涂色問題分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應用【復習回顧】涂色問題是高中計數(shù)原理中的一個重要專題，它涉及到排列、組合、分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理等多個知識點。通過涂色問題，我們可以更好地理解計數(shù)原理在實際問題中的應用，并鍛煉邏輯思維和問題解決能力。本節(jié)將詳細介紹涂色問題的基本概念、解題方法和典型例題。基本概念涂色問題的基本概念涂色問題通常涉及一個圖形（如矩形、立方體等）和若干種顏色。問題的目標是用給定的顏色對圖形的各個部分進行涂色，同時滿足一定的條件（如相鄰部分不能涂相同顏色等）。根據(jù)圖形的形狀和涂色條件的不同，涂色問題可以分為多種類型。解題方法應用計數(shù)原理：根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)和涂色條件，我們可以應用排列、組合、分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理等計數(shù)原理來求解。例如，如果圖形的各個部分可以獨立涂色，則可以使用乘法原理；如果涂色方案可以根據(jù)某種特征進行分類，則可以使用加法原理。分步涂色法：

當需要在多個區(qū)域或點上涂色時，可以一步一步地進行，每一步都根據(jù)已涂色的部分來決定下一步的選擇。這種方法適用于相鄰區(qū)域需要不同顏色的情況，通過逐步推進，確保每一步的涂色都是合法的。分類討論法：

當有多種顏色可選，且需要根據(jù)不同的顏色組合或特定規(guī)則來涂色時，可以通過分類討論來解決這個問題。先確定一個大的分類，如所有顏色都使用的情況，然后分別討論各種子情況，如某些顏色不能使用的情況等。特殊位置優(yōu)先法：在涂色過程中，某些區(qū)域或點可能由于其特殊的位置（如位于圖形的邊緣或角落）而需要優(yōu)先涂色。優(yōu)先考慮這些區(qū)域可以簡化問題，因為它們對涂色方法的限制可能更多。平面化空間問題：對于一些三維空間的問題，可以通過轉(zhuǎn)化為平面問題來簡化解決。例如，將立體圖形的表面展開成平面圖形，然后在平面上應用涂色算法。

排除法：在某些情況下，我們可以通過排除不滿足條件的涂色方案來簡化問題。例如，如果相鄰部分不能涂相同顏色，我們可以先計算所有可能的涂色方案，然后排除相鄰部分顏色相同的方案。典型例題例1.如圖，矩形的對角線把矩形分成A、B、C、D四部分，現(xiàn)用五種不同色彩給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，共有（

）種不同的涂色方法？

A．260B．180C．240D．120答案：A例2.漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶．如圖所示的弦圖由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成．現(xiàn)用5種不同的顏色對這四個直角三角形和一個正方形區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方案有（

）A．180B．192C．300D．420答案：D例2．用5種不同顏色給右圖所示的五個圓環(huán)涂色，要求相交的兩個圓環(huán)不能涂相同的顏色，共有（

）種不同的涂色方案．A．1140B．1520C．1400D．1280【解析】從左到右依次涂色(也可以任選一個環(huán)作為開始)，第一個圓環(huán)有5種選擇，第二個圓環(huán)以及后面每個圓環(huán)均有4種選擇，所以總數(shù)為：故選：D.例3.有4種不同顏色的涂料，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂色方法共有（

）A．1512種B．1346種C．912種D．756種【解析】按B，D區(qū)域顏色是否相同分類：1、先涂A區(qū)域，則有4種方法，若B，D區(qū)域涂相同顏色，則有3種方法，C，E，F(xiàn)區(qū)域分別有3種方法，共有4×3×3×3×3=324種方法．2、先涂A區(qū)域，則有4種方法，若B，D區(qū)域涂不同顏色，則有3×2種方法，則E區(qū)域有2種方法，C，F(xiàn)分別有3種方法，共有4×3×2×2×3×3=432種方法．故不同的涂色方法共有756種．故選：D用四種顏色給正四棱錐的五個頂點涂色，要求每個頂點涂一種顏色，且每條棱的兩個頂點涂不同顏色，則不同的涂法有（

）A．72種B．36種C．12種D．60種【解析】如下表頂點VABCD種數(shù)432C與A同色12C與A不同色11總計故選：A．例4.無蓋正方體容器的五個面上分別標有A、B、C、D、E五個字母，現(xiàn)需要給容器的5個表