細(xì)分曲面建模報(bào)告一、概述

細(xì)分曲面建模是一種通過(guò)重復(fù)細(xì)分操作將簡(jiǎn)單幾何形狀逐步轉(zhuǎn)化為復(fù)雜曲面的技術(shù)，廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、產(chǎn)品設(shè)計(jì)和虛擬現(xiàn)實(shí)等領(lǐng)域。本報(bào)告將介紹細(xì)分曲面建模的基本原理、操作步驟、應(yīng)用場(chǎng)景及優(yōu)缺點(diǎn)，為相關(guān)技術(shù)人員提供參考。

二、細(xì)分曲面建模原理

（一）基本概念

1.細(xì)分曲面：通過(guò)添加更多頂點(diǎn)和控制點(diǎn)，使曲面更加平滑和精細(xì)。

2.控制網(wǎng)格：初始的簡(jiǎn)單網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，如四邊形或三角形網(wǎng)格。

3.細(xì)分操作：每次迭代過(guò)程中對(duì)控制網(wǎng)格進(jìn)行拓?fù)浜蛶缀握{(diào)整。

（二）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1.Catmull-Clark細(xì)分：基于四邊形網(wǎng)格的細(xì)分算法，通過(guò)頂點(diǎn)插值和權(quán)重計(jì)算實(shí)現(xiàn)平滑過(guò)渡。

2.Loop細(xì)分：針對(duì)三角形網(wǎng)格的優(yōu)化算法，保持邊界曲線的連續(xù)性。

三、操作步驟

（一）準(zhǔn)備階段

1.創(chuàng)建初始控制網(wǎng)格：

-使用多邊形建模工具構(gòu)建簡(jiǎn)單的四邊形或三角形網(wǎng)格。

-確保網(wǎng)格無(wú)自相交或非流形邊。

（二）細(xì)分過(guò)程

1.第一次細(xì)分：

-(1)計(jì)算新頂點(diǎn)位置：根據(jù)原頂點(diǎn)鄰域關(guān)系和權(quán)重分配。

-(2)重新拓?fù)洌荷尚碌倪吅兔妗?/p>

2.重復(fù)細(xì)分：

-按需多次執(zhí)行細(xì)分操作，直至達(dá)到目標(biāo)精度。

-每次細(xì)分后檢查曲面的平滑度和連續(xù)性。

（三）優(yōu)化調(diào)整

1.調(diào)整控制點(diǎn)：微調(diào)頂點(diǎn)位置以修正局部變形。

2.邊界處理：確保邊界曲線符合設(shè)計(jì)要求。

四、應(yīng)用場(chǎng)景

（一）工業(yè)設(shè)計(jì)

1.產(chǎn)品原型設(shè)計(jì)：快速生成高精度曲面模型。

2.汽車外形設(shè)計(jì)：利用細(xì)分曲面優(yōu)化空氣動(dòng)力學(xué)性能。

（二）計(jì)算機(jī)動(dòng)畫

1.角色建模：創(chuàng)建平滑的皮膚和衣物表面。

2.場(chǎng)景構(gòu)建：生成復(fù)雜的有機(jī)形態(tài)（如地形、植物）。

（三）虛擬現(xiàn)實(shí)

1.游戲資產(chǎn)：提高場(chǎng)景細(xì)節(jié)和真實(shí)感。

2.碰撞檢測(cè)：優(yōu)化復(fù)雜曲面的性能表現(xiàn)。

五、優(yōu)缺點(diǎn)分析

（一）優(yōu)點(diǎn)

1.高精度：通過(guò)多次細(xì)分實(shí)現(xiàn)平滑曲面。

2.靈活性：支持四邊形和三角形網(wǎng)格。

3.效率：相比傳統(tǒng)NURBS方法計(jì)算量較低。

（二）缺點(diǎn)

1.計(jì)算資源消耗：高階細(xì)分會(huì)導(dǎo)致面數(shù)急劇增加。

2.內(nèi)存占用：復(fù)雜模型需要較大存儲(chǔ)空間。

3.端點(diǎn)問(wèn)題：邊界頂點(diǎn)可能產(chǎn)生不連續(xù)現(xiàn)象（需特殊處理）。

六、結(jié)論

細(xì)分曲面建模技術(shù)通過(guò)迭代優(yōu)化實(shí)現(xiàn)高精度曲面生成，適用于工業(yè)設(shè)計(jì)、動(dòng)畫和VR等領(lǐng)域。在實(shí)際應(yīng)用中需平衡計(jì)算效率與模型精度，結(jié)合邊界處理和優(yōu)化算法以提升效果。未來(lái)可進(jìn)一步研究自適應(yīng)細(xì)分和實(shí)時(shí)渲染技術(shù)，以滿足更高性能需求。

一、概述

細(xì)分曲面建模是一種通過(guò)重復(fù)細(xì)分操作將簡(jiǎn)單幾何形狀逐步轉(zhuǎn)化為復(fù)雜曲面的技術(shù)，廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、產(chǎn)品設(shè)計(jì)和虛擬現(xiàn)實(shí)等領(lǐng)域。本報(bào)告將詳細(xì)介紹細(xì)分曲面建模的基本原理、操作步驟、應(yīng)用場(chǎng)景及優(yōu)缺點(diǎn)，為相關(guān)技術(shù)人員提供參考。

二、細(xì)分曲面建模原理

（一）基本概念

1.細(xì)分曲面：通過(guò)添加更多頂點(diǎn)和控制點(diǎn)，并調(diào)整它們的位置，使原始的、相對(duì)粗糙的幾何網(wǎng)格逐漸變得更加平滑和精細(xì)，從而形成連續(xù)的光滑曲面。這種技術(shù)特別適用于創(chuàng)建具有平滑表面細(xì)節(jié)的復(fù)雜物體，如有機(jī)形態(tài)或高精度工業(yè)零件。

2.控制網(wǎng)格（或稱為控制多邊形網(wǎng)格）：這是細(xì)分過(guò)程的起點(diǎn)，通常是一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的多邊形網(wǎng)格（最常見的是四邊形網(wǎng)格，有時(shí)也使用三角形網(wǎng)格）。該網(wǎng)格的頂點(diǎn)位置定義了曲面的基本形狀骨架。

3.細(xì)分操作：這是指對(duì)控制網(wǎng)格進(jìn)行的一系列迭代計(jì)算過(guò)程。在每次迭代中，算法會(huì)根據(jù)現(xiàn)有頂點(diǎn)的位置和相互關(guān)系，計(jì)算出新的頂點(diǎn)位置，并重新構(gòu)建網(wǎng)格的面片（如四邊形或三角形），從而在幾何上“雕刻”出更精細(xì)的表面。

（二）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1.Catmull-Clark細(xì)分：這是一種基于四邊形控制網(wǎng)格的細(xì)分算法。其核心思想是通過(guò)迭代過(guò)程，不斷增加網(wǎng)格的頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)，同時(shí)保持曲面的光滑度。數(shù)學(xué)上，它通過(guò)定義頂點(diǎn)、邊和面的新位置，并使用特定的權(quán)重（weights）進(jìn)行插值計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。Catmull-Clark算法的一個(gè)重要特性是它能夠很好地處理邊界曲線，使得邊界處的曲面也能保持平滑，并且邊界曲線會(huì)收斂到特定的幾何元素（如直線或圓弧，取決于初始網(wǎng)格）。

關(guān)鍵步驟包括：計(jì)算新頂點(diǎn)位置（基于原頂點(diǎn)及其鄰居頂點(diǎn)的加權(quán)平均）、確定新的邊和面的連接關(guān)系。

權(quán)重分配：Catmull-Clark算法為不同位置的頂點(diǎn)分配了不同的權(quán)重，例如，內(nèi)部頂點(diǎn)、邊界頂點(diǎn)、邊界環(huán)上的頂點(diǎn)，它們?cè)谟?jì)算新頂點(diǎn)位置時(shí)的貢獻(xiàn)不同，這保證了細(xì)分結(jié)果的平滑性和邊界處理的正確性。

2.Loop細(xì)分：這是一種專門為三角形網(wǎng)格設(shè)計(jì)的細(xì)分算法，由TonyLoop提出。與Catmull-Clark主要針對(duì)四邊形網(wǎng)格不同，Loop細(xì)分能更自然地處理由三角形組成的復(fù)雜網(wǎng)格。它的優(yōu)勢(shì)在于能夠更好地保持邊界曲線的連續(xù)性和幾何特性（如曲率），使得在邊界處添加細(xì)節(jié)時(shí)，邊界的外觀變化更小，更適合有機(jī)體建模等場(chǎng)景。

關(guān)鍵步驟包括：為每個(gè)三角形頂點(diǎn)計(jì)算新的位置、更新三角形鄰接關(guān)系、重新構(gòu)建網(wǎng)格。

邊界處理：Loop細(xì)分通過(guò)特殊的權(quán)重設(shè)置，確保邊界三角形的頂點(diǎn)在細(xì)分后能正確地延伸，形成平滑的邊界曲線，而不會(huì)出現(xiàn)尖銳的轉(zhuǎn)折。

三、操作步驟

（一）準(zhǔn)備階段

1.創(chuàng)建初始控制網(wǎng)格：

使用多邊形建模工具（如NURBS建模、多邊形建模）構(gòu)建一個(gè)簡(jiǎn)單的網(wǎng)格作為起點(diǎn)。這個(gè)初始網(wǎng)格可以是平面、球體、立方體等基礎(chǔ)形狀，也可以是更自由的手繪形狀。

確保網(wǎng)格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是合理的：避免出現(xiàn)自相交的邊、非流形（non-manifold）的頂點(diǎn)（即連接了奇數(shù)條邊的頂點(diǎn)）或懸掛頂點(diǎn)（只有一條邊連接的頂點(diǎn)）。這些拓?fù)溴e(cuò)誤會(huì)導(dǎo)致細(xì)分過(guò)程失敗或產(chǎn)生不可預(yù)測(cè)的結(jié)果?？梢允褂密浖械墓ぞ邫z查和修復(fù)這些錯(cuò)誤。

（二）細(xì)分過(guò)程

1.第一次細(xì)分：

(1)計(jì)算新頂點(diǎn)位置：根據(jù)Catmull-Clark或Loop算法的規(guī)則，對(duì)于控制網(wǎng)格中的每個(gè)頂點(diǎn)，利用其自身及其鄰近頂點(diǎn)的坐標(biāo)和預(yù)設(shè)的權(quán)重，計(jì)算出該頂點(diǎn)在第一次細(xì)分后的新位置。這個(gè)計(jì)算過(guò)程涉及對(duì)頂點(diǎn)鄰域內(nèi)所有頂點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行加權(quán)平均。例如，在Catmull-Clark中，一個(gè)內(nèi)部頂點(diǎn)的新位置是其相鄰四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的加權(quán)平均；邊界頂點(diǎn)則根據(jù)其是否位于邊界環(huán)上以及相鄰頂點(diǎn)的位置采用不同的權(quán)重計(jì)算公式。

(2)重新拓?fù)洌涸谟?jì)算出所有新頂點(diǎn)位置后，需要根據(jù)這些新頂點(diǎn)的連接關(guān)系，重新構(gòu)建網(wǎng)格的面片。例如，原來(lái)由三個(gè)頂點(diǎn)定義的三角形，在細(xì)分后會(huì)生成四個(gè)新的三角形，它們共享中間的新頂點(diǎn)。同樣，四邊形網(wǎng)格在細(xì)分后會(huì)變成更多的四邊形。這一步確保了曲面在細(xì)分后仍然保持正確的形狀和覆蓋范圍。

2.重復(fù)細(xì)分：

按需多次執(zhí)行上述的細(xì)分操作。每次細(xì)分都會(huì)使模型變得更加精細(xì)，頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)成倍增加（具體倍數(shù)取決于細(xì)分算法和執(zhí)行次數(shù)，例如Catmull-Clark和Loop細(xì)分通常每次細(xì)分將面數(shù)增加至原來(lái)的4倍）。

每次細(xì)分后，都應(yīng)檢查曲面的平滑度和視覺質(zhì)量?？梢允褂密浖械钠交@示模式、高亮顯示邊界等方式進(jìn)行檢查。同時(shí)，也要留意模型是否出現(xiàn)了過(guò)度平滑（導(dǎo)致細(xì)節(jié)丟失）或異常變形（如邊界塌陷、內(nèi)部出現(xiàn)洞）等問(wèn)題。

根據(jù)需要決定細(xì)分次數(shù)。達(dá)到滿意的精度或性能要求后，應(yīng)停止細(xì)分，以避免不必要的計(jì)算量和內(nèi)存消耗。細(xì)分次數(shù)越多，模型越精細(xì)，但同時(shí)計(jì)算成本和存儲(chǔ)需求也急劇上升。

（三）優(yōu)化調(diào)整

1.調(diào)整控制點(diǎn)：雖然細(xì)分操作會(huì)自動(dòng)計(jì)算新頂點(diǎn)位置，但有時(shí)需要手動(dòng)調(diào)整初始控制網(wǎng)格的頂點(diǎn)（控制點(diǎn)）來(lái)修正細(xì)分后出現(xiàn)的局部變形或強(qiáng)調(diào)某些特征。例如，如果細(xì)分后某個(gè)區(qū)域的曲面形態(tài)不符合預(yù)期，可以回到控制網(wǎng)格階段，微調(diào)該區(qū)域?qū)?yīng)控制點(diǎn)的位置，然后重新細(xì)分或進(jìn)行局部調(diào)整?，F(xiàn)代的細(xì)分曲面工具通常允許在細(xì)分過(guò)程中或之后對(duì)控制點(diǎn)進(jìn)行非破壞性編輯。

2.邊界處理：仔細(xì)檢查模型的邊界曲線。細(xì)分算法通常會(huì)自動(dòng)處理邊界，但可能需要手動(dòng)微調(diào)邊界控制點(diǎn)的位置，以確保邊界曲線的形狀和曲率符合設(shè)計(jì)要求。在某些情況下，可能需要使用專門的邊界處理工具來(lái)優(yōu)化邊界外觀。對(duì)于需要精確控制邊界形狀的應(yīng)用（如工業(yè)設(shè)計(jì)），可能需要結(jié)合其他建模技術(shù)（如NURBS）來(lái)輔助處理邊界。

四、應(yīng)用場(chǎng)景

（一）工業(yè)設(shè)計(jì)

1.產(chǎn)品原型設(shè)計(jì)：

快速生成具有平滑表面和復(fù)雜細(xì)節(jié)的產(chǎn)品模型，如消費(fèi)電子、家電、汽車零部件等。

通過(guò)調(diào)整控制網(wǎng)格，可以方便地修改產(chǎn)品形態(tài)，進(jìn)行設(shè)計(jì)迭代。

細(xì)分曲面可以很容易地轉(zhuǎn)換為STL等格式，用于3D打印原型制作。

2.汽車外形設(shè)計(jì)：

利用細(xì)分曲面優(yōu)化汽車車身的空氣動(dòng)力學(xué)性能，通過(guò)在曲面表面添加小的細(xì)節(jié)（如氣流偏導(dǎo)片），并使用細(xì)分來(lái)平滑過(guò)渡，可以減少風(fēng)阻。

創(chuàng)建復(fù)雜的車燈、保險(xiǎn)杠等部件的曲面，使其外觀更符合空氣動(dòng)力學(xué)和美學(xué)要求。

（二）計(jì)算機(jī)動(dòng)畫

1.角色建模：

創(chuàng)建逼真的角色皮膚表面。人體皮膚具有復(fù)雜的細(xì)節(jié)，如皺紋、疤痕、肌肉組織下的微妙起伏，細(xì)分曲面能夠有效地模擬這些效果。

在綁定（rigging）和動(dòng)畫（animation）過(guò)程中，控制網(wǎng)格可以作為變形的基礎(chǔ)，使得在表情動(dòng)畫或動(dòng)作時(shí)，皮膚能夠自然地跟隨骨骼移動(dòng)并保持平滑。

2.場(chǎng)景構(gòu)建：

生成復(fù)雜的有機(jī)形態(tài)，如地形（山脈、峽谷）、植物（樹葉、花朵）、云霧等，這些物體往往難以用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)函數(shù)描述，但可以通過(guò)細(xì)分簡(jiǎn)單的初始形狀來(lái)創(chuàng)建。

構(gòu)建具有精細(xì)細(xì)節(jié)的環(huán)境資產(chǎn)，如建筑表面、裝飾物等，提升虛擬世界的真實(shí)感。

（三）虛擬現(xiàn)實(shí)

1.游戲資產(chǎn)：

為游戲角色、道具、環(huán)境等創(chuàng)建高分辨率的模型，提升視覺表現(xiàn)力。雖然高細(xì)節(jié)模型會(huì)增加渲染負(fù)擔(dān)，但在關(guān)鍵視點(diǎn)或近處使用細(xì)分曲面可以顯著提高畫面質(zhì)量。

結(jié)合LOD（LevelofDetail）技術(shù)，可以在不同距離下使用不同細(xì)分級(jí)別的模型，在保證視覺效果的同時(shí)優(yōu)化性能。

2.碰撞檢測(cè)：

創(chuàng)建用于物理模擬和碰撞檢測(cè)的簡(jiǎn)化幾何體。有時(shí)，過(guò)于精細(xì)的曲面會(huì)導(dǎo)致碰撞算法計(jì)算復(fù)雜，而細(xì)分曲面可以通過(guò)適當(dāng)控制細(xì)分級(jí)別，生成既平滑又能有效表示物體形狀的碰撞模型。

五、優(yōu)缺點(diǎn)分析

（一）優(yōu)點(diǎn)

1.高精度：通過(guò)多次細(xì)分，可以生成非常光滑和高分辨率的曲面，能夠精確地模擬復(fù)雜的不規(guī)則形狀。

2.靈活性：支持從簡(jiǎn)單的四邊形或三角形網(wǎng)格開始，逐步構(gòu)建復(fù)雜的曲面，設(shè)計(jì)過(guò)程相對(duì)直觀。控制網(wǎng)格提供了對(duì)最終曲面形狀的直觀控制。

3.效率：相比于從頭開始用NURBS等表示法構(gòu)建復(fù)雜曲面，細(xì)分曲面方法通常在建模階段更直接、快速，尤其是在需要有機(jī)變形或細(xì)節(jié)時(shí)。

4.邊界處理：主流的細(xì)分算法（如Catmull-Clark和Loop）都內(nèi)置了良好的邊界處理機(jī)制，能夠生成平滑的邊界曲線。

（二）缺點(diǎn)

1.計(jì)算資源消耗：隨著細(xì)分次數(shù)的增加，模型的頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)會(huì)急劇增長(zhǎng)（例如，Catmull-Clark和Loop細(xì)分每次細(xì)分后面數(shù)通常變?yōu)樵瓉?lái)的4倍）。這會(huì)導(dǎo)致更高的CPU和內(nèi)存使用率，尤其是在實(shí)時(shí)渲染（如游戲）或復(fù)雜場(chǎng)景中。

2.內(nèi)存占用：高分辨率的細(xì)分曲面模型會(huì)占用大量的內(nèi)存空間，存儲(chǔ)和傳輸這些模型也會(huì)更加耗時(shí)。

3.端點(diǎn)問(wèn)題（或稱為星形頂點(diǎn)問(wèn)題）：在某些特殊的初始網(wǎng)格配置下，細(xì)分過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)“星形頂點(diǎn)”，即一個(gè)頂點(diǎn)被多條邊以相同或相似角度匯聚。雖然大多數(shù)現(xiàn)代軟件都能檢測(cè)并處理這個(gè)問(wèn)題，但星形頂點(diǎn)可能導(dǎo)致細(xì)分不穩(wěn)定或產(chǎn)生不希望的尖銳特征。

4.對(duì)初始網(wǎng)格依賴性：細(xì)分效果很大程度上取決于初始控制網(wǎng)格的質(zhì)量。一個(gè)糟糕的初始網(wǎng)格（如存在大量銳角、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不合理）可能會(huì)導(dǎo)致最終的細(xì)分曲面出現(xiàn)不必要的銳邊、凹陷或自相交等問(wèn)題，后期修復(fù)難度較大。

5.缺乏全局控制：雖然控制網(wǎng)格提供了局部控制，但對(duì)于非常復(fù)雜的全局形狀調(diào)整，有時(shí)不如NURBS等基于參數(shù)化表示的方法直接和精確。

六、結(jié)論

細(xì)分曲面建模技術(shù)通過(guò)迭代優(yōu)化實(shí)現(xiàn)高精度曲面生成，適用于工業(yè)設(shè)計(jì)、動(dòng)畫和VR等領(lǐng)域。它以相對(duì)直觀的方式處理復(fù)雜幾何，并能生成平滑的有機(jī)形態(tài)。在實(shí)際應(yīng)用中，需要平衡計(jì)算效率與模型精度，特別是在處理高分辨率模型時(shí)，必須考慮計(jì)算資源和內(nèi)存的限制。選擇合適的細(xì)分算法（Catmull-Clark或Loop）并掌握其特性，結(jié)合對(duì)初始網(wǎng)格質(zhì)量的把控以及必要的后期優(yōu)化調(diào)整，是發(fā)揮細(xì)分曲面建模優(yōu)勢(shì)的關(guān)鍵。未來(lái)可進(jìn)一步研究自適應(yīng)細(xì)分（根據(jù)需要調(diào)整細(xì)分區(qū)域和程度）、實(shí)時(shí)渲染優(yōu)化和與其他建模技術(shù)的融合，以滿足更高性能和更復(fù)雜場(chǎng)景的需求。

一、概述

細(xì)分曲面建模是一種通過(guò)重復(fù)細(xì)分操作將簡(jiǎn)單幾何形狀逐步轉(zhuǎn)化為復(fù)雜曲面的技術(shù)，廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、產(chǎn)品設(shè)計(jì)和虛擬現(xiàn)實(shí)等領(lǐng)域。本報(bào)告將介紹細(xì)分曲面建模的基本原理、操作步驟、應(yīng)用場(chǎng)景及優(yōu)缺點(diǎn)，為相關(guān)技術(shù)人員提供參考。

二、細(xì)分曲面建模原理

（一）基本概念

1.細(xì)分曲面：通過(guò)添加更多頂點(diǎn)和控制點(diǎn)，使曲面更加平滑和精細(xì)。

2.控制網(wǎng)格：初始的簡(jiǎn)單網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，如四邊形或三角形網(wǎng)格。

3.細(xì)分操作：每次迭代過(guò)程中對(duì)控制網(wǎng)格進(jìn)行拓?fù)浜蛶缀握{(diào)整。

（二）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1.Catmull-Clark細(xì)分：基于四邊形網(wǎng)格的細(xì)分算法，通過(guò)頂點(diǎn)插值和權(quán)重計(jì)算實(shí)現(xiàn)平滑過(guò)渡。

2.Loop細(xì)分：針對(duì)三角形網(wǎng)格的優(yōu)化算法，保持邊界曲線的連續(xù)性。

三、操作步驟

（一）準(zhǔn)備階段

1.創(chuàng)建初始控制網(wǎng)格：

-使用多邊形建模工具構(gòu)建簡(jiǎn)單的四邊形或三角形網(wǎng)格。

-確保網(wǎng)格無(wú)自相交或非流形邊。

（二）細(xì)分過(guò)程

1.第一次細(xì)分：

-(1)計(jì)算新頂點(diǎn)位置：根據(jù)原頂點(diǎn)鄰域關(guān)系和權(quán)重分配。

-(2)重新拓?fù)洌荷尚碌倪吅兔妗?/p>

2.重復(fù)細(xì)分：

-按需多次執(zhí)行細(xì)分操作，直至達(dá)到目標(biāo)精度。

-每次細(xì)分后檢查曲面的平滑度和連續(xù)性。

（三）優(yōu)化調(diào)整

1.調(diào)整控制點(diǎn)：微調(diào)頂點(diǎn)位置以修正局部變形。

2.邊界處理：確保邊界曲線符合設(shè)計(jì)要求。

四、應(yīng)用場(chǎng)景

（一）工業(yè)設(shè)計(jì)

1.產(chǎn)品原型設(shè)計(jì)：快速生成高精度曲面模型。

2.汽車外形設(shè)計(jì)：利用細(xì)分曲面優(yōu)化空氣動(dòng)力學(xué)性能。

（二）計(jì)算機(jī)動(dòng)畫

1.角色建模：創(chuàng)建平滑的皮膚和衣物表面。

2.場(chǎng)景構(gòu)建：生成復(fù)雜的有機(jī)形態(tài)（如地形、植物）。

（三）虛擬現(xiàn)實(shí)

1.游戲資產(chǎn)：提高場(chǎng)景細(xì)節(jié)和真實(shí)感。

2.碰撞檢測(cè)：優(yōu)化復(fù)雜曲面的性能表現(xiàn)。

五、優(yōu)缺點(diǎn)分析

（一）優(yōu)點(diǎn)

1.高精度：通過(guò)多次細(xì)分實(shí)現(xiàn)平滑曲面。

2.靈活性：支持四邊形和三角形網(wǎng)格。

3.效率：相比傳統(tǒng)NURBS方法計(jì)算量較低。

（二）缺點(diǎn)

1.計(jì)算資源消耗：高階細(xì)分會(huì)導(dǎo)致面數(shù)急劇增加。

2.內(nèi)存占用：復(fù)雜模型需要較大存儲(chǔ)空間。

3.端點(diǎn)問(wèn)題：邊界頂點(diǎn)可能產(chǎn)生不連續(xù)現(xiàn)象（需特殊處理）。

六、結(jié)論

細(xì)分曲面建模技術(shù)通過(guò)迭代優(yōu)化實(shí)現(xiàn)高精度曲面生成，適用于工業(yè)設(shè)計(jì)、動(dòng)畫和VR等領(lǐng)域。在實(shí)際應(yīng)用中需平衡計(jì)算效率與模型精度，結(jié)合邊界處理和優(yōu)化算法以提升效果。未來(lái)可進(jìn)一步研究自適應(yīng)細(xì)分和實(shí)時(shí)渲染技術(shù)，以滿足更高性能需求。

一、概述

細(xì)分曲面建模是一種通過(guò)重復(fù)細(xì)分操作將簡(jiǎn)單幾何形狀逐步轉(zhuǎn)化為復(fù)雜曲面的技術(shù)，廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、產(chǎn)品設(shè)計(jì)和虛擬現(xiàn)實(shí)等領(lǐng)域。本報(bào)告將詳細(xì)介紹細(xì)分曲面建模的基本原理、操作步驟、應(yīng)用場(chǎng)景及優(yōu)缺點(diǎn)，為相關(guān)技術(shù)人員提供參考。

二、細(xì)分曲面建模原理

（一）基本概念

1.細(xì)分曲面：通過(guò)添加更多頂點(diǎn)和控制點(diǎn)，并調(diào)整它們的位置，使原始的、相對(duì)粗糙的幾何網(wǎng)格逐漸變得更加平滑和精細(xì)，從而形成連續(xù)的光滑曲面。這種技術(shù)特別適用于創(chuàng)建具有平滑表面細(xì)節(jié)的復(fù)雜物體，如有機(jī)形態(tài)或高精度工業(yè)零件。

2.控制網(wǎng)格（或稱為控制多邊形網(wǎng)格）：這是細(xì)分過(guò)程的起點(diǎn)，通常是一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的多邊形網(wǎng)格（最常見的是四邊形網(wǎng)格，有時(shí)也使用三角形網(wǎng)格）。該網(wǎng)格的頂點(diǎn)位置定義了曲面的基本形狀骨架。

3.細(xì)分操作：這是指對(duì)控制網(wǎng)格進(jìn)行的一系列迭代計(jì)算過(guò)程。在每次迭代中，算法會(huì)根據(jù)現(xiàn)有頂點(diǎn)的位置和相互關(guān)系，計(jì)算出新的頂點(diǎn)位置，并重新構(gòu)建網(wǎng)格的面片（如四邊形或三角形），從而在幾何上“雕刻”出更精細(xì)的表面。

（二）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1.Catmull-Clark細(xì)分：這是一種基于四邊形控制網(wǎng)格的細(xì)分算法。其核心思想是通過(guò)迭代過(guò)程，不斷增加網(wǎng)格的頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)，同時(shí)保持曲面的光滑度。數(shù)學(xué)上，它通過(guò)定義頂點(diǎn)、邊和面的新位置，并使用特定的權(quán)重（weights）進(jìn)行插值計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。Catmull-Clark算法的一個(gè)重要特性是它能夠很好地處理邊界曲線，使得邊界處的曲面也能保持平滑，并且邊界曲線會(huì)收斂到特定的幾何元素（如直線或圓弧，取決于初始網(wǎng)格）。

關(guān)鍵步驟包括：計(jì)算新頂點(diǎn)位置（基于原頂點(diǎn)及其鄰居頂點(diǎn)的加權(quán)平均）、確定新的邊和面的連接關(guān)系。

權(quán)重分配：Catmull-Clark算法為不同位置的頂點(diǎn)分配了不同的權(quán)重，例如，內(nèi)部頂點(diǎn)、邊界頂點(diǎn)、邊界環(huán)上的頂點(diǎn)，它們?cè)谟?jì)算新頂點(diǎn)位置時(shí)的貢獻(xiàn)不同，這保證了細(xì)分結(jié)果的平滑性和邊界處理的正確性。

2.Loop細(xì)分：這是一種專門為三角形網(wǎng)格設(shè)計(jì)的細(xì)分算法，由TonyLoop提出。與Catmull-Clark主要針對(duì)四邊形網(wǎng)格不同，Loop細(xì)分能更自然地處理由三角形組成的復(fù)雜網(wǎng)格。它的優(yōu)勢(shì)在于能夠更好地保持邊界曲線的連續(xù)性和幾何特性（如曲率），使得在邊界處添加細(xì)節(jié)時(shí)，邊界的外觀變化更小，更適合有機(jī)體建模等場(chǎng)景。

關(guān)鍵步驟包括：為每個(gè)三角形頂點(diǎn)計(jì)算新的位置、更新三角形鄰接關(guān)系、重新構(gòu)建網(wǎng)格。

邊界處理：Loop細(xì)分通過(guò)特殊的權(quán)重設(shè)置，確保邊界三角形的頂點(diǎn)在細(xì)分后能正確地延伸，形成平滑的邊界曲線，而不會(huì)出現(xiàn)尖銳的轉(zhuǎn)折。

三、操作步驟

（一）準(zhǔn)備階段

1.創(chuàng)建初始控制網(wǎng)格：

使用多邊形建模工具（如NURBS建模、多邊形建模）構(gòu)建一個(gè)簡(jiǎn)單的網(wǎng)格作為起點(diǎn)。這個(gè)初始網(wǎng)格可以是平面、球體、立方體等基礎(chǔ)形狀，也可以是更自由的手繪形狀。

確保網(wǎng)格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是合理的：避免出現(xiàn)自相交的邊、非流形（non-manifold）的頂點(diǎn)（即連接了奇數(shù)條邊的頂點(diǎn)）或懸掛頂點(diǎn)（只有一條邊連接的頂點(diǎn)）。這些拓?fù)溴e(cuò)誤會(huì)導(dǎo)致細(xì)分過(guò)程失敗或產(chǎn)生不可預(yù)測(cè)的結(jié)果?？梢允褂密浖械墓ぞ邫z查和修復(fù)這些錯(cuò)誤。

（二）細(xì)分過(guò)程

1.第一次細(xì)分：

(1)計(jì)算新頂點(diǎn)位置：根據(jù)Catmull-Clark或Loop算法的規(guī)則，對(duì)于控制網(wǎng)格中的每個(gè)頂點(diǎn)，利用其自身及其鄰近頂點(diǎn)的坐標(biāo)和預(yù)設(shè)的權(quán)重，計(jì)算出該頂點(diǎn)在第一次細(xì)分后的新位置。這個(gè)計(jì)算過(guò)程涉及對(duì)頂點(diǎn)鄰域內(nèi)所有頂點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行加權(quán)平均。例如，在Catmull-Clark中，一個(gè)內(nèi)部頂點(diǎn)的新位置是其相鄰四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的加權(quán)平均；邊界頂點(diǎn)則根據(jù)其是否位于邊界環(huán)上以及相鄰頂點(diǎn)的位置采用不同的權(quán)重計(jì)算公式。

(2)重新拓?fù)洌涸谟?jì)算出所有新頂點(diǎn)位置后，需要根據(jù)這些新頂點(diǎn)的連接關(guān)系，重新構(gòu)建網(wǎng)格的面片。例如，原來(lái)由三個(gè)頂點(diǎn)定義的三角形，在細(xì)分后會(huì)生成四個(gè)新的三角形，它們共享中間的新頂點(diǎn)。同樣，四邊形網(wǎng)格在細(xì)分后會(huì)變成更多的四邊形。這一步確保了曲面在細(xì)分后仍然保持正確的形狀和覆蓋范圍。

2.重復(fù)細(xì)分：

按需多次執(zhí)行上述的細(xì)分操作。每次細(xì)分都會(huì)使模型變得更加精細(xì)，頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)成倍增加（具體倍數(shù)取決于細(xì)分算法和執(zhí)行次數(shù)，例如Catmull-Clark和Loop細(xì)分通常每次細(xì)分將面數(shù)增加至原來(lái)的4倍）。

每次細(xì)分后，都應(yīng)檢查曲面的平滑度和視覺質(zhì)量?？梢允褂密浖械钠交@示模式、高亮顯示邊界等方式進(jìn)行檢查。同時(shí)，也要留意模型是否出現(xiàn)了過(guò)度平滑（導(dǎo)致細(xì)節(jié)丟失）或異常變形（如邊界塌陷、內(nèi)部出現(xiàn)洞）等問(wèn)題。

根據(jù)需要決定細(xì)分次數(shù)。達(dá)到滿意的精度或性能要求后，應(yīng)停止細(xì)分，以避免不必要的計(jì)算量和內(nèi)存消耗。細(xì)分次數(shù)越多，模型越精細(xì)，但同時(shí)計(jì)算成本和存儲(chǔ)需求也急劇上升。

（三）優(yōu)化調(diào)整

1.調(diào)整控制點(diǎn)：雖然細(xì)分操作會(huì)自動(dòng)計(jì)算新頂點(diǎn)位置，但有時(shí)需要手動(dòng)調(diào)整初始控制網(wǎng)格的頂點(diǎn)（控制點(diǎn)）來(lái)修正細(xì)分后出現(xiàn)的局部變形或強(qiáng)調(diào)某些特征。例如，如果細(xì)分后某個(gè)區(qū)域的曲面形態(tài)不符合預(yù)期，可以回到控制網(wǎng)格階段，微調(diào)該區(qū)域?qū)?yīng)控制點(diǎn)的位置，然后重新細(xì)分或進(jìn)行局部調(diào)整?，F(xiàn)代的細(xì)分曲面工具通常允許在細(xì)分過(guò)程中或之后對(duì)控制點(diǎn)進(jìn)行非破壞性編輯。

2.邊界處理：仔細(xì)檢查模型的邊界曲線。細(xì)分算法通常會(huì)自動(dòng)處理邊界，但可能需要手動(dòng)微調(diào)邊界控制點(diǎn)的位置，以確保邊界曲線的形狀和曲率符合設(shè)計(jì)要求。在某些情況下，可能需要使用專門的邊界處理工具來(lái)優(yōu)化邊界外觀。對(duì)于需要精確控制邊界形狀的應(yīng)用（如工業(yè)設(shè)計(jì)），可能需要結(jié)合其他建模技術(shù)（如NURBS）來(lái)輔助處理邊界。

四、應(yīng)用場(chǎng)景

（一）工業(yè)設(shè)計(jì)

1.產(chǎn)品原型設(shè)計(jì)：

快速生成具有平滑表面和復(fù)雜細(xì)節(jié)的產(chǎn)品模型，如消費(fèi)電子、家電、汽車零部件等。

通過(guò)調(diào)整控制網(wǎng)格，可以方便地修改產(chǎn)品形態(tài)，進(jìn)行設(shè)計(jì)迭代。

細(xì)分曲面可以很容易地轉(zhuǎn)換為STL等格式，用于3D打印原型制作。

2.汽車外形設(shè)計(jì)：

利用細(xì)分曲面優(yōu)化汽車車身的空氣動(dòng)力學(xué)性能，通過(guò)在曲面表面添加小的細(xì)節(jié)（如氣流偏導(dǎo)片），并使用細(xì)分來(lái)平滑過(guò)渡，可以減少風(fēng)阻。

創(chuàng)建復(fù)雜的車燈、保險(xiǎn)杠等部件的曲面，使其外觀更符合空氣動(dòng)力學(xué)和美學(xué)要求。

（二）計(jì)算機(jī)動(dòng)畫

1.角色建模：

創(chuàng)建逼真的角色皮膚表面。人體皮膚具有復(fù)雜的細(xì)節(jié)，如皺紋、疤痕、肌肉組織下的微妙起伏，細(xì)分曲面能夠有效地模擬這些效果。

在綁定（rigging）和動(dòng)畫（animation）過(guò)程中，控制網(wǎng)格可以作為變形的基礎(chǔ)，使得在表情動(dòng)畫或動(dòng)作時(shí)，皮膚能夠自然地跟隨骨骼移動(dòng)并保持平滑。

2.場(chǎng)景構(gòu)建：

生成復(fù)雜的有機(jī)形態(tài)，如地形（山脈、峽谷）、植物（樹葉、花朵）、云霧等，這些物體往往難以用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)函數(shù)描述，但可以通過(guò)細(xì)分簡(jiǎn)單的初始形狀來(lái)創(chuàng)建。

構(gòu)建具有精細(xì)細(xì)節(jié)的環(huán)境資產(chǎn)，如建筑表面、裝飾物等，提升虛擬世界的真實(shí)感。

（三）虛擬現(xiàn)實(shí)

1.游戲資產(chǎn)：

為游戲角色、道具、環(huán)境等創(chuàng)建高分辨率的模型，提升視覺表現(xiàn)力。雖然高細(xì)節(jié)模型會(huì)增加渲染負(fù)擔(dān)，但在關(guān)鍵視點(diǎn)或近處使用細(xì)分曲面可以顯著提高畫面質(zhì)量。

結(jié)合LOD（LevelofDetail）技術(shù)，可以在不同距離下使用不同細(xì)分級(jí)別的模型，在保證視覺效果的同時(shí)優(yōu)化性能。

2.碰撞檢測(cè)：

創(chuàng)建用于物理模擬和碰撞檢測(cè)的簡(jiǎn)化幾何體。有時(shí)，過(guò)于精細(xì)的曲面會(huì)導(dǎo)致碰撞算法計(jì)算復(fù)雜，而細(xì)分曲面可以通過(guò)適當(dāng)控制細(xì)分級(jí)別，生成既平滑又能有效表示物體形狀的碰撞模型。

五、優(yōu)缺點(diǎn)分析

（一）優(yōu)點(diǎn)

1.高精度：通過(guò)多次細(xì)分，可以生成非常光滑和高分辨率的曲面，能夠精確地模擬復(fù)雜的不規(guī)則形狀。

2.靈活性：支持從簡(jiǎn)單的四邊形或三角形網(wǎng)格開始，逐步構(gòu)建復(fù)雜的曲面，設(shè)計(jì)過(guò)程相對(duì)直觀?？刂凭W(wǎng)格提供了對(duì)最終曲面形狀的直觀控制。

3.效率：相比于從頭開始用NURBS等表示法構(gòu)建復(fù)雜曲面，細(xì)分曲面方法通常在建模階段更直接、快速，尤其是在需要有機(jī)變形或細(xì)節(jié)時(shí)。

4.邊界處理：主流的細(xì)分算法（如Catmull-Clark和Loop）都內(nèi)置了良好的邊界處理機(jī)制，能夠生成平滑的邊界曲線。

（二）缺點(diǎn)

1.計(jì)算資源消耗：隨著細(xì)分次數(shù)的增加，模型的頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)會(huì)急劇增長(zhǎng)（例如，Catmull-Clark和Loop細(xì)分每次細(xì)分后面數(shù)通常變?yōu)樵瓉?lái)的4倍）。這會(huì)導(dǎo)致更高的CPU和內(nèi)存使用率，尤其是在實(shí)時(shí)渲染（如游戲）或復(fù)雜場(chǎng)景中。

2.內(nèi)存占用：高分辨率的細(xì)分曲面模型會(huì)占用大量的內(nèi)存空間，存儲(chǔ)和傳輸這些模型也會(huì)更加耗時(shí)。

3.端點(diǎn)問(wèn)題（或稱為星形頂點(diǎn)問(wèn)題）：在某些特殊的初始網(wǎng)格配置下，細(xì)分過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)“星形頂點(diǎn)”，即一個(gè)頂點(diǎn)被多條邊以相同或相似角度匯聚。雖然大多數(shù)現(xiàn)代軟件都能檢測(cè)并處理這個(gè)問(wèn)題，但星形頂點(diǎn)可能導(dǎo)致細(xì)分不穩(wěn)定或產(chǎn)生不希望的尖銳特征。

4.對(duì)初始網(wǎng)格依賴性：細(xì)分效果很大程度上取決于初始控制網(wǎng)格的質(zhì)量。一個(gè)糟糕的初始網(wǎng)格（如存在大量銳角、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不合理）可能會(huì)導(dǎo)致最終的細(xì)分曲面出現(xiàn)不必要的銳邊、凹陷或自相交等問(wèn)題，后期修復(fù)難度較大。

5.缺乏全局控制：雖然控制網(wǎng)格提供了局部控制，但對(duì)于非常復(fù)雜的全局形狀調(diào)整，有時(shí)不如NURBS等基于參數(shù)化表示的方法直接和精確。

六、結(jié)論

細(xì)分曲面建模技術(shù)通過(guò)迭代優(yōu)化實(shí)現(xiàn)高精度曲面生成，適用于工業(yè)設(shè)計(jì)、動(dòng)畫和VR等領(lǐng)域。它以相對(duì)直觀的方式處理復(fù)雜幾何，并能生成平滑的有機(jī)形態(tài)。在實(shí)際應(yīng)用中，需要平衡計(jì)算效率與模型精度，特別是在處理高分辨率模型時(shí)，必須考慮計(jì)算資源和內(nèi)存的限制。選擇合適的細(xì)分算法（Catmull-Clark或Loop）并掌握其特性，結(jié)合對(duì)初始網(wǎng)格質(zhì)量的把控以及必要的后期優(yōu)化調(diào)整，是發(fā)揮細(xì)分曲面建模優(yōu)勢(shì)的關(guān)鍵。未來(lái)可進(jìn)一步研究自適應(yīng)細(xì)分（根據(jù)需要調(diào)整細(xì)分區(qū)域和程度）、實(shí)時(shí)渲染優(yōu)化和與其他建模技術(shù)的融合，以滿足更高性能和更復(fù)雜場(chǎng)景的需求。

一、概述

細(xì)分曲面建模是一種通過(guò)重復(fù)細(xì)分操作將簡(jiǎn)單幾何形狀逐步轉(zhuǎn)化為復(fù)雜曲面的技術(shù)，廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、產(chǎn)品設(shè)計(jì)和虛擬現(xiàn)實(shí)等領(lǐng)域。本報(bào)告將介紹細(xì)分曲面建模的基本原理、操作步驟、應(yīng)用場(chǎng)景及優(yōu)缺點(diǎn)，為相關(guān)技術(shù)人員提供參考。

二、細(xì)分曲面建模原理

（一）基本概念

1.細(xì)分曲面：通過(guò)添加更多頂點(diǎn)和控制點(diǎn)，使曲面更加平滑和精細(xì)。

2.控制網(wǎng)格：初始的簡(jiǎn)單網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，如四邊形或三角形網(wǎng)格。

3.細(xì)分操作：每次迭代過(guò)程中對(duì)控制網(wǎng)格進(jìn)行拓?fù)浜蛶缀握{(diào)整。

（二）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1.Catmull-Clark細(xì)分：基于四邊形網(wǎng)格的細(xì)分算法，通過(guò)頂點(diǎn)插值和權(quán)重計(jì)算實(shí)現(xiàn)平滑過(guò)渡。

2.Loop細(xì)分：針對(duì)三角形網(wǎng)格的優(yōu)化算法，保持邊界曲線的連續(xù)性。

三、操作步驟

（一）準(zhǔn)備階段

1.創(chuàng)建初始控制網(wǎng)格：

-使用多邊形建模工具構(gòu)建簡(jiǎn)單的四邊形或三角形網(wǎng)格。

-確保網(wǎng)格無(wú)自相交或非流形邊。

（二）細(xì)分過(guò)程

1.第一次細(xì)分：

-(1)計(jì)算新頂點(diǎn)位置：根據(jù)原頂點(diǎn)鄰域關(guān)系和權(quán)重分配。

-(2)重新拓?fù)洌荷尚碌倪吅兔妗?/p>

2.重復(fù)細(xì)分：

-按需多次執(zhí)行細(xì)分操作，直至達(dá)到目標(biāo)精度。

-每次細(xì)分后檢查曲面的平滑度和連續(xù)性。

（三）優(yōu)化調(diào)整

1.調(diào)整控制點(diǎn)：微調(diào)頂點(diǎn)位置以修正局部變形。

2.邊界處理：確保邊界曲線符合設(shè)計(jì)要求。

四、應(yīng)用場(chǎng)景

（一）工業(yè)設(shè)計(jì)

1.產(chǎn)品原型設(shè)計(jì)：快速生成高精度曲面模型。

2.汽車外形設(shè)計(jì)：利用細(xì)分曲面優(yōu)化空氣動(dòng)力學(xué)性能。

（二）計(jì)算機(jī)動(dòng)畫

1.角色建模：創(chuàng)建平滑的皮膚和衣物表面。

2.場(chǎng)景構(gòu)建：生成復(fù)雜的有機(jī)形態(tài)（如地形、植物）。

（三）虛擬現(xiàn)實(shí)

1.游戲資產(chǎn)：提高場(chǎng)景細(xì)節(jié)和真實(shí)感。

2.碰撞檢測(cè)：優(yōu)化復(fù)雜曲面的性能表現(xiàn)。

五、優(yōu)缺點(diǎn)分析

（一）優(yōu)點(diǎn)

1.高精度：通過(guò)多次細(xì)分實(shí)現(xiàn)平滑曲面。

2.靈活性：支持四邊形和三角形網(wǎng)格。

3.效率：相比傳統(tǒng)NURBS方法計(jì)算量較低。

（二）缺點(diǎn)

1.計(jì)算資源消耗：高階細(xì)分會(huì)導(dǎo)致面數(shù)急劇增加。

2.內(nèi)存占用：復(fù)雜模型需要較大存儲(chǔ)空間。

3.端點(diǎn)問(wèn)題：邊界頂點(diǎn)可能產(chǎn)生不連續(xù)現(xiàn)象（需特殊處理）。

六、結(jié)論

細(xì)分曲面建模技術(shù)通過(guò)迭代優(yōu)化實(shí)現(xiàn)高精度曲面生成，適用于工業(yè)設(shè)計(jì)、動(dòng)畫和VR等領(lǐng)域。在實(shí)際應(yīng)用中需平衡計(jì)算效率與模型精度，結(jié)合邊界處理和優(yōu)化算法以提升效果。未來(lái)可進(jìn)一步研究自適應(yīng)細(xì)分和實(shí)時(shí)渲染技術(shù)，以滿足更高性能需求。

一、概述

細(xì)分曲面建模是一種通過(guò)重復(fù)細(xì)分操作將簡(jiǎn)單幾何形狀逐步轉(zhuǎn)化為復(fù)雜曲面的技術(shù)，廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、產(chǎn)品設(shè)計(jì)和虛擬現(xiàn)實(shí)等領(lǐng)域。本報(bào)告將詳細(xì)介紹細(xì)分曲面建模的基本原理、操作步驟、應(yīng)用場(chǎng)景及優(yōu)缺點(diǎn)，為相關(guān)技術(shù)人員提供參考。

二、細(xì)分曲面建模原理

（一）基本概念

1.細(xì)分曲面：通過(guò)添加更多頂點(diǎn)和控制點(diǎn)，并調(diào)整它們的位置，使原始的、相對(duì)粗糙的幾何網(wǎng)格逐漸變得更加平滑和精細(xì)，從而形成連續(xù)的光滑曲面。這種技術(shù)特別適用于創(chuàng)建具有平滑表面細(xì)節(jié)的復(fù)雜物體，如有機(jī)形態(tài)或高精度工業(yè)零件。

2.控制網(wǎng)格（或稱為控制多邊形網(wǎng)格）：這是細(xì)分過(guò)程的起點(diǎn)，通常是一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的多邊形網(wǎng)格（最常見的是四邊形網(wǎng)格，有時(shí)也使用三角形網(wǎng)格）。該網(wǎng)格的頂點(diǎn)位置定義了曲面的基本形狀骨架。

3.細(xì)分操作：這是指對(duì)控制網(wǎng)格進(jìn)行的一系列迭代計(jì)算過(guò)程。在每次迭代中，算法會(huì)根據(jù)現(xiàn)有頂點(diǎn)的位置和相互關(guān)系，計(jì)算出新的頂點(diǎn)位置，并重新構(gòu)建網(wǎng)格的面片（如四邊形或三角形），從而在幾何上“雕刻”出更精細(xì)的表面。

（二）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1.Catmull-Clark細(xì)分：這是一種基于四邊形控制網(wǎng)格的細(xì)分算法。其核心思想是通過(guò)迭代過(guò)程，不斷增加網(wǎng)格的頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)，同時(shí)保持曲面的光滑度。數(shù)學(xué)上，它通過(guò)定義頂點(diǎn)、邊和面的新位置，并使用特定的權(quán)重（weights）進(jìn)行插值計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。Catmull-Clark算法的一個(gè)重要特性是它能夠很好地處理邊界曲線，使得邊界處的曲面也能保持平滑，并且邊界曲線會(huì)收斂到特定的幾何元素（如直線或圓弧，取決于初始網(wǎng)格）。

關(guān)鍵步驟包括：計(jì)算新頂點(diǎn)位置（基于原頂點(diǎn)及其鄰居頂點(diǎn)的加權(quán)平均）、確定新的邊和面的連接關(guān)系。

權(quán)重分配：Catmull-Clark算法為不同位置的頂點(diǎn)分配了不同的權(quán)重，例如，內(nèi)部頂點(diǎn)、邊界頂點(diǎn)、邊界環(huán)上的頂點(diǎn)，它們?cè)谟?jì)算新頂點(diǎn)位置時(shí)的貢獻(xiàn)不同，這保證了細(xì)分結(jié)果的平滑性和邊界處理的正確性。

2.Loop細(xì)分：這是一種專門為三角形網(wǎng)格設(shè)計(jì)的細(xì)分算法，由TonyLoop提出。與Catmull-Clark主要針對(duì)四邊形網(wǎng)格不同，Loop細(xì)分能更自然地處理由三角形組成的復(fù)雜網(wǎng)格。它的優(yōu)勢(shì)在于能夠更好地保持邊界曲線的連續(xù)性和幾何特性（如曲率），使得在邊界處添加細(xì)節(jié)時(shí)，邊界的外觀變化更小，更適合有機(jī)體建模等場(chǎng)景。

關(guān)鍵步驟包括：為每個(gè)三角形頂點(diǎn)計(jì)算新的位置、更新三角形鄰接關(guān)系、重新構(gòu)建網(wǎng)格。

邊界處理：Loop細(xì)分通過(guò)特殊的權(quán)重設(shè)置，確保邊界三角形的頂點(diǎn)在細(xì)分后能正確地延伸，形成平滑的邊界曲線，而不會(huì)出現(xiàn)尖銳的轉(zhuǎn)折。

三、操作步驟

（一）準(zhǔn)備階段

1.創(chuàng)建初始控制網(wǎng)格：

使用多邊形建模工具（如NURBS建模、多邊形建模）構(gòu)建一個(gè)簡(jiǎn)單的網(wǎng)格作為起點(diǎn)。這個(gè)初始網(wǎng)格可以是平面、球體、立方體等基礎(chǔ)形狀，也可以是更自由的手繪形狀。

確保網(wǎng)格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是合理的：避免出現(xiàn)自相交的邊、非流形（non-manifold）的頂點(diǎn)（即連接了奇數(shù)條邊的頂點(diǎn)）或懸掛頂點(diǎn)（只有一條邊連接的頂點(diǎn)）。這些拓?fù)溴e(cuò)誤會(huì)導(dǎo)致細(xì)分過(guò)程失敗或產(chǎn)生不可預(yù)測(cè)的結(jié)果?？梢允褂密浖械墓ぞ邫z查和修復(fù)這些錯(cuò)誤。

（二）細(xì)分過(guò)程

1.第一次細(xì)分：

(1)計(jì)算新頂點(diǎn)位置：根據(jù)Catmull-Clark或Loop算法的規(guī)則，對(duì)于控制網(wǎng)格中的每個(gè)頂點(diǎn)，利用其自身及其鄰近頂點(diǎn)的坐標(biāo)和預(yù)設(shè)的權(quán)重，計(jì)算出該頂點(diǎn)在第一次細(xì)分后的新位置。這個(gè)計(jì)算過(guò)程涉及對(duì)頂點(diǎn)鄰域內(nèi)所有頂點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行加權(quán)平均。例如，在Catmull-Clark中，一個(gè)內(nèi)部頂點(diǎn)的新位置是其相鄰四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的加權(quán)平均；邊界頂點(diǎn)則根據(jù)其是否位于邊界環(huán)上以及相鄰頂點(diǎn)的位置采用不同的權(quán)重計(jì)算公式。

(2)重新拓?fù)洌涸谟?jì)算出所有新頂點(diǎn)位置后，需要根據(jù)這些新頂點(diǎn)的連接關(guān)系，重新構(gòu)建網(wǎng)格的面片。例如，原來(lái)由三個(gè)頂點(diǎn)定義的三角形，在細(xì)分后會(huì)生成四個(gè)新的三角形，它們共享中間的新頂點(diǎn)。同樣，四邊形網(wǎng)格在細(xì)分后會(huì)變成更多的四邊形。這一步確保了曲面在細(xì)分后仍然保持正確的形狀和覆蓋范圍。

2.重復(fù)細(xì)分：

按需多次執(zhí)行上述的細(xì)分操作。每次細(xì)分都會(huì)使模型變得更加精細(xì)，頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)成倍增加（具體倍數(shù)取決于細(xì)分算法和執(zhí)行次數(shù)，例如Catmull-Clark和Loop細(xì)分通常每次細(xì)分將面數(shù)增加至原來(lái)的4倍）。

每次細(xì)分后，都應(yīng)檢查曲面的平滑度和視覺質(zhì)量。可以使用軟件中的平滑顯示模式、高亮顯示邊界等方式進(jìn)行檢查。同時(shí)，也要留意模型是否出現(xiàn)了過(guò)度平滑（導(dǎo)致細(xì)節(jié)丟失）或異常變形（如邊界塌陷、內(nèi)部出現(xiàn)洞）等問(wèn)題。

根據(jù)需要決定細(xì)分次數(shù)。達(dá)到滿意的精度或性能要求后，應(yīng)停止細(xì)分，以避免不必要的計(jì)算量和內(nèi)存消耗。細(xì)分次數(shù)越多，模型越精細(xì)，但同時(shí)計(jì)算成本和存儲(chǔ)需求也急劇上升。

（三）優(yōu)化調(diào)整

1.調(diào)整控制點(diǎn)：雖然細(xì)分操作會(huì)自動(dòng)計(jì)算新頂點(diǎn)位置，但有時(shí)需要手動(dòng)調(diào)整初始控制網(wǎng)格的頂點(diǎn)（控制點(diǎn)）來(lái)修正細(xì)分后出現(xiàn)的局部變形或強(qiáng)調(diào)某些特征。例如，如果細(xì)分后某個(gè)區(qū)域的曲面形態(tài)不符合預(yù)期，可以回到控制網(wǎng)格階段，微調(diào)該區(qū)域?qū)?yīng)控制點(diǎn)的位置，然后重新細(xì)分或進(jìn)行局部調(diào)整。現(xiàn)代的細(xì)分曲面工具通常允許在細(xì)分過(guò)程中或之后對(duì)控制點(diǎn)進(jìn)行非破壞性編輯。

2.邊界處理：仔細(xì)檢查模型的邊界曲線。細(xì)分算法通常會(huì)自動(dòng)處理邊界，但可能需要手動(dòng)微調(diào)邊界控制點(diǎn)的位置，以確保邊界曲線的形狀和曲率符合設(shè)計(jì)要求。在某些情況下，可能需要使用專門的邊界處理工具來(lái)優(yōu)化邊界外觀。對(duì)于需要精確控制邊界形狀的應(yīng)用（如工業(yè)設(shè)計(jì)），可能需要結(jié)合其他建模技術(shù)（如NURBS）來(lái)輔助處理邊界。

四、應(yīng)用場(chǎng)景

（一）工業(yè)設(shè)計(jì)

1.產(chǎn)品原型設(shè)計(jì)：

快速生成具有平滑表面和復(fù)雜細(xì)節(jié)的產(chǎn)品模型，如消費(fèi)電子、家電、汽車零部件等。

通過(guò)調(diào)整控制網(wǎng)格，可以方便地修改產(chǎn)品形態(tài)，進(jìn)行設(shè)計(jì)迭代。

細(xì)分曲面可以很容易地轉(zhuǎn)換為STL等格式，用于3D打印原型制作。

2.汽車外形設(shè)計(jì)：

利用細(xì)分曲面優(yōu)化汽車車身的空氣動(dòng)力學(xué)性能，通過(guò)在曲面表面添加小的細(xì)節(jié)（如氣流偏導(dǎo)片），并使用細(xì)分來(lái)平滑過(guò)渡，可以減少風(fēng)阻。

創(chuàng)建復(fù)雜的車燈、保險(xiǎn)杠等部件的曲面，使其外觀更符合空氣動(dòng)力學(xué)和美學(xué)要求。

（二）計(jì)算機(jī)動(dòng)畫

1.角色建模：

創(chuàng)建逼真的角色皮膚表面。人體皮膚具有復(fù)雜的細(xì)節(jié)，如皺紋、疤痕、肌肉組織下的微妙起伏，細(xì)分曲面能夠有效地模擬這些效果。

在綁定（rigging）和動(dòng)畫（animation）過(guò)程中，控制網(wǎng)格可以作為變形的基礎(chǔ)，使得在表情動(dòng)畫或動(dòng)作時(shí)，皮膚能夠自然地跟隨骨骼移動(dòng)并保持平滑。

2.場(chǎng)景構(gòu)建：

生成復(fù)雜的有機(jī)形態(tài)，如地形（山脈、峽谷）、植物（樹葉、花朵）、云霧等，這些物體往往難以用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)函數(shù)描述，但可以通過(guò)細(xì)分簡(jiǎn)單的初始形狀來(lái)創(chuàng)建。

構(gòu)建具有精細(xì)細(xì)節(jié)的環(huán)境資產(chǎn)，如建筑表面、裝飾物等，提升虛擬世界的真實(shí)感。

（三）虛擬現(xiàn)實(shí)

1.游戲資產(chǎn)：

為游戲角色、道具、環(huán)境等創(chuàng)建高分辨率的模型，提升視覺表現(xiàn)力。雖然高細(xì)節(jié)模型會(huì)增加渲染負(fù)擔(dān)，但在關(guān)鍵視點(diǎn)或近處使用細(xì)分曲面可以顯著提高畫面質(zhì)量。

結(jié)合LOD（LevelofDetail）技術(shù)，可以在不同距離下使用不同細(xì)分級(jí)別的模型，在保證視覺效果的同時(shí)優(yōu)化性能。

2.碰撞檢測(cè)：

創(chuàng)建用于物理模擬和碰撞檢測(cè)的簡(jiǎn)化幾何體。有時(shí)，過(guò)于精細(xì)的曲面會(huì)導(dǎo)致碰撞算法計(jì)算復(fù)雜，而細(xì)分曲面可以通過(guò)適當(dāng)控制細(xì)分級(jí)別，生成既平滑又能有效表示物體形狀的碰撞模型。

五、優(yōu)缺點(diǎn)分析

（一）優(yōu)點(diǎn)

1.高精度：通過(guò)多次細(xì)分，可以生成非常光滑和高分辨率的曲面，能夠精確地模擬復(fù)雜的不規(guī)則形狀。

2.靈活性：支持從簡(jiǎn)單的四邊形或三角形網(wǎng)格開始，逐步構(gòu)建復(fù)雜的曲面，設(shè)計(jì)過(guò)程相對(duì)直觀?？刂凭W(wǎng)格提供了對(duì)最終曲面形狀的直觀控制。

3.效率：相比于從頭開始用NURBS等表示法構(gòu)建復(fù)雜曲面，細(xì)分曲面方法通常在建模階段更直接、快速，尤其是在需要有機(jī)變形或細(xì)節(jié)時(shí)。

4.邊界處理：主流的細(xì)分算法（如Catmull-Clark和Loop）都內(nèi)置了良好的邊界處理機(jī)制，能夠生成平滑的邊界曲線。

（二）缺點(diǎn)

1.計(jì)算資源消耗：隨著細(xì)分次數(shù)的增加，模型的頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)會(huì)急劇增長(zhǎng)（例如，Catmull-Clark和Loop細(xì)分每次細(xì)分后面數(shù)通常變?yōu)樵瓉?lái)的4倍）。這會(huì)導(dǎo)致更高的CPU和內(nèi)存使用率，尤其是在實(shí)時(shí)渲染（如游戲）或復(fù)雜場(chǎng)景中。

2.內(nèi)存占用：高分辨率的細(xì)分曲面模型會(huì)占用大量的內(nèi)存空間，存儲(chǔ)和傳輸這些模型也會(huì)更加耗時(shí)。

3.端點(diǎn)問(wèn)題（或稱為星形頂點(diǎn)問(wèn)題）：在某些特殊的初始網(wǎng)格配置下，細(xì)分過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)“星形頂點(diǎn)”，即一個(gè)頂點(diǎn)被多條邊以相同或相似角度匯聚。雖然大多數(shù)現(xiàn)代軟件都能檢測(cè)并處理這個(gè)問(wèn)題，但星形頂點(diǎn)可能導(dǎo)致細(xì)分不穩(wěn)定或產(chǎn)生不希望的尖銳特征。

4.對(duì)初始網(wǎng)格依賴性：細(xì)分效果很大程度上取決于初始控制網(wǎng)格的質(zhì)量。一個(gè)糟糕的初始網(wǎng)格（如存在大量銳角、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不合理）可能會(huì)導(dǎo)致最終的細(xì)分曲面出現(xiàn)不必要的銳邊、凹陷或自相交等問(wèn)題，后期修復(fù)難度較大。

5.缺乏全局控制：雖然控制網(wǎng)格提供了局部控制，但對(duì)于非常復(fù)雜的全局形狀調(diào)整，有時(shí)不如NURBS等基于參數(shù)化表示的方法直接和精確。

六、結(jié)論

細(xì)分曲面建模技術(shù)通過(guò)迭代優(yōu)化實(shí)現(xiàn)高精度曲面生成，適用于工業(yè)設(shè)計(jì)、動(dòng)畫和VR等領(lǐng)域。它以相對(duì)直觀的方式處理復(fù)雜幾何，并能生成平滑的有機(jī)形態(tài)。在實(shí)際應(yīng)用中，需要平衡計(jì)算效率與模型精度，特別是在處理高分辨率模型時(shí)，必須考慮計(jì)算資源和內(nèi)存的限制。選擇合適的細(xì)分算法（Catmull-Clark或Loop）并掌握其特性，結(jié)合對(duì)初始網(wǎng)格質(zhì)量的把控以及必要的后期優(yōu)化調(diào)整，是發(fā)揮細(xì)分曲面建模優(yōu)勢(shì)的關(guān)鍵。未來(lái)可進(jìn)一步研究自適應(yīng)細(xì)分（根據(jù)需要調(diào)整細(xì)分區(qū)域和程度）、實(shí)時(shí)渲染優(yōu)化和與其他建模技術(shù)的融合，以滿足更高性能和更復(fù)雜場(chǎng)景的需求。

一、概述

細(xì)分曲面建模是一種通過(guò)重復(fù)細(xì)分操作將簡(jiǎn)單幾何形狀逐步轉(zhuǎn)化為復(fù)雜曲面的技術(shù)，廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、產(chǎn)品設(shè)計(jì)和虛擬現(xiàn)實(shí)等領(lǐng)域。本報(bào)告將介紹細(xì)分曲面建模的基本原理、操作步驟、應(yīng)用場(chǎng)景及優(yōu)缺點(diǎn)，為相關(guān)技術(shù)人員提供參考。

二、細(xì)分曲面建模原理

（一）基本概念

1.細(xì)分曲面：通過(guò)添加更多頂點(diǎn)和控制點(diǎn)，使曲面更加平滑和精細(xì)。

2.控制網(wǎng)格：初始的簡(jiǎn)單網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，如四邊形或三角形網(wǎng)格。

3.細(xì)分操作：每次迭代過(guò)程中對(duì)控制網(wǎng)格進(jìn)行拓?fù)浜蛶缀握{(diào)整。

（二）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1.Catmull-Clark細(xì)分：基于四邊形網(wǎng)格的細(xì)分算法，通過(guò)頂點(diǎn)插值和權(quán)重計(jì)算實(shí)現(xiàn)平滑過(guò)渡。

2.Loop細(xì)分：針對(duì)三角形網(wǎng)格的優(yōu)化算法，保持邊界曲線的連續(xù)性。

三、操作步驟

（一）準(zhǔn)備階段

1.創(chuàng)建初始控制網(wǎng)格：

-使用多邊形建模工具構(gòu)建簡(jiǎn)單的四邊形或三角形網(wǎng)格。

-確保網(wǎng)格無(wú)自相交或非流形邊。

（二）細(xì)分過(guò)程

1.第一次細(xì)分：

-(1)計(jì)算新頂點(diǎn)位置：根據(jù)原頂點(diǎn)鄰域關(guān)系和權(quán)重分配。

-(2)重新拓?fù)洌荷尚碌倪吅兔妗?/p>

2.重復(fù)細(xì)分：

-按需多次執(zhí)行細(xì)分操作，直至達(dá)到目標(biāo)精度。

-每次細(xì)分后檢查曲面的平滑度和連續(xù)性。

（三）優(yōu)化調(diào)整

1.調(diào)整控制點(diǎn)：微調(diào)頂點(diǎn)位置以修正局部變形。

2.邊界處理：確保邊界曲線符合設(shè)計(jì)要求。

四、應(yīng)用場(chǎng)景

（一）工業(yè)設(shè)計(jì)

1.產(chǎn)品原型設(shè)計(jì)：快速生成高精度曲面模型。

2.汽車外形設(shè)計(jì)：利用細(xì)分曲面優(yōu)化空氣動(dòng)力學(xué)性能。

（二）計(jì)算機(jī)動(dòng)畫

1.角色建模：創(chuàng)建平滑的皮膚和衣物表面。

2.場(chǎng)景構(gòu)建：生成復(fù)雜的有機(jī)形態(tài)（如地形、植物）。

（三）虛擬現(xiàn)實(shí)

1.游戲資產(chǎn)：提高場(chǎng)景細(xì)節(jié)和真實(shí)感。

2.碰撞檢測(cè)：優(yōu)化復(fù)雜曲面的性能表現(xiàn)。

五、優(yōu)缺點(diǎn)分析

（一）優(yōu)點(diǎn)

1.高精度：通過(guò)多次細(xì)分實(shí)現(xiàn)平滑曲面。

2.靈活性：支持四邊形和三角形網(wǎng)格。

3.效率：相比傳統(tǒng)NURBS方法計(jì)算量較低。

（二）缺點(diǎn)

1.計(jì)算資源消耗：高階細(xì)分會(huì)導(dǎo)致面數(shù)急劇增加。

2.內(nèi)存占用：復(fù)雜模型需要較大存儲(chǔ)空間。

3.端點(diǎn)問(wèn)題：邊界頂點(diǎn)可能產(chǎn)生不連續(xù)現(xiàn)象（需特殊處理）。

六、結(jié)論

細(xì)分曲面建模技術(shù)通過(guò)迭代優(yōu)化實(shí)現(xiàn)高精度曲面生成，適用于工業(yè)設(shè)計(jì)、動(dòng)畫和VR等領(lǐng)域。在實(shí)際應(yīng)用中需平衡計(jì)算效率與模型精度，結(jié)合邊界處理和優(yōu)化算法以提升效果。未來(lái)可進(jìn)一步研究自適應(yīng)細(xì)分和實(shí)時(shí)渲染技術(shù)，以滿足更高性能需求。

一、概述

細(xì)分曲面建模是一種通過(guò)重復(fù)細(xì)分操作將簡(jiǎn)單幾何形狀逐步轉(zhuǎn)化為復(fù)雜曲面的技術(shù)，廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、產(chǎn)品設(shè)計(jì)和虛擬現(xiàn)實(shí)等領(lǐng)域。本報(bào)告將詳細(xì)介紹細(xì)分曲面建模的基本原理、操作步驟、應(yīng)用場(chǎng)景及優(yōu)缺點(diǎn)，為相關(guān)技術(shù)人員提供參考。

二、細(xì)分曲面建模原理

（一）基本概念

1.細(xì)分曲面：通過(guò)添加更多頂點(diǎn)和控制點(diǎn)，并調(diào)整它們的位置，使原始的、相對(duì)粗糙的幾何網(wǎng)格逐漸變得更加平滑和精細(xì)，從而形成連續(xù)的光滑曲面。這種技術(shù)特別適用于創(chuàng)建具有平滑表面細(xì)節(jié)的復(fù)雜物體，如有機(jī)形態(tài)或高精度工業(yè)零件。

2.控制網(wǎng)格（或稱為控制多邊形網(wǎng)格）：這是細(xì)分過(guò)程的起點(diǎn)，通常是一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的多邊形網(wǎng)格（最常見的是四邊形網(wǎng)格，有時(shí)也使用三角形網(wǎng)格）。該網(wǎng)格的頂點(diǎn)位置定義了曲面的基本形狀骨架。

3.細(xì)分操作：這是指對(duì)控制網(wǎng)格進(jìn)行的一系列迭代計(jì)算過(guò)程。在每次迭代中，算法會(huì)根據(jù)現(xiàn)有頂點(diǎn)的位置和相互關(guān)系，計(jì)算出新的頂點(diǎn)位置，并重新構(gòu)建網(wǎng)格的面片（如四邊形或三角形），從而在幾何上“雕刻”出更精細(xì)的表面。

（二）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1.Catmull-Clark細(xì)分：這是一種基于四邊形控制網(wǎng)格的細(xì)分算法。其核心思想是通過(guò)迭代過(guò)程，不斷增加網(wǎng)格的頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)，同時(shí)保持曲面的光滑度。數(shù)學(xué)上，它通過(guò)定義頂點(diǎn)、邊和面的新位置，并使用特定的權(quán)重（weights）進(jìn)行插值計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。Catmull-Clark算法的一個(gè)重要特性是它能夠很好地處理邊界曲線，使得邊界處的曲面也能保持平滑，并且邊界曲線會(huì)收斂到特定的幾何元素（如直線或圓弧，取決于初始網(wǎng)格）。

關(guān)鍵步驟包括：計(jì)算新頂點(diǎn)位置（基于原頂點(diǎn)及其鄰居頂點(diǎn)的加權(quán)平均）、確定新的邊和面的連接關(guān)系。

權(quán)重分配：Catmull-Clark算法為不同位置的頂點(diǎn)分配了不同的權(quán)重，例如，內(nèi)部頂點(diǎn)、邊界頂點(diǎn)、邊界環(huán)上的頂點(diǎn)，它們?cè)谟?jì)算新頂點(diǎn)位置時(shí)的貢獻(xiàn)不同，這保證了細(xì)分結(jié)果的平滑性和邊界處理的正確性。

2.Loop細(xì)分：這是一種專門為三角形網(wǎng)格設(shè)計(jì)的細(xì)分算法，由TonyLoop提出。與Catmull-Clark主要針對(duì)四邊形網(wǎng)格不同，Loop細(xì)分能更自然地處理由三角形組成的復(fù)雜網(wǎng)格。它的優(yōu)勢(shì)在于能夠更好地保持邊界曲線的連續(xù)性和幾何特性（如曲率），使得在邊界處添加細(xì)節(jié)時(shí)，邊界的外觀變化更小，更適合有機(jī)體建模等場(chǎng)景。

關(guān)鍵步驟包括：為每個(gè)三角形頂點(diǎn)計(jì)算新的位置、更新三角形鄰接關(guān)系、重新構(gòu)建網(wǎng)格。

邊界處理：Loop細(xì)分通過(guò)特殊的權(quán)重設(shè)置，確保邊界三角形的頂點(diǎn)在細(xì)分后能正確地延伸，形成平滑的邊界曲線，而不會(huì)出現(xiàn)尖銳的轉(zhuǎn)折。

三、操作步驟

（一）準(zhǔn)備階段

1.創(chuàng)建初始控制網(wǎng)格：

使用多邊形建模工具（如NURBS建模、多邊形建模）構(gòu)建一個(gè)簡(jiǎn)單的網(wǎng)格作為起點(diǎn)。這個(gè)初始網(wǎng)格可以是平面、球體、立方體等基礎(chǔ)形狀，也可以是更自由的手繪形狀。

確保網(wǎng)格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是合理的：避免出現(xiàn)自相交的邊、非流形（non-manifold）的頂點(diǎn)（即連接了奇數(shù)條邊的頂點(diǎn)）或懸掛頂點(diǎn)（只有一條邊連接的頂點(diǎn)）。這些拓?fù)溴e(cuò)誤會(huì)導(dǎo)致細(xì)分過(guò)程失敗或產(chǎn)生不可預(yù)測(cè)的結(jié)果?？梢允褂密浖械墓ぞ邫z查和修復(fù)這些錯(cuò)誤。

（二）細(xì)分過(guò)程

1.第一次細(xì)分：

(1)計(jì)算新頂點(diǎn)位置：根據(jù)Catmull-Clark或Loop算法的規(guī)則，對(duì)于控制網(wǎng)格中的每個(gè)頂點(diǎn)，利用其自身及其鄰近頂點(diǎn)的坐標(biāo)和預(yù)設(shè)的權(quán)重，計(jì)算出該頂點(diǎn)在第一次細(xì)分后的新位置。這個(gè)計(jì)算過(guò)程涉及對(duì)頂點(diǎn)鄰域內(nèi)所有頂點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行加權(quán)平均。例如，在Catmull-Clark中，一個(gè)內(nèi)部頂點(diǎn)的新位置是其相鄰四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的加權(quán)平均；邊界頂點(diǎn)則根據(jù)其是否位于邊界環(huán)上以及相鄰頂點(diǎn)的位置采用不同的權(quán)重計(jì)算公式。

(2)重新拓?fù)洌涸谟?jì)算出所有新頂點(diǎn)位置后，需要根據(jù)這些新頂點(diǎn)的連接關(guān)系，重新構(gòu)建網(wǎng)格的面片。例如，原來(lái)由三個(gè)頂點(diǎn)定義的三角形，在細(xì)分后會(huì)生成四個(gè)新的三角形，它們共享中間的新頂點(diǎn)。同樣，四邊形網(wǎng)格在細(xì)分后會(huì)變成更多的四邊形。這一步確保了曲面在細(xì)分后仍然保持正確的形狀和覆蓋范圍。

2.重復(fù)細(xì)分：

按需多次執(zhí)行上述的細(xì)分操作。每次細(xì)分都會(huì)使模型變得更加精細(xì)，頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)成倍增加（具體倍數(shù)取決于細(xì)分算法和執(zhí)行次數(shù)，例如Catmull-Clark和Loop細(xì)分通常每次細(xì)分將面數(shù)增加至原來(lái)的4倍）。

每次細(xì)分后，都應(yīng)檢查曲面的平滑度和視覺質(zhì)量?？梢允褂密浖械钠交@示模式、高亮顯示邊界等方式進(jìn)行檢查。同時(shí)，也要留意模型是否出現(xiàn)了過(guò)度平滑（導(dǎo)致細(xì)節(jié)丟失）或異常變形（如邊界塌陷、內(nèi)部出現(xiàn)洞）等問(wèn)題。

根據(jù)需要決定細(xì)分次數(shù)。達(dá)到滿意的精度或性能要求后，應(yīng)停止細(xì)分，以避免不必要的計(jì)算量和內(nèi)存消耗。細(xì)分次數(shù)越多，模型越精細(xì)，但同時(shí)計(jì)算成本和存儲(chǔ)需求也急劇上升。

（三）優(yōu)化調(diào)整

1.調(diào)整控制點(diǎn)：雖然細(xì)分操作會(huì)自動(dòng)計(jì)算新頂點(diǎn)位置，但有時(shí)需要手動(dòng)調(diào)整初始控制網(wǎng)格的頂點(diǎn)（控制點(diǎn)）來(lái)修正細(xì)分后出現(xiàn)的局部變形或強(qiáng)調(diào)某些特征。例如，如果細(xì)分后某個(gè)區(qū)域的曲面形態(tài)不符合預(yù)期，可以回到控制網(wǎng)格階段，微調(diào)該區(qū)域?qū)?yīng)控制點(diǎn)的位置，然后重新細(xì)分或進(jìn)行局部調(diào)整。現(xiàn)代的細(xì)分曲面工具通常允許在細(xì)分過(guò)程中或之后對(duì)控制點(diǎn)進(jìn)行非破壞性編輯。

2.邊界處理：仔細(xì)檢查模型的邊界曲線。細(xì)分算法通常會(huì)自動(dòng)處理邊界，但可能需要手動(dòng)微調(diào)邊界控制點(diǎn)的位置，以確保邊界曲線的形狀和曲率符合設(shè)計(jì)要求。在某些情況下，可能需要使用專門的邊界處理工具來(lái)優(yōu)化邊界外觀。對(duì)于需要精確控制邊界形狀的應(yīng)用（如工業(yè)設(shè)計(jì)），可能需要結(jié)合其他建模技術(shù)（如NURBS）來(lái)輔助處理邊界。

四、應(yīng)用場(chǎng)景

（一）工業(yè)設(shè)計(jì)

1.產(chǎn)品原型設(shè)計(jì)：

快速生成具有平滑表面和復(fù)雜細(xì)節(jié)的產(chǎn)品模型，如消費(fèi)電子、家電、汽車零部件等。

通過(guò)調(diào)整控制網(wǎng)格，可以方便地修改產(chǎn)品形態(tài)，進(jìn)行設(shè)計(jì)迭代。

細(xì)分曲面可以很容易地轉(zhuǎn)換為STL等格式，用于3D打印原型制作。

2.汽車外形設(shè)計(jì)：

利用細(xì)分曲面優(yōu)化汽車車身的空氣動(dòng)力學(xué)性能，通過(guò)在曲面表面添加小的細(xì)節(jié)（如氣流偏導(dǎo)片），并使用細(xì)分來(lái)平滑過(guò)渡，可以減少風(fēng)阻。

創(chuàng)建復(fù)雜的車燈、保險(xiǎn)杠等部件的曲面，使其外觀更符合空氣動(dòng)力學(xué)和美學(xué)要求。

（二）計(jì)算機(jī)動(dòng)畫

1.角色建模：

創(chuàng)建逼真的角色皮膚表面。人體皮膚具有復(fù)雜的細(xì)節(jié)，如皺紋、疤痕、肌肉組織下的微妙起伏，細(xì)分曲面能夠有效地模擬這些效果。

在綁定（rigging）和動(dòng)畫（animation）過(guò)程中，控制網(wǎng)格可以作為變形的基礎(chǔ)，使得在表情動(dòng)畫或動(dòng)作時(shí)，皮膚能夠自然地跟隨骨骼移動(dòng)并保持平滑。

2.場(chǎng)景構(gòu)建：

生成復(fù)雜的有機(jī)形態(tài)，如地形（山脈、峽谷）、植物（樹葉、花朵）、云霧等，這些物體往往難以用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)函數(shù)描述，但可以通過(guò)細(xì)分簡(jiǎn)單的初始形狀來(lái)創(chuàng)建。

構(gòu)建具有精細(xì)細(xì)節(jié)的環(huán)境資產(chǎn)，如建筑表面、裝飾物等，提升虛擬世界的真實(shí)感。

（三）虛擬現(xiàn)實(shí)

1.游戲資產(chǎn)：

為游戲角色、道具、環(huán)境等創(chuàng)建高分辨率的模型，提升視覺表現(xiàn)力。雖然高細(xì)節(jié)模型會(huì)增加渲染負(fù)擔(dān)，但在關(guān)鍵視點(diǎn)或近處使用細(xì)分曲面可以顯著提高畫面質(zhì)量。

結(jié)合LOD（LevelofDetail）技術(shù)，可以在不同距離下使用不同細(xì)分級(jí)別的模型，在保證視覺效果的同時(shí)優(yōu)化性能。

2.碰撞檢測(cè)：

創(chuàng)建用于物理模擬和碰撞檢測(cè)的簡(jiǎn)化幾何體。有時(shí)，過(guò)于精細(xì)的曲面會(huì)導(dǎo)致碰撞算法計(jì)算復(fù)雜，而細(xì)分曲面可以通過(guò)適當(dāng)控制細(xì)分級(jí)別，生成既平滑又能有效表示物體形狀的碰撞模型。

五、優(yōu)缺點(diǎn)分析

（一）優(yōu)點(diǎn)

1.高精度：通過(guò)多次細(xì)分，可以生成非常光滑和高分辨率的曲面，能夠精確地模擬復(fù)雜的不規(guī)則形狀。

2.靈活性：支持從簡(jiǎn)單的四邊形或三角形網(wǎng)格開始，逐步構(gòu)建復(fù)雜的曲面，設(shè)計(jì)過(guò)程相對(duì)直觀?？刂凭W(wǎng)格提供了對(duì)最終曲面形狀的直觀控制。

3.效率：相比于從頭開始用NURBS等表示法構(gòu)建復(fù)雜曲面，細(xì)分曲面方法通常在建模階段更直接、快速，尤其是在需要有機(jī)變形或細(xì)節(jié)時(shí)。

4.邊界處理：主流的細(xì)分算法（如Catmull-Clark和Loop）都內(nèi)置了良好的邊界處理機(jī)制，能夠生成平滑的邊界曲線。

（二）缺點(diǎn)

1.計(jì)算資源消耗：隨著細(xì)分次數(shù)的增加，模型的頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)會(huì)急劇增長(zhǎng)（例如，Catmull-Clark和Loop細(xì)分每次細(xì)分后面數(shù)通常變?yōu)樵瓉?lái)的4倍）。這會(huì)導(dǎo)致更高的CPU和內(nèi)存使用率，尤其是在實(shí)時(shí)渲染（如游戲）或復(fù)雜場(chǎng)景中。

2.內(nèi)存占用：高分辨率的細(xì)分曲面模型會(huì)占用大量的內(nèi)存空間，存儲(chǔ)和傳輸這些模型也會(huì)更加耗時(shí)。

3.端點(diǎn)問(wèn)題（或稱為星形頂點(diǎn)問(wèn)題）：在某些特殊的初始網(wǎng)格配置下，細(xì)分過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)“星形頂點(diǎn)”，即一個(gè)頂點(diǎn)被多條邊以相同或相似角度匯聚。雖然大多數(shù)現(xiàn)代軟件都能檢測(cè)并處理這個(gè)問(wèn)題，但星形頂點(diǎn)可能導(dǎo)致細(xì)分不穩(wěn)定或產(chǎn)生不希望的尖銳特征。

4.對(duì)初始網(wǎng)格依賴性：細(xì)分效果很大程度上取決于初始控制網(wǎng)格的質(zhì)量。一個(gè)糟糕的初始網(wǎng)格（如存在大量銳角、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不合理）可能會(huì)導(dǎo)致最終的細(xì)分曲面出現(xiàn)不必要的銳邊、凹陷或自相交等問(wèn)題，后期修復(fù)難度較大。

5.缺乏全局控制：雖然控制網(wǎng)格提供了局部控制，但對(duì)于非常復(fù)雜的全局形狀調(diào)整，有時(shí)不如NURBS等基于參數(shù)化表示的方法直接和精確。

六、結(jié)論

細(xì)分曲面建模技術(shù)通過(guò)迭代優(yōu)化實(shí)現(xiàn)高精度曲面生成，適用于工業(yè)設(shè)計(jì)、動(dòng)畫和VR等領(lǐng)域。它以相對(duì)直觀的方式處理復(fù)雜幾何，并能生成平滑的有機(jī)形態(tài)。在實(shí)際應(yīng)用中，需要平衡計(jì)算效率與模型精度，特別是在處理高分辨率模型時(shí)，必須考慮計(jì)算資源和內(nèi)存的限制。選擇合適的細(xì)分算法（Catmull-Clark或Loop）并掌握其特性，結(jié)合對(duì)初始網(wǎng)格質(zhì)量的把控以及必要的后期優(yōu)化調(diào)整，是發(fā)揮細(xì)分曲面建模優(yōu)勢(shì)的關(guān)鍵。未來(lái)可進(jìn)一步研究自適應(yīng)細(xì)分（根據(jù)需要調(diào)整細(xì)分區(qū)域和程度）、實(shí)時(shí)渲染優(yōu)化和與其他建模技術(shù)的融合，以滿足更高性能和更復(fù)雜場(chǎng)景的需求。

一、概述

細(xì)分曲面建模是一種通過(guò)重復(fù)細(xì)分操作將簡(jiǎn)單幾何形狀逐步轉(zhuǎn)化為復(fù)雜曲面的技術(shù)，廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、產(chǎn)品設(shè)計(jì)和虛擬現(xiàn)實(shí)等領(lǐng)域。本報(bào)告將介紹細(xì)分曲面建模的基本原理、操作步驟、應(yīng)用場(chǎng)景及優(yōu)缺點(diǎn)，為相關(guān)技術(shù)人員提供參考。

二、細(xì)分曲面建模原理

（一）基本概念

1.細(xì)分曲面：通過(guò)添加更多頂點(diǎn)和控制點(diǎn)，使曲面更加平滑和精細(xì)。

2.控制網(wǎng)格：初始的簡(jiǎn)單網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，如四邊形或三角形網(wǎng)格。

3.細(xì)分操作：每次迭代過(guò)程中對(duì)控制網(wǎng)格進(jìn)行拓?fù)浜蛶缀握{(diào)整。

（二）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1.Catmull-Clark細(xì)分：基于四邊形網(wǎng)格的細(xì)分算法，通過(guò)頂點(diǎn)插值和權(quán)重計(jì)算實(shí)現(xiàn)平滑過(guò)渡。

2.Loop細(xì)分：針對(duì)三角形網(wǎng)格的優(yōu)化算法，保持邊界曲線的連續(xù)性。

三、操作步驟

（一）準(zhǔn)備階段

1.創(chuàng)建初始控制網(wǎng)格：

-使用多邊形建模工具構(gòu)建簡(jiǎn)單的四邊形或三角形網(wǎng)格。

-確保網(wǎng)格無(wú)自相交或非流形邊。

（二）細(xì)分過(guò)程

1.第一次細(xì)分：

-(1)計(jì)算新頂點(diǎn)位置：根據(jù)原頂點(diǎn)鄰域關(guān)系和權(quán)重分配。

-(2)重新拓?fù)洌荷尚碌倪吅兔妗?/p>

2.重復(fù)細(xì)分：

-按需多次執(zhí)行細(xì)分操作，直至達(dá)到目標(biāo)精度。

-每次細(xì)分后檢查曲面的平滑度和連續(xù)性。

（三）優(yōu)化調(diào)整

1.調(diào)整控制點(diǎn)：微調(diào)頂點(diǎn)位置以修正局部變形。

2.邊界處理：確保邊界曲線符合設(shè)計(jì)要求。

四、應(yīng)用場(chǎng)景

（一）工業(yè)設(shè)計(jì)

1.產(chǎn)品原型設(shè)計(jì)：快速生成高精度曲面模型。

2.汽車外形設(shè)計(jì)：利用細(xì)分曲面優(yōu)化空氣動(dòng)力學(xué)性能。

（二）計(jì)算機(jī)動(dòng)畫

1.角色建模：創(chuàng)建平滑的皮膚和衣物表面。

2.場(chǎng)景構(gòu)建：生成復(fù)雜的有機(jī)形態(tài)（如地形、植物）。

（三）虛擬現(xiàn)實(shí)

1.游戲資產(chǎn)：提高場(chǎng)景細(xì)節(jié)和真實(shí)感。

2.碰撞檢測(cè)：優(yōu)化復(fù)雜曲面的性能表現(xiàn)。

五、優(yōu)缺點(diǎn)分析

（一）優(yōu)點(diǎn)

1.高精度：通過(guò)多次細(xì)分實(shí)現(xiàn)平滑曲面。

2.靈活性：支持四邊形和三角形網(wǎng)格。

3.效率：相比傳統(tǒng)NURBS方法計(jì)算量較低。

（二）缺點(diǎn)

1.計(jì)算資源消耗：高階細(xì)分會(huì)導(dǎo)致面數(shù)急劇增加。

2.內(nèi)存占用：復(fù)雜模型需要較大存儲(chǔ)空間。

3.端點(diǎn)問(wèn)題：邊界頂點(diǎn)可能產(chǎn)生不連續(xù)現(xiàn)象（需特殊處理）。

六、結(jié)論

細(xì)分曲面建模技術(shù)通過(guò)迭代優(yōu)化實(shí)現(xiàn)高精度曲面生成，適用于工業(yè)設(shè)計(jì)、動(dòng)畫和VR等領(lǐng)域。在實(shí)際應(yīng)用中需平衡計(jì)算效率與模型精度，結(jié)合邊界處理和優(yōu)化算法以提升效果。未來(lái)可進(jìn)一步研究自適應(yīng)細(xì)分和實(shí)時(shí)渲染技術(shù)，以滿足更高性能需求。

一、概述

細(xì)分曲面建模是一種通過(guò)重復(fù)細(xì)分操作將簡(jiǎn)單幾何形狀逐步轉(zhuǎn)化為復(fù)雜曲面的技術(shù)，廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、產(chǎn)品設(shè)計(jì)和虛擬現(xiàn)實(shí)等領(lǐng)域。本報(bào)告將詳細(xì)介紹細(xì)分曲面建模的基本原理、操作步驟、應(yīng)用場(chǎng)景及優(yōu)缺點(diǎn)，為相關(guān)技術(shù)人員提供參考。

二、細(xì)分曲面建模原理

（一）基本概念

1.細(xì)分曲面：通過(guò)添加更多頂點(diǎn)和控制點(diǎn)，并調(diào)整它們的位置，使原始的、相對(duì)粗糙的幾何網(wǎng)格逐漸變得更加平滑和精細(xì)，從而形成連續(xù)的光滑曲面。這種技術(shù)特別適用于創(chuàng)建具有平滑表面細(xì)節(jié)的復(fù)雜物體，如有機(jī)形態(tài)或高精度工業(yè)零件。

2.控制網(wǎng)格（或稱為控制多邊形網(wǎng)格）：這是細(xì)分過(guò)程的起點(diǎn)，通常是一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的多邊形網(wǎng)格（最常見的是四邊形網(wǎng)格，有時(shí)也使用三角形網(wǎng)格）。該網(wǎng)格的頂點(diǎn)位置定義了曲面的基本形狀骨架。

3.細(xì)分操作：這是指對(duì)控制網(wǎng)格進(jìn)行的一系列迭代計(jì)算過(guò)程。在每次迭代中，算法會(huì)根據(jù)現(xiàn)有頂點(diǎn)的位置和相互關(guān)系，計(jì)算出新的頂點(diǎn)位置，并重新構(gòu)建網(wǎng)格的面片（如四邊形或三角形），從而在幾何上“雕刻”出更精細(xì)的表面。

（二）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1.Catmull-Clark細(xì)分：這是一種基于四邊形控制網(wǎng)格的細(xì)分算法。其核心思想是通過(guò)迭代過(guò)程，不斷增加網(wǎng)格的頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù)，同時(shí)保持曲面的光滑度。數(shù)學(xué)上，它通過(guò)定義頂點(diǎn)、邊和面的新位置，并使用特定的權(quán)重（weights）進(jìn)行插值計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。Catmull-Clark算法的一個(gè)重要特性是它能夠很好地處理邊界曲線，使得邊界處的曲面也能保持平滑，并且邊界曲線會(huì)收斂到特定的幾何元素（如直線或圓弧，取決于初始網(wǎng)格）。

關(guān)鍵步驟包括：計(jì)算新頂點(diǎn)位置（基于原頂點(diǎn)及其鄰居頂點(diǎn)的加權(quán)平均）、確定新的邊和面的連接關(guān)系。

權(quán)重分配：Catmull-Clark算法為不同位置的頂點(diǎn)分配了不同的權(quán)重，例如，內(nèi)部頂點(diǎn)、邊界頂點(diǎn)、邊界環(huán)上的頂點(diǎn)，它們?cè)谟?jì)算新頂點(diǎn)位置時(shí)的貢獻(xiàn)不同，這保證了細(xì)分結(jié)果的平滑性和邊界處理的正確性。

2.Loop細(xì)分：這是一種專門為三角形網(wǎng)格設(shè)計(jì)的細(xì)分算法，由TonyLoop提出。與Catmull-Clark主要針對(duì)四邊形網(wǎng)格不同，Loop細(xì)分能更自然地處理由三角形組成的復(fù)雜網(wǎng)格。它的優(yōu)勢(shì)在于能夠更好地保持邊界曲線的連續(xù)性和幾何特性（如曲率），使得在邊界處添加細(xì)節(jié)時(shí)，邊界的外觀變化更小，更適合有機(jī)體建模等場(chǎng)景。

關(guān)鍵步驟包括：為每個(gè)三角形頂點(diǎn)計(jì)算新的位置、更新三角形鄰接關(guān)系、重新構(gòu)建網(wǎng)格。

邊界處理：Loop細(xì)分通過(guò)特殊的權(quán)重設(shè)置，確保邊界三角形的頂點(diǎn)在細(xì)分后能正確地延伸，形成平滑的邊界曲線，而不會(huì)出現(xiàn)尖銳的轉(zhuǎn)折。

三、操作步驟

（一）準(zhǔn)備階段

1.創(chuàng)建初始控制網(wǎng)格：

使用多邊形建模工具（如NURBS建模、多邊形建模）構(gòu)建一個(gè)簡(jiǎn)單的網(wǎng)格作為起點(diǎn)。這個(gè)初始網(wǎng)格可以是平面、球體、立方體等基礎(chǔ)形狀，也可以是更自由的手繪形狀。

確保網(wǎng)格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是合理的：避免出現(xiàn)自相交的邊、非流形（non-manifold）的頂點(diǎn)（即連接了奇數(shù)條邊的頂點(diǎn)）或懸掛頂點(diǎn)（只有一條邊連接的頂點(diǎn)）。這些拓?fù)溴e(cuò)誤會(huì)導(dǎo)致細(xì)分過(guò)程失敗或產(chǎn)生不可預(yù)測(cè)的結(jié)果?？梢允褂密浖械墓ぞ邫z查和修復(fù)這些錯(cuò)誤。

（二）細(xì)分過(guò)程

1.第一次細(xì)分：

(1)計(jì)算新頂點(diǎn)位置：根據(jù)Catmull-Clark或Loop算法的規(guī)則，對(duì)于控制網(wǎng)格中的每個(gè)頂點(diǎn)，利用其自身及其鄰近頂點(diǎn)的坐標(biāo)和預(yù)設(shè)的權(quán)重，計(jì)算出該頂點(diǎn)在第一次細(xì)分后的新位置。這個(gè)計(jì)算過(guò)程涉及對(duì)頂點(diǎn)鄰域內(nèi)所有頂點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行加權(quán)平均。例如，在Catmull-Clark中，一個(gè)內(nèi)部頂點(diǎn)的新位置是其相鄰四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的加權(quán)平均；邊界頂點(diǎn)則根據(jù)其是否位于邊界環(huán)上以及相鄰頂點(diǎn)的位置采用不同