1.5.1全稱量詞與存在量詞人教A版(2019)必修第一冊(cè)1.理解全稱量詞與存在量詞的含義.2.能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示含有量詞的命題及

判斷命題的真假.學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)新課引入我們知道，命題是可以判斷真假的陳述句.在數(shù)學(xué)中，有時(shí)會(huì)遇到一些含有變量的陳述句，由于不知道變量代表什么數(shù)，無(wú)法判斷真

假，因此它們不是命題.但是，如果在原語(yǔ)句的基礎(chǔ)上，用一個(gè)短語(yǔ)

對(duì)變量的取值范圍進(jìn)行限定，就可以使它們成為一個(gè)命題，我們把這

樣的短語(yǔ)稱為量詞.本節(jié)將學(xué)習(xí)全稱量詞和存在量詞.新課引入下列語(yǔ)句是命題嗎?比較(1)和(3),(2)和(4),它們之間有什么關(guān)系?(1)x>3

;

(2)2x+1

是整數(shù)；(3)對(duì)所有的

x∈R,x>3;

(4)

對(duì)任意一個(gè)

x∈Z,2x+1

是整數(shù)

.語(yǔ)句(1)(2)中含有變量

x,

由于不知道變量

x代表什么數(shù)，無(wú)法判斷它們的真假，所以它們不是命題.語(yǔ)句(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用短語(yǔ)"所有的"對(duì)變量

x進(jìn)行限定；語(yǔ)句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用短語(yǔ)”任意一個(gè)”對(duì)變量x

進(jìn)行限定，從而使(3)(4)成為可以判斷真假的語(yǔ)句，因此語(yǔ)句(3)(4)是命題.新課引入例如，命題”對(duì)任意的

n∈Z,2n+1

是奇數(shù)”"所有的正方形都是矩形"都是全稱量詞命題.

短語(yǔ)"所有的"“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)"V"

表

示

.含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.常見(jiàn)的

全

稱

量

詞

還

有"一切""每

一

個(gè)”"任給"等

.全稱量詞全稱量詞命題通常，將含有變量

x的語(yǔ)句用

p(x),q(x),r(x),…

表示，變量x

的取值范圍用

M表示.那么,全稱量詞命題“

對(duì)

M中任意一個(gè)x,p(x)

成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為Vx∈M,p(x).例題來(lái)了例1:判斷下列全稱量詞命題的真假：(1)所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；

如果一個(gè)大于1的整數(shù)，除

1和自身外無(wú)其他正因數(shù)，則稱(2)Vx∈R,|x|+1≥1

;

這個(gè)正整數(shù)為素?cái)?shù).(3)對(duì)任意一個(gè)無(wú)理數(shù)

x,x2

也是無(wú)理數(shù).例題來(lái)了分

析

：要判定全稱量詞命題"Vx∈M,p(x)"

是真命題，需要對(duì)集合

M

中每個(gè)元素

x,證明

p(x)

成立；如果在集合M

中找到一個(gè)元素

xo,使p(xo)這個(gè)方法就是“舉反例”.不成立，那么這個(gè)全稱量詞命題就是假命題.例題來(lái)了解

析

：(1)2是素?cái)?shù)但2不是奇數(shù).所以，全稱量詞命題”所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)"是假命題.(2)Vx∈R,總

有|x|≥0,因而|x|+1≥1.

所以，全稱量詞命題

"Vx∈R,

|x|+1≥1"是真命題.(3)

√2是無(wú)理數(shù)，但(

√2)2=2是有理數(shù).所以，全稱量詞命題”對(duì)每一

個(gè)無(wú)理數(shù)

x,x2

也是無(wú)理數(shù)”是假命題.有什么關(guān)系?(1)2x+1=3

;(2)x能

被

2

和

3整除；(3)存在一個(gè)

x∈R,

使2x+1=3

;(4)至少有一個(gè)

x

∈Z,x能

被

2

和

3

整

除

.新知探究下列語(yǔ)句是命題嗎?比較(1)和(3),(2)和(4),它們之間新知探究容易判斷，(1)(2)不是命題

.語(yǔ)句(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用短語(yǔ)"存在一個(gè)“對(duì)變量

x的取值進(jìn)行限定；語(yǔ)句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用“至少有一個(gè)“對(duì)變量

x的取值進(jìn)行限定，從而使(3)(4)變成了可以判斷真假的陳述句，因此(3)(4)是命題.短語(yǔ)

”存在一個(gè)""至少有一個(gè)"在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)

”掃“

表

示

.含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.存在量詞

常見(jiàn)的存在量詞還有

"

有些"

"

有

一

個(gè)

"

"

對(duì)

某

些

"

"有的”等.例如，命題”有的平行四邊形是菱形""有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”都是存在量詞命題

.存在量詞命題“存在

M

中的元素

x,p(x)

成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)

記為3x∈M,p(x)

.存在量詞命題例題來(lái)了例2:判斷下列存在量詞命題的真假：(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)

x,

使x2+2x+3=0;(2)平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線；(3)有些平行四邊形是菱形.例題來(lái)了分

析

：要判定存在量詞命題”3x∈M,p(x)”

是真命題，只需在集合

M

中找到一個(gè)元素

x,使p(x)

成立即可；如果在集合

M中，使

p(x)

成立的元素

x不存在，那么這個(gè)存在量詞命題是假命題.例題來(lái)了解

析

：(1)由于△=22-4×3=

-

8<0,因此一元二次方程無(wú)實(shí)根.所以，存在量詞命題"有一個(gè)實(shí)數(shù)

x,

使x2+2x+3=0"

是假命題

.(2)由于平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，因此平面內(nèi)不可能存在兩條相交直線垂直于同一條直線.所以，存在量詞命題”平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線"是假命題.例題來(lái)了解

析

：(3)由于正方形既是平行四邊形又是菱形，所以存在量詞命題"有些平行四邊形是菱形"是真命題.課堂練習(xí)1.下列不是全稱量詞的是(D

)A.任意一個(gè)

B.所有的

C.每一個(gè)

D.

很多解

析

：很明顯A,B,C中的量詞均是全稱量詞，D中的量詞不是全稱量詞.課堂練習(xí)2.下列命題中，是真命題的全稱量詞命題的是(

D)A.實(shí)數(shù)都大于0

B.梯形兩條對(duì)角線相等C.

有小于1的自然數(shù)

D.三角形內(nèi)角和為180度課堂練習(xí)解

析

：A.實(shí)數(shù)都大于0,是全稱量詞命題，假命題；B.梯形兩條對(duì)角線相等，是全稱量詞命題，假命題；C.

有小于1的自然數(shù)，是存在量詞命題，真命題；D.三角形的內(nèi)角和為180度，是全稱量詞命題，真命題.故選D.課堂練習(xí)3.下列命題中，存在量詞命題的個(gè)數(shù)是(A)①實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)；②正方形的四條邊相等；③存在整數(shù)n,使

n

能被11整除.A.1

B.2

C.3

D.0課堂練習(xí)解

析

：①可改寫(xiě)為，任意實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，故為全稱量詞命題；②可改寫(xiě)為：任意正方形的四條邊相等，故為全稱量詞命題；③是存在量詞命題.故選A.課堂練習(xí)4.已知命題p:3x∈R,x2+2x+2-a=0

為真命題，則實(shí)數(shù)a

的值不能是(D)A.1

B.2C.3D.-3解

析

：因?yàn)槊}p:3x∈R,x2+2x+2-

a=0

為真命題，所以△=4-4(2-a)≥0,解得a≥1,結(jié)合選項(xiàng)可得實(shí)數(shù)a

的值不能是-3,故選D.課堂練習(xí)5.判斷下列全稱量詞命題的真假：(1)每個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360°;(2)任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根；(3)Vx∈{yl

y是無(wú)理數(shù)},x3是無(wú)理數(shù).課堂練習(xí)解

析

：(1)真命題.連接一條對(duì)角線，將一個(gè)四邊形分成兩個(gè)三角形，而一個(gè)三角形的內(nèi)角和180°,所以四邊形的內(nèi)角和都是360°是真命題；(2)假命題.因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，所以任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根是假命題

；(3)假命題因?yàn)閤=3√2是無(wú)理數(shù)，x3=2

是有理數(shù)，所以

Vx∈{yl

y是無(wú)理數(shù)},x3是無(wú)理數(shù)是假命題.課堂練習(xí)6.判斷下列存在量詞命題的真假：(1)存在一個(gè)四邊形，它的兩條對(duì)角線互相垂直；(