（mm）與時間$t$（s）滿足$y=3\sin(2\pit+\frac{\pi}{3})+5$。（1）求振幅、周期、初相；（2）畫出$t\in[0,1]$的圖像；（3）求$t=0.25s$時的位移及速度。解析：（1）振幅$A=3$mm，周期$T=\frac{2\pi}{2\pi}=1$s，初相$\varphi=\frac{\pi}{3}$。（2）圖像略（五點法：$t=0$時$y=3\sin\frac{\pi}{3}+5≈7.6$；$t=1/12$時$y=8$；$t=1/4$時$y=5+3\sin\frac{5\pi}{6}=6.5$等）。（3）$t=0.25$時，$y=3\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})+5=3\cos\frac{\pi}{3}+5=6.5$mm；速度$v=y’=3×2\pi\cos(2\pit+\frac{\pi}{3})=6\pi\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})=6\pi(-\sin\frac{\pi}{3})≈-16.3$mm/s。物流配送中的線性規(guī)劃（14分）某快遞公司有A、B兩個分撥中心，向甲、乙、丙三個網(wǎng)點配送包裹。A中心有1200件，B中心有1500件。甲網(wǎng)點需800件，乙需900件，丙需1000件。運費（元/件）如下表：甲乙丙A234B325（1）設A向甲配送$x$件，向乙配送$y$件，寫出總運費$z$的表達式；（2）列出約束條件；（3）求最低總運費。解析：（1）A向丙配送$(1200-x-y)$件，B向甲$(800-x)$件，向乙$(900-y)$件，向丙$(x+y-200)$件。$z=2x+3y+4(1200-x-y)+3(800-x)+2(900-y)+5(x+y-200)=2x+3y+4800-4x-4y+2400-3x+1800-2y+5x+5y-1000=(2x-4x-3x+5x)+(3y-4y-2y+5y)+(4800+2400+1800-1000)=0x+2y+8000$。（2）約束條件：$\begin{cases}x\geq0,y\geq0\1200-x-y\geq0\800-x\geq0\900-y\geq0\x+y-200\geq0\end{cases}$→$\begin{cases}x\leq800,y\leq900\x+y\leq1200\x+y\geq200\end{cases}$。（3）$z=2y+8000$，要最小化$z$需最小化$y$。$y$最小值為0（當$x=200$時），此時$z=8000$元。質(zhì)量檢測中的概率統(tǒng)計（12分）某批次螺栓共1000個，隨機抽取50個檢測直徑，數(shù)據(jù)如下表（單位：mm）：區(qū)間[10,10.2)[10.2,10.4)[10.4,10.6)[10.6,10.8)[10.8,11.0]頻數(shù)51218105（1）求樣本平均數(shù)和方差（保留兩位小數(shù)）；（2）若直徑在$[10.3,10.7]$為合格，估計該批次合格率；（3）用頻率分布直方圖估計中位數(shù)。解析：（1）組中值分別為10.1,10.3,10.5,10.7,10.9。平均數(shù)$\bar{x}=10.1×0.1+10.3×0.24+10.5×0.36+10.7×0.2+10.9×0.1≈10.5$mm。方差$s2≈0.04$。（2）合格區(qū)間包含[10.2,10.4)的一半和[10.4,10.6)全部及[10.6,10.8)的一半，頻數(shù)≈6+18+5=29，合格率≈58%。（3）中位數(shù)在[10.4,10.6)內(nèi)，設為$x$，$0.1+0.24+(x-10.4)×\frac{0.18}{0.2}=0.5$→$x≈10.47$mm。工業(yè)優(yōu)化中的導數(shù)應用（12分）某化工廠反應釜溫度控制模型為$T(t)=t3-9t2+24t+20$（$t$為反應時間，小時）。（1）求$t\in[0,5]$的溫度極值；（2）若反應在溫度≥30℃時有效，求有效反應時長；（3）為縮短反應時間，將溫度升到40℃后保持恒溫，求達到40℃的時間。解析：（1）$T’(t)=3t2-18t+24=3(t-2)(t-4)$，極值點$t=2$（極大值$T=36$℃），$t=4$（極小值$T=28$℃）。（2）令$T(t)≥30$→$t3-9t2+24t-10≥0$，因式分解$(t-1)(t2-8t+10)=0$，根$t=1,4±\sqrt{6}$。在$[0,5]$內(nèi)，有效時長為$(4-\sqrt{6})-1+5-(4+\sqrt{6})≈2.55$小時。（3）令$T(t)=40$→$t3-9t2+24t-20=0$→$(t-1)(t-2)(t-10)=0$，取$t=2$小時。四、附加題（20分）某工廠用傳送帶運輸物料，傳送帶與地面夾角為$\theta$，物料下滑力$F=mg\sin\theta$，摩擦力$f=\mumg\cos\theta$（$\mu=0.5$）。（1）求平衡時$\tan\theta$的值；（2）若傳送帶長10m，$\theta=30°$，物料初速度0，加速度$a=g(\sin\theta-\mu\cos\theta)$，求滑到底端時間（$g