平行線性質(zhì)及判定習(xí)題及解析在平面幾何的學(xué)習(xí)中，平行線的性質(zhì)與判定是極為基礎(chǔ)且重要的內(nèi)容。它們不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)雜幾何圖形的基石，也在實(shí)際問題的解決中有著廣泛的應(yīng)用。掌握好這部分知識(shí)，關(guān)鍵在于深刻理解平行線的定義，準(zhǔn)確把握性質(zhì)定理與判定定理的聯(lián)系與區(qū)別，并能熟練運(yùn)用它們進(jìn)行簡單的推理和計(jì)算。本文將通過一系列典型習(xí)題，幫助讀者鞏固這些知識(shí)點(diǎn)，并提升解題能力。一、平行線的性質(zhì)平行線的性質(zhì)是基于兩直線平行這一前提，所得到的角之間的數(shù)量關(guān)系。它們是由平行關(guān)系推導(dǎo)出角的關(guān)系。1.性質(zhì)1（公理）：兩直線平行，同位角相等。（簡單說，就是如果兩條平行線被第三條直線所截，那么位置相同的角大小相等。）2.性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。（兩條平行線被第三條直線所截，位于截線兩側(cè)且夾在兩平行線之間的兩個(gè)角相等。）3.性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。（兩條平行線被第三條直線所截，位于截線同側(cè)且夾在兩平行線之間的兩個(gè)角的和為180度。）二、平行線的判定平行線的判定則是根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，來判斷兩條直線是否平行。它們是由角的關(guān)系推導(dǎo)出平行關(guān)系。1.判定1（公理）：同位角相等，兩直線平行。（如果兩條直線被第三條直線所截，所得到的同位角相等，那么這兩條直線平行。）2.判定2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。（如果兩條直線被第三條直線所截，所得到的內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。）3.判定3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。（如果兩條直線被第三條直線所截，所得到的同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。）4.補(bǔ)充判定：*在同一平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（平行的傳遞性）*在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。三、性質(zhì)與判定的區(qū)別與聯(lián)系*區(qū)別：*性質(zhì)：已知兩直線平行，得出角的關(guān)系。（平行→角等或互補(bǔ)）*判定：已知角的關(guān)系，得出兩直線平行。（角等或互補(bǔ)→平行）*聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，它們互為逆命題。理解這種互逆關(guān)系，是掌握平行線知識(shí)的關(guān)鍵。四、習(xí)題及解析（一）判斷題（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）1.同位角相等。（）2.兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。（）3.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。（）4.若兩條直線平行，則同旁內(nèi)角相等。（）解析：1.×解析：只有當(dāng)兩條直線平行時(shí)，同位角才相等。缺少“兩直線平行”這個(gè)前提條件，同位角不一定相等。2.×解析：與上題類似，兩條直線被第三條直線所截，只有當(dāng)這兩條直線平行時(shí)，內(nèi)錯(cuò)角才相等。3.√解析：這是平行線判定定理3的直接表述，正確。4.×解析：兩條直線平行，同旁內(nèi)角應(yīng)該是互補(bǔ)（和為180°），而不是相等。（二）選擇題1.如圖，直線a、b被直線c所截，下列條件中，不能判定a∥b的是（）A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠3+∠4=180°D.∠1=∠4（*此處應(yīng)有示意圖：直線c截a、b，形成∠1（a上側(cè)左，c左側(cè)），∠2（b上側(cè)左，c左側(cè)，與∠1同位），∠3（b下側(cè)左，c左側(cè)，與∠1內(nèi)錯(cuò)），∠4（a下側(cè)右，c右側(cè)，與∠1對(duì)頂角或其他關(guān)系，使得∠1與∠4是同旁內(nèi)角或其他非判定角*）*假設(shè)示意圖中∠1與∠2是同位角，∠2與∠3是對(duì)頂角，∠3與∠4是同旁內(nèi)角，∠1與∠4是內(nèi)錯(cuò)角或其他。為方便解析，我們?cè)O(shè)定一個(gè)常見模型：∠1和∠2是同位角，∠2和∠3是內(nèi)錯(cuò)角（假設(shè)a、b被c所截，∠3是∠2的內(nèi)錯(cuò)角），∠3和∠4是同旁內(nèi)角，∠1和∠4是對(duì)頂角或不構(gòu)成判定關(guān)系。*解析：A.∠1=∠2，同位角相等，可判定a∥b。B.∠2=∠3，若∠2與∠3是內(nèi)錯(cuò)角，則可判定；若只是對(duì)頂角（此時(shí)∠2和∠3是對(duì)頂角，永遠(yuǎn)相等，但與a、b是否平行無關(guān)），則不能。根據(jù)常見圖形設(shè)定，若∠2和∠3是對(duì)頂角，則此條件不能判定。此處假設(shè)∠2與∠3是對(duì)頂角，故不能判定。C.∠3+∠4=180°，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可判定a∥b。D.∠1=∠4，若∠1與∠4是內(nèi)錯(cuò)角，則可判定。根據(jù)假設(shè)，若∠1與∠4是內(nèi)錯(cuò)角，則可以。若題目設(shè)定∠1與∠4是同旁內(nèi)角的對(duì)頂角等，則可能不同。此處按常見圖形，若D選項(xiàng)∠1與∠4是內(nèi)錯(cuò)角，則正確。但根據(jù)選項(xiàng)B的設(shè)定，若B中∠2與∠3是對(duì)頂角，則B不能判定。故本題選B。（具體需結(jié)合準(zhǔn)確圖形，但此處按常見錯(cuò)誤選項(xiàng)設(shè)置，B選項(xiàng)通常是此類題目的干擾項(xiàng)，若∠2和∠3只是對(duì)頂角，則無法判定平行）2.下列說法中，正確的是（）A.不相交的兩條直線是平行線。B.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。C.兩直線平行，同旁內(nèi)角相等。D.兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。解析：A.錯(cuò)誤，在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線才是平行線。B.錯(cuò)誤，應(yīng)該是“過直線外一點(diǎn)”有且只有一條直線與已知直線平行。C.錯(cuò)誤，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。D.正確，這是平行線的判定定理2。故本題選D。（三）解答題1.如圖，已知：AB∥CD，∠1=50°，求∠2、∠3、∠4的度數(shù)，并說明理由。（*此處應(yīng)有示意圖：AB∥CD，直線EF分別交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F?！?是∠AEF（AB上方，EF左側(cè)），∠2是∠EFD（CD下方，EF右側(cè)，與∠1同位或內(nèi)錯(cuò)），∠3是∠CFE（CD上方，EF右側(cè)，與∠1同旁內(nèi)角），∠4是∠BEF（AB下方，EF左側(cè)，與∠1鄰補(bǔ)角）。*）解析：∵AB∥CD（已知）∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）或（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，取決于∠2的位置）∵∠1=50°（已知）∴∠2=50°（等量代換）∵AB∥CD（已知）∴∠1=∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）或∠1+∠3=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）*假設(shè)∠3是∠1的同旁內(nèi)角，即∠AEF與∠CFE是同旁內(nèi)角。*∴∠1+∠3=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∴∠3=180°-∠1=180°-50°=130°∵∠1+∠4=180°（鄰補(bǔ)角的定義）∴∠4=180°-∠1=130°*或者，如果∠4與∠2是對(duì)頂角，也可得出∠4=∠2=50°，需根據(jù)圖形。此處假設(shè)∠4是∠1的鄰補(bǔ)角。*（根據(jù)實(shí)際圖形，答案可能為∠2=50°，∠3=130°，∠4=130°或其他，關(guān)鍵在于結(jié)合圖形和定理說明。）2.已知：如圖，∠A=∠D，∠B=∠C。求證：AD∥BC，AB∥CD。（*此處應(yīng)有示意圖：一個(gè)四邊形ABCD，或AD、BC被AB、CD所截形成的“Z”或“F”型?！螦與∠D是同旁內(nèi)角，∠B與∠C是同旁內(nèi)角，或∠A與∠B是內(nèi)錯(cuò)角等。*）*假設(shè)示意圖為：AB和CD是兩條直線，被AD所截，形成∠A（AB與AD交點(diǎn)處，AB上方，AD左側(cè)）和∠D（CD與AD交點(diǎn)處，CD下方，AD右側(cè)），構(gòu)成同旁內(nèi)角；被BC所截，形成∠B（AB與BC交點(diǎn)處，AB下方，BC右側(cè)）和∠C（CD與BC交點(diǎn)處，CD上方，BC左側(cè)），構(gòu)成同旁內(nèi)角。*證明：（1）求證AD∥BC：∵∠A=∠D（已知）*若∠A和∠D是AB、CD被AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角，則可直接判定AB∥CD。但此處要證AD∥BC，需看∠A與∠B的關(guān)系。**假設(shè)∠A+∠B=180°，但題目已知∠A=∠D，∠B=∠C。若四邊形內(nèi)角和為360°，則∠A+∠B+∠C+∠D=360°，即2∠A+2∠B=360°，∠A+∠B=180°，則AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)）。*∵∠A=∠D，∠B=∠C（已知）又∵四邊形內(nèi)角和為360°（或根據(jù)圖形中AD、BC被AB所截得∠A和∠B為同旁內(nèi)角）∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°∴2∠A+2∠B=360°（等量代換）∴∠A+∠B=180°∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）（2）求證AB∥CD：同理，∠A+∠B=180°，且∠A=∠D∴∠D+∠B=180°又∵∠B=∠C∴∠D+∠C=180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）*或者，如果∠A與∠B是AD、BC被AB所截的內(nèi)錯(cuò)角，且∠A=∠B，則可直接判定AD∥BC。具體證明過程需嚴(yán)格依據(jù)圖形給出的角的位置關(guān)系。上述證明為一種可能的思路。*（四）綜合應(yīng)用題如圖，已知直線AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，EG平分∠AEF，F(xiàn)H平分∠EFD。求證：EG∥FH。證明：∵AB∥CD（已知）∴∠AEF=∠EFD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵EG平分∠AEF（已知）∴∠GEF=1/2∠AEF（角平分線的定義）∵FH平分∠EFD（已知）∴∠HFE=1/2∠EFD（角平分線的定義）∴∠GEF=∠HFE（等量代換）∴EG∥FH（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）五、總結(jié)平行線的性質(zhì)與判定是平面幾何的入門知識(shí)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)三角形、四邊形等復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，務(wù)必注意以下幾點(diǎn)：1.明確條件與結(jié)論：性質(zhì)