2025年統(tǒng)計學(xué)專業(yè)期末考試題庫——統(tǒng)計與決策理論測試題型考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的代表字母填在題后的括號內(nèi)）1.設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X1,X2,...,Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則樣本均值\(\bar{X}\)的期望和方差分別是：(A)λ,λ(B)λ,nλ(C)nλ,λ(D)λ/n,λ2.在假設(shè)檢驗中，犯第一類錯誤的概率α是指：(A)H0為真時拒絕H0的概率(B)H0為假時拒絕H0的概率(C)H0為真時接受H0的概率(D)H0為假時接受H0的概率3.設(shè)總體X的均值μ未知，方差σ2已知，欲檢驗H0:μ=μ0vsH1:μ≠μ0，當(dāng)樣本量n固定時，減小檢驗的顯著性水平α，則犯第二類錯誤的概率β：(A)減小(B)增大(C)不變(D)無法確定4.對于一個點估計量\(\hat{\theta}\)，以下哪個性質(zhì)不是衡量其好壞的標(biāo)準(zhǔn)？(A)無偏性(B)有效性(C)一致性(D)線性性5.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，σ2已知，若要構(gòu)造μ的100(1-α)%置信區(qū)間，應(yīng)使用的樞軸量是：(A)\(\bar{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)(B)\(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\simN(0,1)\)(C)\(\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n-1)\)(D)\(\chi^2_{(n-1)}=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\)6.在參數(shù)的區(qū)間估計中，置信區(qū)間的長度：(A)隨置信水平α的增大而增大(B)隨置信水平α的增大而減小(C)隨樣本量n的增大而增大(D)隨樣本量n的增大而減小7.設(shè)總體X的分布未知，但已知其為對稱分布，樣本容量n=100，欲估計總體均值μ，用樣本中位數(shù)作為μ的估計量，則此估計量的方差Var(\(\hat{\mu}\))與用樣本均值\(\bar{X}\)作為估計量時的方差Var(\(\bar{X}\))相比：(A)Var(\(\hat{\mu}\))>Var(\(\bar{X}\))(B)Var(\(\hat{\mu}\))<Var(\(\bar{X}\))(C)Var(\(\hat{\mu}\))=Var(\(\bar{X}\))(D)無法比較8.在決策分析中，若決策者面臨不確定性，且知道各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率，則他應(yīng)選擇的決策準(zhǔn)則通常是：(A)期望收益最大化(B)期望損失最小化(C)后悔值最小化(D)以上皆可，取決于決策者偏好9.已知某決策問題的收益矩陣如下（單位：萬元）：||狀態(tài)S1|狀態(tài)S2||--------|--------|--------||行動A1|10|8||行動A2|6|12|若P(S1)=0.6,P(S2)=0.4，則按期望收益準(zhǔn)則，最優(yōu)決策是：(A)行動A1(B)行動A2(C)無差異(D)信息不足無法判斷10.在貝葉斯決策中，后驗分布是根據(jù)先驗分布和樣本信息計算得到的，其作用是：(A)替代先驗分布進(jìn)行決策(B)更準(zhǔn)確地反映狀態(tài)參數(shù)的分布(C)用于計算后驗期望損失(D)以上都是二、填空題（每小題2分，共10分。請將答案填在題后的橫線上）1.設(shè)總體X～N(μ,16)，從中抽取樣本容量為25的樣本，若要構(gòu)造μ的95%置信區(qū)間，置信區(qū)間的上下限之差約為______。（已知z0.025=1.96）2.假設(shè)檢驗中，犯第二類錯誤的概率β是指______。3.統(tǒng)計量\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\)服從自由度為______的χ2分布。4.在單因素方差分析（ANOVA）中，檢驗假設(shè)H0:μ1=μ2=...=μk（k≥2），常用的統(tǒng)計量是______。5.決策分析中，若決策者對不確定性后果的規(guī)避態(tài)度較強(qiáng)，則他可能更傾向于使用______準(zhǔn)則。三、簡答題（每小題5分，共15分）1.簡述假設(shè)檢驗中拒絕域與顯著性水平α的關(guān)系。2.解釋什么是統(tǒng)計推斷？它主要包括哪些基本問題？3.簡述決策分析中確定型決策與非確定型決策的主要區(qū)別。四、計算題（每小題8分，共32分）1.從正態(tài)總體N(μ,42)中隨機(jī)抽取容量為16的樣本，樣本均值為13。求總體均值μ的95%置信區(qū)間。（已知z0.025=1.96）2.某研究人員想比較兩種不同教學(xué)方法（A和B）對考試成績的影響，隨機(jī)抽取10名學(xué)生，分別用兩種方法教學(xué)，其考試成績（單位：分）如下：方法A：85,82,88,90,84方法B：78,80,83,85,79假設(shè)兩總體方差相等，且服從正態(tài)分布。試在α=0.05水平下檢驗兩種教學(xué)方法的效果是否有顯著差異。（已知t0.025(18)≈2.101）3.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，有兩個生產(chǎn)方案A和B。市場需求狀態(tài)有高、中、低三種，其發(fā)生的概率分別為0.3,0.5,0.2。采用方案A在不同需求狀態(tài)下的收益（單位：萬元）分別為：高收益15，中收益5，低收益-3。采用方案B的收益分別為：高收益8，中收益7，低收益4。試用期望收益準(zhǔn)則比較兩個方案，并做出決策。4.某決策問題，可選行動有A1,A2，可能的狀態(tài)有S1,S2,S3。收益矩陣為：||S1|S2|S3||--------|-------|-------|-------||A1|20|-10|30||A2|15|25|10|若決策者知道狀態(tài)S1發(fā)生的概率為0.5，狀態(tài)S2發(fā)生的概率為0.3，狀態(tài)S3發(fā)生的概率為0.2。請計算行動A1和A2的期望收益，并選擇最優(yōu)行動。五、證明題（10分）設(shè)總體X～N(μ,σ2)，X1,X2,...,Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本。證明樣本均值\(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\)是總體均值μ的無偏估計量。試卷答案一、選擇題1.B解析：泊松分布的均值和方差均為λ。樣本均值\(\bar{X}\)是獨立同分布的泊松變量之和除以n，其期望E(\(\bar{X}\))=E(\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\))=\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(X_i)\)=\(\frac{1}{n}\cdotn\lambda\)=λ。Var(\(\bar{X}\))=Var(\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\))=\(\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^nVar(X_i)\)=\(\frac{1}{n^2}\cdotn\lambda\)=λ/n。2.A解析：根據(jù)第一類錯誤的定義，當(dāng)H0為真時，由于檢驗的判斷標(biāo)準(zhǔn)，可能會錯誤地拒絕H0，即做出“H0為假”的判斷。這種錯誤的概率就是α。3.B解析：顯著性水平α是控制犯第一類錯誤的概率。根據(jù)檢驗功效函數(shù)的性質(zhì)和尼曼-皮爾遜準(zhǔn)則，在樣本量n固定的情況下，減小α（即提高檢驗的嚴(yán)格性），意味著拒絕域變小，從而當(dāng)H1為真時，更容易犯第二類錯誤（即接受H0），因此β會增大。4.D解析：無偏性、有效性（在無偏估計中方差最?。┖鸵恢滦允窃u價估計量優(yōu)劣的常用標(biāo)準(zhǔn)。線性性（線性組合的估計量仍然是估計量）本身不是評價標(biāo)準(zhǔn)，一個估計量是否線性無關(guān)于參數(shù)是其構(gòu)造方式的問題，但不直接決定其好壞。5.B解析：構(gòu)造置信區(qū)間通常需要利用一個隨機(jī)變量（樞軸量），該隨機(jī)變量的分布不依賴于待估參數(shù)。對于正態(tài)總體N(μ,σ2)（σ2已知）的情況，樣本均值\(\bar{X}\)服從N(μ,σ2/n)，標(biāo)準(zhǔn)化后\(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，這是一個不依賴于未知參數(shù)μ的樞軸量。6.D解析：置信區(qū)間的長度由樞軸量的分布及其分位數(shù)決定。對于固定的樣本量n和置信水平1-α，置信區(qū)間的長度隨樞軸量分布的尺度（如標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的σ）變化。但在大樣本情況下，許多樞軸量近似服從正態(tài)分布，其尺度與√n成反比，因此置信區(qū)間的長度通常隨樣本量n的增大而減小。7.B解析：對于對稱分布，中位數(shù)是均值的一個良好估計量，且其抽樣分布的方差通常小于均值（樣本均值）的抽樣分布方差。當(dāng)樣本量n足夠大時，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的抽樣分布近似為正態(tài)分布N(μ,σ2/n)，而樣本中位數(shù)的抽樣分布方差更?。ɡ碚撋蠈τ趯ΨQ分布，中位數(shù)的方差為(π/2)2(σ2/n)≈0.785(σ2/n)，小于Var(\(\bar{X}\))=σ2/n）。8.A解析：期望收益最大化準(zhǔn)則是風(fēng)險中性決策者在不確定條件下尋求長期平均利益最大化的常用決策準(zhǔn)則。當(dāng)知道各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率時，計算各行動的期望收益并進(jìn)行比較是合理且常用的方法。9.A解析：計算期望收益：E(A1)=10*0.6+8*0.4=6+3.2=9.2(萬元)E(A2)=6*0.6+12*0.4=3.6+4.8=8.4(萬元)比較E(A1)和E(A2)，E(A1)>E(A2)，按期望收益準(zhǔn)則應(yīng)選擇行動A1。10.D解析：后驗分布在貝葉斯決策中整合了先驗信息和樣本信息，是關(guān)于參數(shù)在給定樣本觀察下的更新認(rèn)知。利用后驗分布可以計算后驗期望損失（選擇使后驗期望損失最小的行動），也可以直接根據(jù)后驗分布的期望值（后驗期望收益）進(jìn)行決策。因此，D選項“以上都是”是正確的。二、填空題1.9.6解析：σ2=16,σ=4。95%置信區(qū)間的上下限為\(\bar{X}\pmz_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)。上下限之差為\(2z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=2\times1.96\times\frac{4}{\sqrt{25}}=2\times1.96\times0.8=3.136\)。約為9.6。2.接受原假設(shè)H0（當(dāng)H0為真時），卻拒絕H0。3.n-1解析：根據(jù)樣本方差S2的構(gòu)造，\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\)是由樣本均值\(\bar{X}\)和樣本方差S2通過線性組合形成的新統(tǒng)計量。可以證明，當(dāng)總體X服從正態(tài)分布時，這個統(tǒng)計量服從自由度為n-1的χ2分布。4.F檢驗統(tǒng)計量（或F統(tǒng)計量）5.后悔值最小化（或薩凡奇準(zhǔn)則）三、簡答題1.解析：拒絕域是樣本空間的一個子集，當(dāng)樣本觀測值落入該子集時，就拒絕原假設(shè)H0。顯著性水平α是當(dāng)H0實際上為真時，樣本觀測值落入拒絕域的概率，即P（拒絕H0|H0為真）。因此，拒絕域的劃定就是根據(jù)預(yù)先設(shè)定的α來確定一個臨界點或臨界區(qū)域，使得犯第一類錯誤的概率不超過α。通常，拒絕域的規(guī)模（或其對應(yīng)的臨界值）是隨著α的減小而增大的。2.解析：統(tǒng)計推斷是利用樣本信息來推斷總體特征的一種統(tǒng)計方法。它主要解決兩個基本問題：①參數(shù)估計：利用樣本統(tǒng)計量（如樣本均值、樣本方差）來估計總體的未知參數(shù)（如總體均值、總體方差）。主要包括點估計和區(qū)間估計。②假設(shè)檢驗：根據(jù)樣本信息來判斷關(guān)于總體參數(shù)的某個假設(shè)是否成立。例如，檢驗總體均值是否等于某個特定值，或兩個總體均值是否存在顯著差異等。3.解析：確定型決策是指在決策環(huán)境是完全確定的情況下做出的決策，即決策者清楚地知道每種行動方案對應(yīng)的自然狀態(tài)及其結(jié)果（收益、損失等）。決策的目標(biāo)是選擇能在確定條件下獲得最佳結(jié)果的方案。非確定型決策則是指決策環(huán)境存在不確定性，決策者無法準(zhǔn)確預(yù)知未來會發(fā)生哪種自然狀態(tài)。在這種情況下做出決策需要依據(jù)一定的決策準(zhǔn)則，如悲觀準(zhǔn)則、樂觀準(zhǔn)則、等可能性準(zhǔn)則、最小后悔值準(zhǔn)則等。確定型決策與非確定型決策的主要區(qū)別在于決策環(huán)境是否確定以及決策所依據(jù)的信息和準(zhǔn)則是否相同。四、計算題1.解析：方法一：使用z分布。已知總體方差σ2=42=16，σ=4。樣本容量n=16，樣本均值\(\bar{X}\)=13。置信水平1-α=95%，α/2=0.025。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得z0.025=1.96。置信區(qū)間的下限為\(\bar{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=13-1.96\times\frac{4}{\sqrt{16}}=13-1.96\times1=11.04\)。置信區(qū)間的上限為\(\bar{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=13+1.96\times\frac{4}{\sqrt{16}}=13+1.96\times1=14.96\)。因此，μ的95%置信區(qū)間為(11.04,14.96)。方法二：使用t分布（理論上應(yīng)使用t分布，但n=16，t值與z值接近）。自由度df=n-1=16-1=15。查t分布表得t0.025(15)≈2.131。置信區(qū)間的下限為\(\bar{X}-t_{\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}}\)。由于題目中σ已知，理論上應(yīng)使用z值，但若強(qiáng)行使用t值：\(\bar{X}-t_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=13-2.131\times\frac{4}{\sqrt{16}}=13-2.131\times1=10.869\)。置信區(qū)間的上限為\(\bar{X}+t_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=13+2.131\times\frac{4}{\sqrt{16}}=13+2.131\times1=15.131\)。區(qū)間(10.869,15.131)與使用z值得到的區(qū)間(11.04,14.96)非常接近。嚴(yán)格來說，應(yīng)使用z值。此處按題目條件（σ已知）使用z值計算結(jié)果(11.04,14.96)。2.解析：檢驗假設(shè)H0:μA=μBvsH1:μA≠μB（兩總體方差相等但未知）步驟1：計算樣本統(tǒng)計量。方法A樣本：nA=5,X?A=85+82+88+90+84/5=85。S?A2=[(85-85)2+(82-85)2+(88-85)2+(90-85)2+(84-85)2]/(5-1)=(0+9+9+25+1)/4=44.S?A=√44≈6.633。方法B樣本：nB=5,X?B=78+80+83+85+79/5=81。S?B2=[(78-81)2+(80-81)2+(83-81)2+(85-81)2+(79-81)2]/(5-1)=(9+1+4+16+4)/4=34.S?B=√34≈5.831。合并方差估計量：\(S_p^2=\frac{(nA-1)S?A^2+(nB-1)S?B^2}{nA+nB-2}=\frac{4\times44+4\times34}{5+5-2}=\frac{176+136}{8}=31\).Sp=√31≈5.568。合并標(biāo)準(zhǔn)差估計量：\(S_p=5.568\)。步驟2：計算檢驗統(tǒng)計量。t=\(\frac{X?A-X?B}{S_p\sqrt{\frac{1}{nA}+\frac{1}{nB}}}=\frac{85-81}{5.568\sqrt{\frac{1}{5}+\frac{1}{5}}}=\frac{4}{5.568\times\sqrt{0.4}}=\frac{4}{5.568\times0.6325}=\frac{4}{3.525}\