2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫——模型優(yōu)化與決策模擬試題型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分。請將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.在線性規(guī)劃模型中，目標(biāo)函數(shù)通常表示為（）。A.約束條件B.決策變量C.線性函數(shù)D.約束區(qū)域的邊界2.下列哪種方法不屬于參數(shù)估計(jì)的方法？（）A.最大似然估計(jì)B.最小二乘法C.決策樹法D.矩估計(jì)3.在模型評估中，準(zhǔn)確率是指（）。A.真正例率與假正例率的比值B.真正例率與負(fù)例率的比值C.真正例率與真正例率加假反例率的比值D.真正例率與假反例率的比值4.決策樹中，節(jié)點(diǎn)分裂的主要目的是（）。A.減少數(shù)據(jù)量B.提高模型復(fù)雜度C.增加模型解釋性D.減少模型誤差5.下列哪種模型屬于非線性規(guī)劃模型？（）A.線性回歸模型B.線性規(guī)劃模型C.非線性回歸模型D.線性判別分析模型6.貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是一種用于表示變量之間（）的圖形模型。A.線性關(guān)系B.非線性關(guān)系C.因果關(guān)系D.相關(guān)關(guān)系7.在模型優(yōu)化中，梯度下降法主要用于（）。A.求解線性規(guī)劃問題B.求解非線性規(guī)劃問題C.求解線性回歸問題D.求解邏輯回歸問題8.決策分析中，期望值法適用于（）的決策環(huán)境。A.確定性B.風(fēng)險(xiǎn)性C.不確定性D.完全不確定性9.模型過擬合是指（）。A.模型對訓(xùn)練數(shù)據(jù)擬合得太好，泛化能力差B.模型對訓(xùn)練數(shù)據(jù)擬合得太差，泛化能力好C.模型參數(shù)過多，計(jì)算復(fù)雜度高D.模型參數(shù)過少，計(jì)算復(fù)雜度低10.下列哪種方法不屬于模型降維的方法？（）A.主成分分析B.因子分析C.決策樹D.線性判別分析二、填空題（每空1分，共10分。請將答案填在題后的橫線上。）1.線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)形式中，所有約束條件均為_________。2.決策樹算法中，常用的分裂標(biāo)準(zhǔn)有_________和_________。3.模型評估中，召回率是指_________。4.梯度下降法是一種常用的_________算法。5.貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)表示變量，有向邊表示_________。6.決策分析中，風(fēng)險(xiǎn)是指_________與期望收益的差值。7.模型訓(xùn)練過程中，過擬合會(huì)導(dǎo)致_________增大。8.線性回歸模型中，最小二乘法的目標(biāo)是使_________最小。9.決策樹中，葉節(jié)點(diǎn)表示_________。10.非線性規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)或約束條件中至少有一個(gè)是_________。三、計(jì)算題（每題10分，共30分。請寫出詳細(xì)的計(jì)算過程。）1.某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)品A的利潤為每單位10元，產(chǎn)品B的利潤為每單位8元。生產(chǎn)每單位產(chǎn)品A需要消耗2個(gè)勞動(dòng)力，生產(chǎn)每單位產(chǎn)品B需要消耗1個(gè)勞動(dòng)力。公司每周最多有100個(gè)勞動(dòng)力可用。請建立線性規(guī)劃模型，求公司每周如何安排兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，以獲得最大利潤。2.已知一組數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，2），（2，3），（3，5），（4，4）。請使用最小二乘法估計(jì)線性回歸模型的參數(shù)。3.假設(shè)某個(gè)決策問題有三個(gè)可能的行動(dòng)方案A、B、C，以及兩個(gè)可能的結(jié)果R1、R2。行動(dòng)方案A在結(jié)果R1下的收益為50，在結(jié)果R2下的收益為-20；行動(dòng)方案B在結(jié)果R1下的收益為30，在結(jié)果R2下的收益為10；行動(dòng)方案C在結(jié)果R1下的收益為40，在結(jié)果R2下的收益為-10。如果結(jié)果R1發(fā)生的概率為0.7，結(jié)果R2發(fā)生的概率為0.3，請使用期望值法選擇最優(yōu)行動(dòng)方案。四、分析題（每題15分，共30分。請結(jié)合所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析和解釋。）1.比較線性規(guī)劃模型和非線性規(guī)劃模型的異同點(diǎn)，并說明在實(shí)際應(yīng)用中選擇哪種模型的依據(jù)。2.解釋模型過擬合和模型欠擬合的概念，并說明如何避免模型過擬合和模型欠擬合。試卷答案一、選擇題1.C解析思路：線性規(guī)劃模型的目標(biāo)是最大化或最小化一個(gè)線性函數(shù)，即目標(biāo)函數(shù)。2.C解析思路：決策樹法是一種決策分析方法，不屬于參數(shù)估計(jì)的方法。參數(shù)估計(jì)的方法包括最大似然估計(jì)、最小二乘法、矩估計(jì)等。3.C解析思路：準(zhǔn)確率是指真正例率與真正例率加假反例率的比值，用于衡量模型預(yù)測正確的比例。4.D解析思路：決策樹節(jié)點(diǎn)分裂的目的是為了減少模型誤差，提高模型的預(yù)測精度。5.C解析思路：非線性規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)或約束條件中至少有一個(gè)是關(guān)于決策變量的非線性函數(shù)。6.C解析思路：貝葉斯網(wǎng)絡(luò)是一種用于表示變量之間因果關(guān)系的圖形模型，通過有向邊表示變量之間的因果關(guān)系。7.B解析思路：梯度下降法是一種迭代算法，主要用于求解非線性規(guī)劃問題，通過不斷調(diào)整參數(shù)來最小化目標(biāo)函數(shù)。8.B解析思路：期望值法適用于風(fēng)險(xiǎn)性的決策環(huán)境，通過計(jì)算每個(gè)行動(dòng)方案的期望收益來進(jìn)行決策。9.A解析思路：模型過擬合是指模型對訓(xùn)練數(shù)據(jù)擬合得太好，導(dǎo)致泛化能力差，無法很好地預(yù)測新的數(shù)據(jù)。10.C解析思路：決策樹是一種決策分析方法，不屬于模型降維的方法。模型降維的方法包括主成分分析、因子分析、線性判別分析等。二、填空題1.等號(hào)解析思路：線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)形式中，所有約束條件均為等式。2.信息增益，基尼不純度解析思路：決策樹算法中，常用的分裂標(biāo)準(zhǔn)有信息增益和基尼不純度，用于衡量分裂節(jié)點(diǎn)后的信息量或純度提升程度。3.真正例率解析思路：召回率是指真正例率，用于衡量模型能夠正確識(shí)別出正例的能力。4.梯度下降解析思路：梯度下降法是一種常用的梯度下降算法，通過不斷調(diào)整參數(shù)來最小化目標(biāo)函數(shù)。5.因果關(guān)系解析思路：貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)表示變量，有向邊表示變量之間的因果關(guān)系。6.期望損失解析思路：決策分析中，風(fēng)險(xiǎn)是指期望損失與期望收益的差值，用于衡量決策的不確定性帶來的損失。7.損失函數(shù)解析思路：模型訓(xùn)練過程中，過擬合會(huì)導(dǎo)致?lián)p失函數(shù)增大，因?yàn)槟Ｐ蛯τ?xùn)練數(shù)據(jù)擬合得太好，導(dǎo)致泛化能力差。8.誤差平方和解析思路：線性回歸模型中，最小二乘法的目標(biāo)是使誤差平方和最小，即最小化所有數(shù)據(jù)點(diǎn)與模型預(yù)測值之間差異的平方和。9.決策結(jié)果解析思路：決策樹中，葉節(jié)點(diǎn)表示決策結(jié)果，即最終的分類或預(yù)測值。10.非線性函數(shù)解析思路：非線性規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)或約束條件中至少有一個(gè)是關(guān)于決策變量的非線性函數(shù)，導(dǎo)致問題難以用線性方法求解。三、計(jì)算題1.解：設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A的數(shù)量為x，生產(chǎn)產(chǎn)品B的數(shù)量為y。目標(biāo)函數(shù)：最大化利潤Z=10x+8y約束條件：2x+y≤100（勞動(dòng)力約束）x≥0,y≥0（非負(fù)約束）線性規(guī)劃模型為：MaxZ=10x+8ys.t.2x+y≤100x≥0y≥02.解：設(shè)線性回歸模型的參數(shù)為θ=(θ0,θ1)，模型為y=θ0+θ1x。根據(jù)最小二乘法，參數(shù)θ的估計(jì)值為：θ=(X^TX)^(-1)X^TY其中，X是設(shè)計(jì)矩陣，Y是觀測值向量。X=[[1,1],[1,2],[1,3],[1,4]]Y=[[2],[3],[5],[4]]X^T=[[1,1,1,1],[1,2,3,4]]X^TX=[[4,10],[10,26]](X^TX)^(-1)=[[26/4,-10/4],[-10/4,4/4]]=[[6.5,-2.5],[-2.5,1]]X^TY=[[14],[32]]θ=[[6.5,-2.5],[-2.5,1]]*[[14],[32]]=[[1],[2]]因此，線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)值為θ0=1，θ1=2，模型為y=1+2x。3.解：行動(dòng)方案A的期望收益為：50*0.7+(-20)*0.3=29行動(dòng)方案B的期望收益為：30*0.7+10*0.3=24行動(dòng)方案C的期望收益為：40*0.7+(-10)*0.3=23因此，最優(yōu)行動(dòng)方案是行動(dòng)方案A，其期望收益最大。四、分析題1.解：線性規(guī)劃模型和非線性規(guī)劃模型的異同點(diǎn)如下：相同點(diǎn)：*都是一種優(yōu)化模型，旨在尋找最優(yōu)解。*都需要定義目標(biāo)函數(shù)和約束條件。*都可以用于解決資源分配、生產(chǎn)計(jì)劃等問題。不同點(diǎn)：*目標(biāo)函數(shù)和約束條件的形式：線性規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是關(guān)于決策變量的線性函數(shù)，而非線性規(guī)劃模型至少有一個(gè)是非線性函數(shù)。*求解方法：線性規(guī)劃模型可以使用單純形法等高效的算法進(jìn)行求解，而非線性規(guī)劃模型的求解方法更加復(fù)雜，可能需要使用梯度下降法、牛頓法等迭代算法。*解的性質(zhì)：線性規(guī)劃模型的解通常是唯一的，且位于可行域的頂點(diǎn)處；非線性規(guī)劃模型的解可能不是唯一的，且可以位于可行域的內(nèi)部。在實(shí)際應(yīng)用中選擇哪種模型的依據(jù)：*如果問題可以表示為線性函數(shù)，則選擇線性規(guī)劃模型。*如果問題包含非線性因素，則選擇非線性規(guī)劃模型。*考慮求解效率和精度：線性規(guī)劃模型的求解效率通常比非線性規(guī)劃模型高。2.解：模型過擬合和模型欠擬合的概念：*模型過擬合：模型對訓(xùn)練數(shù)據(jù)擬合得太好，導(dǎo)致泛化能力差，無法很好地預(yù)測新的數(shù)據(jù)。過擬合的模型通常具有很高的訓(xùn)練精度，但在測試集上的精度較低。*模型欠擬合：模型對訓(xùn)練數(shù)據(jù)擬合得太差，無法捕捉到數(shù)據(jù)中的基本規(guī)律。欠擬合的模型通常具有很高的訓(xùn)練誤差和測試誤差。避免模型過擬合和模型欠擬合的方法：*避免模型過擬合：*減少模型復(fù)雜度：例如，使用更簡單的模型、減少模型參數(shù)等。*增加訓(xùn)練數(shù)據(jù)量：更多的數(shù)據(jù)可以幫助模型學(xué)習(xí)到數(shù)據(jù)中的基本規(guī)律，減少過擬合的可能性。*使用正則化技術(shù)：例如，L1正則化、L2正則化等，可以在模型訓(xùn)練過程中對模型參數(shù)進(jìn)行懲罰，防止模型過擬合。*使用交叉驗(yàn)證