2025年統(tǒng)計學期末考試題庫：統(tǒng)計與決策線性回歸試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分。請將正確選項的字母填在題后的括號內）1.在簡單線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，ε代表的是：(A)回歸直線方程(B)自變量X的線性部分(C)因變量Y的線性部分(D)隨機誤差項2.使用最小二乘法估計線性回歸模型參數(shù)時，其目標是最小化以下哪個量？(A)因變量Y與其均值E(Y)的差的平方和(B)自變量X與其均值E(X)的差的平方和(C)因變量Y對回歸方程預測值?的殘差平方和(D)自變量X對回歸方程預測值?的殘差平方和3.在簡單線性回歸分析中，判定系數(shù)R2的值越接近1，表示：(A)模型的線性關系越不顯著(B)模型的殘差平方和越大(C)模型對因變量Y變化的解釋程度越高(D)自變量X與因變量Y之間的相關系數(shù)越小4.對簡單線性回歸模型的回歸系數(shù)β?進行t檢驗，其原假設H?通常表述為：(A)β?=0(B)β?≠0(C)β?<0(D)β?>05.F檢驗主要用于判斷線性回歸模型的整體顯著性，其零假設H?是：(A)回歸系數(shù)β?為零(B)回歸系數(shù)β?為零(C)模型中所有回歸系數(shù)都為零(D)模型中自變量X對因變量Y沒有線性影響6.當線性回歸模型的殘差圖呈現(xiàn)出明顯的曲線模式時，這通常表明：(A)模型的隨機誤差項存在異方差性(B)模型的隨機誤差項存在序列相關性(C)模型可能存在非線性關系，線性假設不合適(D)模型的自變量X的測量存在誤差7.在進行線性回歸預測時，構建預測區(qū)間的目的是為了反映：(A)模型參數(shù)β?和β?的估計精度(B)回歸方程?對真實值Y的擬合精度(C)基于給定X值，未來Y值可能出現(xiàn)的范圍(D)自變量X的取值范圍8.若對一個通過了所有檢驗的簡單線性回歸模型進行分析，發(fā)現(xiàn)其系數(shù)β?的t統(tǒng)計量很小，p值很大，則意味著：(A)模型擬合優(yōu)度R2非常高(B)模型整體顯著性F檢驗的p值很小(C)自變量X對因變量Y沒有顯著影響(D)因變量Y的均值與自變量X沒有線性關系9.多元線性回歸模型Y=β?+β?X?+β?X?+...+β?X?+ε中，多元可決系數(shù)R2的值始終滿足：(A)0≤R2≤1(B)R2≥R2(adj)(C)R2≤R2(adj)(D)R2與模型的殘差平方和成正比10.在選擇多元線性回歸模型的自變量時，"逐步回歸"方法屬于一種：(A)基于理論假設的變量選擇方法(B)檢驗所有自變量是否同時顯著的方差分析方法(C)通過統(tǒng)計檢驗自動篩選變量的方法(D)總是優(yōu)先選擇變量個數(shù)最少的模型的方法二、填空題（每空2分，共20分。請將答案填在題后的橫線上）1.簡單線性回歸方程?=b?+b?X中，b?是回歸直線在Y軸上的________。2.簡單線性回歸方程中，參數(shù)β?的估計量b?的計算公式為________。3.若線性回歸模型的殘差平方和為SST=150，回歸平方和為SSR=120，則其判定系數(shù)R2=________。4.在進行t檢驗時，若備擇假設為H?:β?>0，則稱該檢驗為________檢驗。5.為了檢驗回歸模型的整體線性關系是否顯著，通常需要進行________檢驗，其檢驗統(tǒng)計量服從F分布。6.多元線性回歸模型中，調整后的多元可決系數(shù)R2(adj)考慮了模型中________的因素，通常比R2更適合比較不同自變量個數(shù)模型的擬合優(yōu)度。7.當線性回歸模型的殘差與回歸預測值?之間存在相關關系時，表明模型存在________。8.在進行區(qū)間預測時，預測區(qū)間的寬度主要受________和________的影響。9.若變量X和Y之間的相關系數(shù)r=-0.6，則它們之間存在________線性相關關系。10.在多元線性回歸中，如果某個自變量X?與其他自變量之間存在高度線性相關，可能會導致模型估計出現(xiàn)________問題。三、計算題（共40分）1.某研究收集了10組關于廣告投入（X，單位：萬元）和銷售額（Y，單位：萬元）的數(shù)據(jù)，計算得到：ΣX=50,ΣY=80,ΣX2=340,ΣY2=700,ΣXY=420。要求：(1)建立銷售額對廣告投入的簡單線性回歸方程。(2)計算回歸方程的判定系數(shù)R2，并解釋其含義。（10分）2.基于上題的數(shù)據(jù)和計算結果，已知回歸方程的截距估計值b?=5，斜率估計值b?=6，回歸平方和SSR=150，殘差平方和SSE=50。要求：(1)計算回歸系數(shù)β?的t統(tǒng)計量，并假設α=0.05，檢驗廣告投入對銷售額是否有顯著的正線性影響。(2)計算模型的F統(tǒng)計量，并在α=0.05水平上檢驗整個回歸模型的顯著性。（10分）3.已知某多元線性回歸模型包含兩個自變量X?和X?，對于某個特定的觀測點，其回歸預測值為?=15，估計的標準誤為se(?)=2。要求：(1)若X?的觀測值為3，X?的觀測值為4，請給出因變量Y的點預測值。(2)假設X?=3,X?=4時，因變量Y的95%預測區(qū)間是多少？（需要給出計算過程和最終區(qū)間）（10分）4.某分析師建立了如下簡單線性回歸模型來預測房價（Y，單位：萬元）：?=80-2X，其中X代表房屋面積（單位：平方米）。分析師聲稱該模型的R2=0.70。現(xiàn)有一個面積為150平方米的房屋，其實際售價為180萬元。要求：(1)計算該房屋的預測售價。(2)計算該房屋的殘差。(3)結合R2=0.70，簡要評價該模型的預測效果。（10分）四、應用分析題（共20分）某公司人力資源部希望研究員工的教育年限（X?，單位：年）和工作經驗（X?，單位：年）對其月工資收入（Y，單位：千元）的影響。他們收集了15名員工的樣本數(shù)據(jù)，并建立了如下多元線性回歸模型：Y=β?+β?X?+β?X?+ε。模型的部分輸出結果如下（部分統(tǒng)計量省略）：*回歸方程：?=3.5+0.8X?+1.2X?*R2=0.75，R2(adj)=0.72*F檢驗統(tǒng)計量F=20.5，對應的p值<0.01*t檢驗結果：t(β?)=2.4，p值=0.03；t(β?)=3.0，p值=0.008請根據(jù)以上信息，回答以下問題：(1)該回歸模型的整體線性關系是否顯著？請說明理由。(2)教育年限對月工資收入是否有顯著的正向影響？請說明理由。(3)工作經驗對月工資收入是否有顯著的正向影響？請說明理由。(4)解釋R2=0.75的實際意義。(5)比較R2和R2(adj)，你能得出關于模型自變量個數(shù)的什么結論？試卷答案一、選擇題1.D2.C3.C4.A5.C6.C7.C8.C9.B10.C二、填空題1.截距2.b?=Σ(X-X?)(Y-?)/Σ(X-X?)23.0.84.右側（或單尾）5.F6.模型中自變量的個數(shù)7.序列相關性（或自相關）8.自變量X的取值范圍（或X的變異程度）；估計的標準誤（或標準誤差）9.負相關10.多重共線性三、計算題1.(1)X?=ΣX/n=50/10=5,?=ΣY/n=80/10=8b?=Σ(X-X?)(Y-?)/Σ(X-X?)2=(ΣXY-nX??)/(ΣX2-nX?2)=(420-10*5*8)/(340-10*52)=(420-400)/(340-250)=20/90≈0.2222b?=?-b?X?=8-0.2222*5≈8-1.1111≈6.8889回歸方程為：?=6.8889+0.2222X(2)SST=Σ(Y-?)2=ΣY2-n?2=700-10*82=700-640=60SSE=SST-SSR=60-150=-90(此處題目給出的SSR=150與計算出的b?不一致，按題目給定的SSR計算)或SSE=60-120=-60(按b?計算的SSR=120)R2=SSR/SST=150/60=2.5(按題目給定的SSR)或R2=120/60=2(按b?計算)注意：R2通常在0和1之間，題目給定的SSR=150使得R2=2.5，這可能暗示題目數(shù)據(jù)或SSR給定有誤。若按b?=0.2222計算，R2=2。此處按題目給定的SSR=150進行計算。R2=0.8。其含義是，在銷售額的總變異中，有80%可以通過廣告投入與銷售額的線性關系來解釋。2.(1)t(β?)=b?/se(b?)需要計算b?的標準誤se(b?)：se(b?)=sqrt[SSE/(n-2)*(1/Σ(X-X?)2)]=sqrt[50/(10-2)*(1/(340-250))]=sqrt[50/8*(1/90)]=sqrt[50/720]=sqrt[5/72]≈0.274t(β?)=6/0.274≈21.86在α=0.05水平下，進行右側檢驗，臨界值t(9,0.025)≈2.262(查t分布表)因為|t(β?)|=21.86>2.262，所以拒絕H?。即廣告投入對銷售額有顯著的正線性影響。(2)F=MSR/MSE=SSR/(SSE/(n-2))=150/(50/8)=150/6.25=24在α=0.05水平下，進行F檢驗，臨界值F(1,8,0.05)≈5.32(查F分布表)因為F=24>5.32，所以拒絕H?。即整個回歸模型是顯著的。注意：此處同樣存在SSR=150導致R2=2.5的問題，但F檢驗本身基于SSR和SSE的比值，計算F=24是合理的。3.(1)點預測值?就是將X?=3,X?=4代入回歸方程得到的值。?=15（題目已給出回歸預測值）所以點預測值為15。(2)95%預測區(qū)間的公式為：?±t(sα/2,n-2)*se(?)需要查找t分布臨界值t(sα/2,n-2)=t(0.025,15-2)=t(0.025,13)查表得t(13,0.025)≈2.160預測區(qū)間=15±2.160*2=15±4.320所以95%預測區(qū)間為[10.68,19.32]。4.(1)預測售價?=80-2X=80-2*150=80-300=-220萬元。(2)殘差e=Y-?=180-(-220)=180+220=400萬元。(3)R2=0.70表示該模型可以解釋房價變異的70%。雖然R2不低，但預測售價為-220萬元，這在現(xiàn)實中是不可能的。這表明模型可能存在嚴重的設定偏誤（例如，忽略了重要的解釋變量，或者線性關系不適用），或者數(shù)據(jù)本身存在問題。因此，盡管R2較高，該模型的預測效果仍然很差，不能直接用于實際房價預測。四、應用分析題(1)模型整體線性關系顯著。理由是F檢驗的p值<0.01，遠小于常規(guī)的顯著性水平α(如0.05)，因此拒絕原假設H?(所有回歸系數(shù)均為零)，認為模型整體對月工資收入有顯著的線性解釋能力。(2)教育年限對月工資收入有顯著的正向影響。理由是t檢驗t(β?)=2.4的p值=0.03<0.05，拒絕了β?=0的原假設，表明在控制工作經驗（X?）的影響后，教育年限（X?）每增加一年，月工資收入平均增加0.8千元。(3)工作經驗對月工資收入有顯著的正向影響。理由是t檢驗t(β?)=3.0的p值=0.008<0.05，