2026屆北京西城師大附中數(shù)學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖反比例函數(shù)()與正比例函數(shù)()相交于兩點(diǎn)A，B．若點(diǎn)A(1，2)，B坐標(biāo)是（）A．(，) B．(，) C．(，) D．(，)2．如圖，已知二次函數(shù)y=（x+1）2﹣4，當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，則函數(shù)y的最小值和最大值（）A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和53．關(guān)于2,6,1,10,6這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6 B．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1C．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是6 D．這組數(shù)據(jù)的方差是10.24．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）5．方程的解是（）A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=1 D．x=0或x=-16．下列美麗的壯錦圖案是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．7．設(shè)，，是拋物線上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．將點(diǎn)A（﹣3，4）繞原點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°后得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（3，﹣4） B．（﹣4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣3，﹣4）9．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC與△DEF的面積比為1：9，則OC：CF的值為（）A．1：2 B．1：3 C．1：8 D．1：910．如果將拋物線向右平移1個(gè)單位，那么所得新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．11．兩個(gè)全等的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)為2，按如圖放置，其中一個(gè)三角形45°角的項(xiàng)點(diǎn)與另一個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)A重合，若三角形ABC固定，當(dāng)另一個(gè)三角形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，它的角邊和斜邊所在的直線分別與邊BC交于點(diǎn)E、F，設(shè)BF=CE=則關(guān)于的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．12．將分別標(biāo)有“走”“向”“偉”“大”“復(fù)”“興”漢字的小球裝在一個(gè)不透明的口袋中，這些球除漢字外完全相同，每次摸球前先攪勻，隨機(jī)摸出一球，不放回，再隨機(jī)摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“復(fù)興”的概率是（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如上圖，四邊形中，，點(diǎn)在軸上，雙曲線過(guò)點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接.若，，則的值為_(kāi)_____.14．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則__________．15．時(shí)鐘上的分針勻速旋轉(zhuǎn)一周需要60分鐘，則經(jīng)過(guò)10分鐘，分針旋轉(zhuǎn)了_____度．16．已知關(guān)于的方程的一個(gè)根為6，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________．17．如圖，在△ABC中，BC=12，BC上的高AH=8，矩形DEFG的邊EF在邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上．設(shè)DE，矩形DEFG的面積為，那么關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是______．（不需寫(xiě)出x的取值范圍）．18．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則tanA等于．三、解答題（共78分）19．（8分）我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂直四邊形．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問(wèn)四邊形ABCD是垂直四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖2，四邊形ABCD是垂直四邊形，求證：AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如圖3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AC、AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE長(zhǎng)．20．（8分）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）若拋物線交軸于點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由21．（8分）某商店購(gòu)進(jìn)600個(gè)旅游紀(jì)念品，進(jìn)價(jià)為每個(gè)6元，第一周以每個(gè)10元的價(jià)格售出200個(gè)，第二周若按每個(gè)10元的價(jià)格銷(xiāo)售仍可售出200個(gè)，但商店為了適當(dāng)增加銷(xiāo)量，決定降價(jià)銷(xiāo)售（根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出50個(gè)，但售價(jià)不得低于進(jìn)價(jià)），單價(jià)降低x元銷(xiāo)售銷(xiāo)售一周后，商店對(duì)剩余旅游紀(jì)念品清倉(cāng)處理，以每個(gè)4元的價(jià)格全部售出，如果這批旅游紀(jì)念品共獲利1250元，問(wèn)第二周每個(gè)旅游紀(jì)念品的銷(xiāo)售價(jià)格為多少元？22．（10分）在銳角三角形中,已知,,的面積為,求的余弦值.23．（10分）一名在校大學(xué)生利用“互聯(lián)網(wǎng)+”自主創(chuàng)業(yè)，銷(xiāo)售一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的成本價(jià)10元/件，已知銷(xiāo)售價(jià)不低于成本價(jià)，且物價(jià)部門(mén)規(guī)定這種產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)不高于16元/件，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售量（件與銷(xiāo)售價(jià)（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；（2）求每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)W（元與銷(xiāo)售價(jià)（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件銷(xiāo)售價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？24．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，O點(diǎn)在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD、CD，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）求證：△PBD∽△DCA．25．（12分）為迎接年中、日、韓三國(guó)青少年橄欖球比賽，南雅中學(xué)計(jì)劃對(duì)面積為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)進(jìn)行塑膠改造.經(jīng)投標(biāo)，由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來(lái)完成，已知甲隊(duì)每天能改造的面積是乙隊(duì)每天能改造面積的倍，并且在獨(dú)立完成面積為的改造時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用天.（1）求甲、乙兩工程隊(duì)每天能完成塑膠改造的面積；（2）設(shè)甲工程隊(duì)施工天，乙工程隊(duì)施工天，剛好完成改造任務(wù)，求與的函數(shù)解析式；（3）若甲隊(duì)每天改造費(fèi)用是萬(wàn)元，乙隊(duì)每天改造費(fèi)用是萬(wàn)元，且甲、乙兩隊(duì)施工的總天數(shù)不超過(guò)天，如何安排甲、乙兩隊(duì)施工的天數(shù)，使施工總費(fèi)用最低？并求出最低的費(fèi)用.26．已知，如圖，△ABC中，AD是中線，且CD2＝BE·BA．求證：ED·AB＝AD·BD．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】先根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出兩個(gè)函數(shù)解析式，然后聯(lián)立兩個(gè)解析式即可求出答案．【詳解】將A（1，2）代入反比例函數(shù)()，得a=2，∴反比例函數(shù)解析式為：，將A（1，2）代入正比例函數(shù)()，得k=2，∴正比例函數(shù)解析式為：，聯(lián)立兩個(gè)解析式，解得或，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，-2），故選：A．本題考查了反比例函數(shù)和正比例函數(shù)，求出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．2、B【解析】先求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1，然后根據(jù)二次函數(shù)開(kāi)口向上確定其增減性，并結(jié)合圖象解答即可．【詳解】∵二次函數(shù)y=（x+1）2-4，對(duì)稱(chēng)軸是：x=-1∵a=-1＞0，∴x＞-1時(shí)，y隨x的增大而增大，x＜-1時(shí)，y隨x的增大而減小，由圖象可知：在-2≤x≤2內(nèi)，x=2時(shí)，y有最大值，y=（2+1）2-4=5，x=-1時(shí)y有最小值，是-4，故選B．本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，二次函數(shù)的增減性，結(jié)合圖象可得函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．3、C【分析】先把數(shù)據(jù)從小到大排列，然后根據(jù)算術(shù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的定義得出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，再利用求方差的計(jì)算公式求出這組數(shù)據(jù)的方差，再逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：數(shù)據(jù)從小到大排列為：1，2，6，6，10，中位數(shù)為：6；眾數(shù)為：6；平均數(shù)為：；方差為：．故選：C．本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，方差的概念定義，熟記定義以及方差公式是解此題的關(guān)鍵．4、D【解析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k，即可求得答案．【詳解】∵點(diǎn)A（-4，2），B（-6，-4），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是：（-2，1）或（2，-1）．故選D．此題考查了位似圖形與坐標(biāo)的關(guān)系．此題比較簡(jiǎn)單，注意在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于±k．5、C【分析】根據(jù)因式分解法，可得答案．【詳解】解：，方程整理，得，x2-x=0

因式分解得，x（x-1）=0，

于是，得，x=0或x-1=0，

解得x1=0，x2=1，

故選：C．本題考查了解一元二次方程，因式分解法是解題關(guān)鍵．6、A【解析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得.【詳解】A、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)正確；B、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形，熟練掌握中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義是解題的關(guān)鍵；把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形.7、A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y=－（x+1）2+k（k為常數(shù)）的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣1，然后根據(jù)三個(gè)點(diǎn)離對(duì)稱(chēng)軸的遠(yuǎn)近判斷函數(shù)值的大?。驹斀狻拷猓骸邟佄锞€y=－（x+1）2+k（k為常數(shù)）的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣1，而A（2，y1）離直線x=﹣1的距離最遠(yuǎn)，C（﹣2，y3）點(diǎn)離直線x=1最近，∴．故選A．本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．8、A【分析】根據(jù)點(diǎn)A（﹣3，4）繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)B，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)點(diǎn)A（﹣3，4）繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)B，可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，﹣4），故選：A．本題考查坐標(biāo)與圖形變換—旋轉(zhuǎn)，解題關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn).9、A【分析】利用位似的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)得到，然后利用比例性質(zhì)求出即可．【詳解】解：∵△ABC與△DEF位似，∴＝，∴，∴，故選A．本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．注意：①兩個(gè)圖形必須是相似形；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；③對(duì)應(yīng)邊平行．10、C【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律得出平移后的拋物線的解析式，即可得出答案．【詳解】解：由將拋物線y=3x2+2向右平移1個(gè)單位，得

y=3（x-1）2+2，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），

故選：C．本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用平移規(guī)律：左加右減，上加下減是解題關(guān)鍵．11、C【分析】由題意得∠B=∠C=45°，∠G=∠EAF=45°，推出△ACE∽△ABF，得到∠AEC=∠BAF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

，于是得到結(jié)論．【詳解】解：如圖：由題意得∠B＝∠C＝45°，∠G＝∠EAF＝45°，∵∠AFE＝∠C+∠CAF＝45°+∠CAF，∠CAE＝45°+∠CAF，∴∠AFB＝∠CAE，∴△ACE∽△ABF，∴∠AEC＝∠BAF，∴△ABF∽△CAE，∴，又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC＝2，∴AB＝AC＝，又BF＝x，CE＝y(tǒng)，∴，即xy＝2，（1＜x＜2）．故選：C．本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，本題中求證△ABF∽△ACE是解題的關(guān)鍵．12、B【分析】根據(jù)題意列表得出所有等情況數(shù)和兩次摸出的球上的漢字是“復(fù)”“興”的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意畫(huà)圖如下：共有30種等情況數(shù)，其中兩次摸出的球上的漢字是“復(fù)”“興”的有2種，則隨機(jī)摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“復(fù)興”的概率是；故選：．此題考查了樹(shù)狀圖法或列表法求概率．樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；列表法適合兩步完成的事件，解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．二、填空題（每題4分，共24分）13、6【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)F作交OA于點(diǎn)G，由可得OA、BF與OG的關(guān)系，設(shè)，則，結(jié)合可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)E、點(diǎn)F代入中即可求出k值.【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作交OA于點(diǎn)G，則設(shè)，則，即雙曲線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)化簡(jiǎn)得，即解得，即.故答案為：6.本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像，靈活利用坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)和三角形面積是解題的關(guān)鍵.14、1【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而求解．【詳解】∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴，故答案為：1．本題考查平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特征，即兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反．15、【分析】時(shí)鐘上的分針勻速旋轉(zhuǎn)一周需要60min，分針旋轉(zhuǎn)了360°；求經(jīng)過(guò)10分，分針的旋轉(zhuǎn)度數(shù)，列出算式，計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意得，×360°=60°．故答案為60°．本題考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，明確分針旋轉(zhuǎn)一周，分針旋轉(zhuǎn)了360°是解答本題的關(guān)鍵．16、1【分析】將一元二次方程的根代入即可求出k的值．【詳解】解：∵關(guān)于的方程的一個(gè)根為6∴解得：k=1故答案為：1．此題考查的是已知一元二次方程的根，求方程中的參數(shù)，掌握方程的解的定義是解決此題的關(guān)鍵．17、；【分析】根據(jù)題意和三角形相似，可以用含的代數(shù)式表示出，然后根據(jù)矩形面積公式，即可得到與的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：四邊形是矩形，，上的高，，矩形的面積為，，，，得，，故答案為：．本題考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．18、.【解析】試題分析：∵在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∴.∴可設(shè).∴根據(jù)勾股定理可得.∴.考點(diǎn)：1.銳角三角函數(shù)定義；2.勾股定理.三、解答題（共78分）19、（1）四邊形ABCD是垂直四邊形；理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）GE＝【分析】（1）由AB＝AD，得出點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，由CB＝CD，得出點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，則直線AC是線段BD的垂直平分線，即可得出結(jié)果；（2）設(shè)AC、BD交于點(diǎn)E，由AC⊥BD，得出∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+DE2+CE2，即可得出結(jié)論；（3）連接CG、BE，由正方形的性質(zhì)得出AG＝AC，AB＝AE，，，∠CAG＝∠BAE＝90°，易求∠GAB＝∠CAE，由SAS證得△GAB≌△CAE，得出∠ABG＝∠AEC，推出∠ABG+∠CEB+∠ABE＝90°，即CE⊥BG，得出四邊形CGEB是垂直四邊形，由（2）得，CG2+BE2＝BC2+GE2，，，代入計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：四邊形ABCD是垂直四邊形；理由如下：∵AB＝AD，∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，∵CB＝CD，∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂直四邊形；（2）證明：設(shè)AC、BD交于點(diǎn)E，如圖2所示：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得：AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+DE2+CE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：連接CG、BE，如圖3所示：∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，，，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∵∠AEC+∠CEB+∠ABE＝90°，∴∠ABG+∠CEB+∠ABE＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂直四邊形，由（2）得，CG2+BE2＝BC2+GE2，∵AC＝4，BC＝3，∴，，∴，∴GE＝．本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、垂直平分線、垂直四邊形、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．20、（1）；（2）存在，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【分析】（1）直接利用待定系數(shù)求出二次函數(shù)解析式即可；

（2）首先求出直線BC的解析式，再利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路線的方法得出答案.【詳解】（1）拋物線與軸交于兩點(diǎn)解得：該拋物線的解析式為（2）該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小．如解圖所示，作點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，連接，點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，的周長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)處在解圖位置時(shí)，的周長(zhǎng)最小．在中，當(dāng)時(shí)，，，，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且．設(shè)過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)的直線的解析式為：，在直線上，，解得：，直線的解析式為：，拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線，且直線與拋物線對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)，在中，當(dāng)時(shí)，，，在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式等知識(shí)，能正確理解題意是解題關(guān)鍵．21、第二周的銷(xiāo)售價(jià)格為2元．【分析】由紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)和售價(jià)以及銷(xiāo)量分別表示出兩周的總利潤(rùn)，根據(jù)“這批旅游紀(jì)念品共獲利1250元”等式求出即可．【詳解】解：設(shè)降低x元，由題意得出：，整理得：，解得：x1=x2=1．∴10－1=2．答：第二周的銷(xiāo)售價(jià)格為2元．22、【分析】由三角形面積和邊長(zhǎng)可求出對(duì)應(yīng)邊的高，再由勾股定理求出余弦所需要的邊長(zhǎng)即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵的面積，∴，在中，由勾股定理得，所以本題考查了解直角三角形，掌握余弦的定義（余弦=鄰邊：斜邊）和用面積求高是解題的關(guān)鍵．23、（1）（2），，144元【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)“總利潤(rùn)每件的利潤(rùn)銷(xiāo)售量”可得函數(shù)解析式，將其配方成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)一步求解可得．【詳解】（1）設(shè)與的函數(shù)解析式為，將、代入，得：，解得：，所以與的函數(shù)解析式為；（2）根據(jù)題意知，，，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為144，答：每件銷(xiāo)售價(jià)為16元時(shí)，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是144元．本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)相等關(guān)系列出二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)．24、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）由直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠BAC為直角，再由AD為角平分線，得到一對(duì)角相等，根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍及等量代換確定出∠DOC為直角，與平行線中的一條垂直，與另一條也垂直得到OD與PD垂直，即可得證；

（2）由PD與BC平行，得到一對(duì)同位角相等，再由同弧所對(duì)的圓周角相等及等量代換得到∠P=∠ACD，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得到一對(duì)角相等，利用兩對(duì)角相等的三角形相似即可得證；【詳解】證明：（1）∵圓心O在BC上，∴BC是圓O的直徑，∴∠BAC=90°，連接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠DAC，∵∠DOC=2∠DAC，∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD