幾何最值36問（解析版）☆☆【條件】☆☆如圖，在中，過點作于點，是直線上的動點，連接．☆☆【問題】☆☆（01）若，，求周長的最小值；【答案】16【解析】如圖，過點作，∵，∴點在定直線上運動，產生“將軍飲馬”模型，作關于的對稱點，連接、、，∴，∵，∴，∴，∴周長的最小值為16?！军c評】“將軍飲馬”模型，兩定一動。（02）若，，求的最小值；【答案】【解析】如圖，過點在右側作直線，使得，過點作于點，則，過點作于點，交于點，∴，∵，，，∴，，，∴，∴?！军c評】涉及含角的“胡不歸”模型。（03）若，，求的最小值；【答案】【解析】如圖，過點在左側作直線，使得，交于點，交于點，過點作于點，過點作于點，則，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴?！军c評】涉及含角的“胡不歸”模型。其中利用了“斜垂大法”。（04）若，求的最小值；【答案】【解析】如圖，過點在左側作直線，使得，交于點，過點作于點，過點作于點，則，，且，∴，則?！军c評】涉及含角的“胡不歸”模型。其中利用了“斜垂大法”。（05）若，，求的最小值；【答案】【解析】如圖，過點作，使得，∵，∴∽，∴，∴，∴，過點作于點，則，，∴，∴，∴?！军c評】“乾坤大挪移”，旋轉空翻加放縮。（06）若，，求的最大值；【答案】【解析】如圖，取的外心，則，∴，∴，∴。【點評】“定角對定長”外接圓問題。動點在的外接圓圓周上運動。（07）若，，求的最大值；【答案】【解析】如圖，延長至點，使得，∵，∴，過點作于點，設，則，，，∴，∴，∴為定值，則為定角對定長；設為的外心，則，，過點作于點，則，又，∴，∴，∴?！军c評】“加權系數(shù)，構造定角對定長”外接圓問題。（08）若，，求的最大值；【答案】【解析】如圖，取的外心，由（06）可知，延長至點，使得，連接，過點作于點，交于點，交于點，過點作于點，則易得，，，，∴，而，∴?！军c評】“加權系數(shù)，胡不歸，構造外接圓，定比”。（09）若，，求面積的最大值；【答案】12【解析】如圖，延長至點，連接，使得，則∽，∵，∴，設，則，∴，即，∴，∴，∴。【點評】由“”聯(lián)想到“阿氏圓”。（10）若，，，平面內的點滿足，是中點，求的最大值；【答案】8【解析】如圖，延長至點，連接，使得，由（09）可知，，，而，∴，，而，，∴，∴∽，∴，∴，∴。【點評】由“”聯(lián)想到“阿氏圓”，由數(shù)量關系再次構造“阿氏圓”。雙重“阿氏圓”。（11）若，是平面內一點，且，求的最大值；【答案】1【解析】如圖，把繞點順時針旋轉至，則，，且為等腰直角三角形，∴，∴?！军c評】由“倍”聯(lián)想到旋轉構造等腰直角三角形，由三角形三邊關系得。（12）若，過作交于點，求的最小值；【答案】【解析】如圖，取的中點，連接，過點作于點，設，則，∴，由“斜垂大法”可知：，∴，解得：，∴?！军c評】“斜垂大法”即斜邊大于等于直角邊，是幾何中建立不等關系的常用方法。（13）若，作于點，是平面內一點，且，求最小值；【答案】4【解析】【方法一】如圖，把繞點逆時針旋轉至，則，，，為等腰直角三角形，∴，∴?！痉椒ǘ坑赏欣彰懿坏仁娇傻茫?，而，∴，即?！军c評】由“倍”聯(lián)想到旋轉構造等腰直角三角形，由三角形三邊關系得：?！就欣彰芏ɡ怼咳我獾钠矫嫱顾倪呅沃校瑑山M對邊乘積之和大于等于對角線的乘積。即：在任意凸四邊形中，。當且僅當凸四邊形是某圓的內接四邊形時，等號成立。【證明】如圖，在任意凸四邊形中，找一點作，使得，，連接，則∽，∴，即①，由∽得，又，∴∽，∴，即②，由①②得：，即，又∵，∴，當且僅當凸四邊形是某圓的內接四邊形時，等號成立。（14）若，，過作交于點，求的最小值；【答案】【解析】如圖，取的外心，連接、、，則，且，∴為等邊三角形，過點作于點，交于點，設，則，，，由“斜垂大法”可知：，則，∴，∴。【點評】“定角定邊”變式之“定角動邊”，構造外接圓，利用“斜垂大法”建立不等關系：。（15）若，，、是上的點，且，求的最大值；【答案】【解析】如圖，過點作于點，則，取的外心，連接、、，則，過點作于點，則，且，設，則，又，∴，解得：，∴?！军c評】“定角定邊”變式之“定邊動角”，構造外接圓，利用最短距離建立不等關系：。（16）若，，是平面內一點，求的最小值；【答案】【解析】如圖，把繞點順時針旋轉至，連接、，則，且為等邊三角形，∴，∴，過點作于點，則，，∴，從而，∴?！军c評】“費馬點問題”，旋轉構造等邊三角形可解。（17）若，，是平面內一點，求的最小值；【答案】【解析】如圖，把繞點逆時針旋轉并且放大2倍至，連接、，則，，，∴，過作于點，則，而，∴，∴?！军c評】“加權費馬點”問題，通過的數(shù)據(jù)聯(lián)想到旋轉構造直角三角形，“旋轉加放縮”。（18）若是平面內一點，且，，求的最小值；【答案】【解析】如圖，構造矩形，連接、，則，由矩形經典結論可知：，代入數(shù)據(jù)可得：，而，∴。【點評】直接利用矩形經典結論計算的長度，再利用三角形三邊關系建立不等關系。其中利用，是因為題目要求的最小值而不是最大值?！揪匦谓浀浣Y論】在矩形所在平面內任意一點，滿足：，無論點在矩形內部、外部、還是在矩形上，都成立。利用“十字形”加勾股定理可證明。（19）若，，，、、分別是、、上的動點，求周長的最小值；【答案】【解析】如圖，過點作于點，易得：，，∴易得：，作點分別關于、的對稱點、，連接、、、、，則，且，∴為等腰直角三角形，∴，∴，而，∴。【點評】典型的“三動點將軍飲馬問題”。本題關鍵是通過所給數(shù)據(jù)計算出這個特殊角度。（20）若，，是中點，是中點，是內部一點，作于點，于點，若的面積為1，求的最小值；【答案】2【解析】如圖，∵的面積為1，∴，設，，則，∵、分別是、的中點，∴，過點作交于點，過點作交于點，則，，∴，∴，∴，取的中點，連接，則，過點作交于點，則，∴，即，∴。【點評】由“的面積為1”可知點在某反比例函數(shù)上運動，本題的關鍵是如何轉化，可利用高中知識構造初中圖形，采用數(shù)形結合思想。單純從幾何造圖比較難想。（21）若，，是中點，、是上的動點，且，是上的動點，求的最小值；【答案】【解析】如圖，過點在下方作直線與的夾角為，過點作于點，則，作點關于的對稱點，連接，過點作，且使，連接，則四邊形為平行四邊形，∴，過點作于點，交于點，則，∴，根據(jù)對稱，補全如圖剩余部分輔助線，∵，，是中點，∴，為等腰直角三角形，∴，∴，∴，，∴，，，∴，∴，∴?！军c評】“平移型將軍飲馬”“胡不歸”模型。（22）若，，平分，過的直線分別交射線于點、交射線于點，求的最大值；【答案】【解析】如圖，過點作于點，設，∵，即：，兩邊同時除以，∴，又，∴，同理可得：，∴，∵，∴，∴，∴?！军c評】“等面積法”，高中的面積公式，其中利用的是“斜垂大法”。（23）若，，是平面內一點，求的最小值；【答案】【解析】如圖，取的重心，連接，則由萊布尼茨公式可知：，∵，，∴，，∴?！军c評】重心有關的兩個結論：（1）到三頂點距離的平方和最小的點為的重心；（2）內部，到三邊距離之積最大的點為的重心?！究ㄖZ重心定理】若點為的重心，點為所在平面上任意一點，則；【萊布尼茲公式】若點為的重心，點為所在平面上任意一點，則?！咀C明】如圖，延長射線交于點，繼續(xù)延長，使得，連接、，則四邊形為平行四邊形，∴，由余弦定理可得：，，，∴，延長射線，過點作交于點，過點作交于點，與的延長線的交于點，∵，∴，∵，，而，∴，即，∴。（【卡諾重心定理】）利用上面的結論，令點與重合，則有：①；令點與重合，則有：②；令點與重合，則有：③；由①②③得：，即，∴。（【萊布尼茲公式】）（24）若，，為的外心，求的最小值；【答案】10【解析】如圖，過點作交⊙于點，連接、，易得：，，由托勒密定理可得：，∴，∴，又，∴，∴?！军c評】托勒密不等式的應用，三角形三邊關系建立不等式。（25）若，是平面內一點，且，且，求的最小值；【答案】【解析】∵，∴為等腰直角三角形，如圖，把繞點順時針旋轉至，連接，則為等腰直角三角形，，∴，∵，∴，過點作于點，則，∴，即：，∴?！军c評】等腰直角加旋轉模型，利用“斜垂大法”建立不等關系。（26）若，，，是平面內一點，且，求的最大值；【答案】6【解析】如圖，補全矩形，連接，則由矩形經典結論可得：，又，∴，即，延長至點，連接，使得，∴∽，∴，設，則，∴，∴，∴，∴，，∴點在⊙上運動，其半徑為，連接，∵，∴，，在上取一點，使得，∴，∴∽，∴，即，∴，易得：，∴∽，∴，∴，∴?！军c評】由矩形經典結論得出，兩邊成定比聯(lián)想到“阿氏圓”，雙重“阿氏圓”結合三角形三邊關系可解。（27）若，，求的最小值；【答案】【解析】如圖，∵，，滿足“定角定高”，注意、是直線上的動點，取的外心，連接、、，過點作于點，則，∴為等邊三角形，設，則，∵，∴，解得：，當、、三點共線時取等號，即的最小值為?！军c評】“定角定邊”變式之“定角定高”，聯(lián)想到外接圓，然后利用“斜垂大法”建立不等式。（28）若，，是上的點，點關于的對稱點在上，求的最小值；【答案】【解析】如圖，設點關于的對稱點為，過點作于點，∵，，∴，，設，則，，，由“斜垂大法”可知：，即，解得：?！军c評】“斜垂大法”建立不等關系。（29）若，，求面積的最大值；【答案】12【解析】如圖，設，則，顯然：，由海倫公式得：，∴當且僅當，即時，取得面積最大值12?！军c評】“海倫公式”“均值不等式”。（30）若，，求的最大值；【答案】【解析】如圖，已知點、是定點，點是動點，這就是經典的“MMAP”問題，∴當?shù)耐饨訄A與相切時，最大，由切割定理可知：，∴，∴，，，過點作于點，則，從而，∴，∴?！军c評】“定角定邊”變式之“定邊動角”問題，聯(lián)想到外接圓。（31）若，，，關于的對稱點是，連接、，、分別是、上的動點，且，求的最小值．【答案】4【解析】如圖，由已知易得：，，，作的角平分線交于點，連接、、、，由已知易得：≌，從而∽，∴，∴，過點作于點，則，而在中，，∴。【點評】翻折對稱，旋轉相似，再利用“斜垂大法”建立不等關系。（32）若，，、是上的動點，是上的動點，求的最小值；【答案】【解析】如圖，作點關于的對稱點，連接、，則，作點關于的對稱點，連接、，則由已知易得：，過點作于點，則，∴。【點評】“三動點型將軍飲馬問題”。（33）若，是平面內一點，且，，求的最大值和最小值；【答案】最小值是；最大值是【解析】如圖，由已知易得為等腰直角三角形，∴，把繞點順時針旋轉至，則為等腰直角三角形，∴，，∵，即：，∴，∴，∴的最小值是，最大值是。【點評】尋找不在同一三角形的三邊的關系，一般采用旋轉構造全等，轉化到同一三角形中，題目中的提示條件是“等腰直角三角形”，然后利用三角形三邊關系建立不等式求解。（34）若，，是的中點，是平面內一點，且，，求的最大值；【答案】7【解析】如圖，作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接、、，∵，∴，∴，，∵是的中點，∴，∴為等邊三角形，∴，顯然，當、、、四點共線，也即時取等?！军c評】翻折對稱型“費馬點問題”。本題不一定要120，也可以改成其他度數(shù)。（35）若，，關于的對稱點為，連接，點關于的對稱點是，點關于的對稱點是，連接，求的最小值；【答案】【解析】如圖，由已知易得四邊形是邊長為4的正方形，連接，由對稱性可知：，作點關于的對稱點，連接，則，連接，則，易得：，，∴，∴，當、、三點共線時取等。【點評】空翻對稱型問題，三邊關系建立不等關系。（36）若，，關于的對稱點為，連接、，過作于點，在