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函數(shù)概念抽象水平的測(cè)評(píng)框架分析概述目錄TOC\o"1-3"\h\u13143函數(shù)概念抽象水平的測(cè)評(píng)框架分析概述 1125571.1理論基礎(chǔ) 151941.1.1函數(shù)概念抽象性的體現(xiàn) 164421.1.2杜賓斯基的APOS理論 2296161.1.3課標(biāo)中的函數(shù)概念和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的水平劃分 325221.2函數(shù)概念抽象水平的測(cè)評(píng)框架建立 6293361.2.1函數(shù)概念抽象水平的劃分 685431.2.2函數(shù)概念抽象內(nèi)容的劃分 61.1理論基礎(chǔ)1.1.1函數(shù)概念抽象性的體現(xiàn)通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)抽象相關(guān)的文獻(xiàn)研究,我們可以發(fā)現(xiàn)史寧中教授的“簡(jiǎn)約——符號(hào)——普適”三階段的抽象層次劃分是得到研究者們了一致認(rèn)可的理論。結(jié)合國(guó)外學(xué)者Hazzan和Zazkis的研究,我們可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)抽象概念的時(shí)候會(huì)采取降低抽象層次的方法,這樣可以使得抽象的概念對(duì)于學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)更為具體,以便于學(xué)習(xí)理解。因此,我們希望通過(guò)對(duì)函數(shù)概念的抽象性進(jìn)行分析來(lái)幫助對(duì)其抽象水平劃分工作的進(jìn)行。圖11數(shù)學(xué)抽象的三個(gè)階段(史寧中)函數(shù)概念的發(fā)展從十七世紀(jì)至今已有三百多年的歷史,函數(shù)概念的描述主要有三種:變量說(shuō)、對(duì)應(yīng)說(shuō)以及關(guān)系說(shuō)。最初的函數(shù)概念是結(jié)合幾何形式和變量思想來(lái)進(jìn)行描述的,因此也被稱為函數(shù)的變量說(shuō)。這一階段的代表人物有萊布尼茨、約翰·貝努力和歐拉等。其中,歐拉認(rèn)為變量的函數(shù)是與曲線等價(jià)的,他在1755年給出的變量說(shuō)定義如下:“如果某些變量依賴于另一些變量,當(dāng)后面的量發(fā)生變化時(shí),前面的量也隨之而改變,則稱前面的變量是后面的變量的函數(shù)[[]任明俊,汪曉勤.中學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解——?dú)v史相似性初探[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2007(04):84-87.][]任明俊,汪曉勤.中學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解——?dú)v史相似性初探[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2007(04):84-87.隨著數(shù)學(xué)理論的進(jìn)一步發(fā)展,函數(shù)的概念也產(chǎn)生了變化,柯西、黎曼、羅巴契夫斯基、狄利克雷等人各自給出了函數(shù)的定義,這一定義被稱為函數(shù)的對(duì)應(yīng)說(shuō)。對(duì)應(yīng)說(shuō)不在將函數(shù)看作一個(gè)變量,而是作為由定義域、值域以及從定義域到值域上的對(duì)應(yīng)法則所組成的映射,其中黎曼給出的函數(shù)對(duì)應(yīng)說(shuō)定義為:“假定x是一個(gè)變量,若對(duì)于變量x的每一個(gè)值,都有唯一一個(gè)確定的變量y與之對(duì)應(yīng),那么稱y為x的函數(shù)”。對(duì)應(yīng)說(shuō)是函數(shù)概念的本質(zhì)定義,它規(guī)范了函數(shù)自變量和因變量的取值范圍,并指出y與x之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的表現(xiàn)形式是無(wú)關(guān)緊要的[[]陳中.函數(shù)概念的歷史演變[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1992(10):31-31.]。此時(shí)的函數(shù)概念已經(jīng)進(jìn)入了符號(hào)階段,數(shù)學(xué)家們開(kāi)始用字母表示變量,用f[]陳中.函數(shù)概念的歷史演變[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1992(10):31-31.現(xiàn)代數(shù)學(xué)中集合論的誕生,將函數(shù)概念的范疇進(jìn)一步擴(kuò)大,布爾巴基學(xué)派提出了函數(shù)的關(guān)系說(shuō):如果定義在X,Y上的關(guān)系F滿足:對(duì)于每一個(gè)x∈X,都存在唯一的y∈Y,使得(x,y)∈F,則稱F為函數(shù)。函數(shù)概念的關(guān)系說(shuō)比之前兩者更為抽象,它站到了一個(gè)更高的層面——普適階段。關(guān)系說(shuō)結(jié)合了集合論的內(nèi)容,將函數(shù)從“數(shù)”的領(lǐng)域擴(kuò)展到了“集合”的領(lǐng)域,集合中可以表示任何事物,并且不再局限于具體的表現(xiàn)方式,能夠用來(lái)解釋更為一般的事物。函數(shù)概念的發(fā)展過(guò)程中體現(xiàn)了人的數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)變,從常量到變量,從離散到連續(xù),從運(yùn)算到關(guān)系,從靜止到運(yùn)動(dòng),而這些方面的轉(zhuǎn)變中都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)容,在每一個(gè)不同的階段,所表現(xiàn)的數(shù)學(xué)抽象層次也是不同的。1.1.2杜賓斯基的APOS理論杜賓斯基(DubinskyE)提出關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理,它是一種建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論。這一理論的創(chuàng)立是為了將皮亞杰(JeanPiaget)提出的關(guān)于兒童邏輯思維發(fā)展的反省抽象機(jī)制更加合理的推廣到大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中去[[][]DubinskyE,McdonaldMA.APOS:AConstructivistTheoryofLearninginUndergraduateMathematicsEducationResearch[J].TheTeachingandLearningofMathematicsatUniversityLevel,2001,7:275-282.杜賓斯基提出的APOS理論分為四個(gè)階段。首先是操作階段,這一階段學(xué)生主要通過(guò)進(jìn)行操作活動(dòng)來(lái)獲得知識(shí)。學(xué)生首先要能感知“對(duì)象”與實(shí)際背景的聯(lián)系,按照一定的指令對(duì)“對(duì)象”執(zhí)行操作變換。在這個(gè)操作中,學(xué)生其實(shí)并不能完全理解操作步驟的意義,這只是初步獲得對(duì)概念的認(rèn)識(shí),是外在的非本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。其次是過(guò)程階段,當(dāng)學(xué)生對(duì)多次重復(fù)的活動(dòng)熟悉并且產(chǎn)生反思后,學(xué)生就可以做出一個(gè)內(nèi)部的心理構(gòu)建,這時(shí)產(chǎn)生了概念的內(nèi)化。有了過(guò)程之后,學(xué)生就可以想象活動(dòng),不再需要一步步地執(zhí)行指令就可以實(shí)施操作,并且能夠反轉(zhuǎn)操作或與其他操作活動(dòng)進(jìn)行結(jié)合。當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到過(guò)程是一個(gè)整體并意識(shí)到可以將變換作用于它時(shí),對(duì)象就從一個(gè)過(guò)程中構(gòu)造出來(lái)了。對(duì)象階段是對(duì)前面兩個(gè)階段所認(rèn)識(shí)到的概念本質(zhì)進(jìn)行壓縮,形成一個(gè)整體性的概念。最后是圖式階段,一個(gè)數(shù)學(xué)概念的圖式是指能夠?qū)⑾鄳?yīng)的操作、過(guò)程、對(duì)象以及其他相關(guān)的圖式通過(guò)一些一般原則聯(lián)系起來(lái),在學(xué)生的頭腦中形成一個(gè)框架。這個(gè)框架是對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)概念形成的完整且一致的認(rèn)識(shí),它可以在涉及該概念的問(wèn)題情境中產(chǎn)生影響,能夠確定哪些現(xiàn)象在概念的圖式范圍內(nèi),哪些不在圖式范圍內(nèi)。APOS的四個(gè)階段是以分層、有序的形式呈現(xiàn)的,但在現(xiàn)實(shí)中,當(dāng)個(gè)體在形成對(duì)某個(gè)概念的理解時(shí),這些階段并不一定是以線性的方式發(fā)展的。杜賓斯基在研究中指出這一理論能夠預(yù)測(cè)并解釋學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是的心理建構(gòu)過(guò)程,且這一理論有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域,能夠幫助學(xué)生組織對(duì)復(fù)雜的、相互關(guān)聯(lián)的現(xiàn)象的思考,還能夠作為分析數(shù)據(jù)的工具以及一種用于交流超越表面描述的學(xué)習(xí)理念的語(yǔ)言。1.1.3課標(biāo)中的函數(shù)概念和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的水平劃分下表中是《課標(biāo)》采用的初中和高中兩個(gè)不同階段函數(shù)概念的定義。表5初中和高中階段的函數(shù)概念(《課標(biāo)》)《課標(biāo)》中初高中兩個(gè)函數(shù)概念的定義分別對(duì)應(yīng)了函數(shù)的變量說(shuō)和對(duì)應(yīng)說(shuō)。變量說(shuō)的函數(shù)概念不論是從幾何的角度還是代數(shù)的角度,學(xué)生都能夠找到具體的函數(shù)圖象或者解析式與之對(duì)應(yīng)。借助這種幾何直觀,對(duì)具體的函數(shù)進(jìn)行比較分析,能夠幫助學(xué)生更好的理解函數(shù)概念,是符合初中學(xué)生的認(rèn)知水平的一種定義。而對(duì)應(yīng)說(shuō)的概念,一方面有的函數(shù)可以脫離了解析式的代數(shù)形式,另一方面復(fù)雜的函數(shù)難以畫(huà)出圖象,如狄利克雷函數(shù),缺少了直觀而具體的載體,就會(huì)讓學(xué)生對(duì)其本質(zhì)的理解形成困難。因此,在學(xué)生理解了變量說(shuō)的基礎(chǔ)上,在高中對(duì)其深入學(xué)習(xí),進(jìn)一步抽象函數(shù)概念的本質(zhì),才能夠形成對(duì)應(yīng)說(shuō)的定義。而關(guān)系說(shuō)中涉及到的集合論知識(shí)不是高中淺嘗輒止的內(nèi)容,基于高中生的認(rèn)知水平和知識(shí)儲(chǔ)備,這一定義顯然是不適于他們學(xué)習(xí)的內(nèi)容。因此,《課標(biāo)》中對(duì)函數(shù)概念的選用是合理的教學(xué)安排。《課標(biāo)》中對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的定義是:通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象,得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)。它主要表現(xiàn)為:獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則,提出數(shù)學(xué)命題和模型,形成數(shù)學(xué)方法與思想,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系[[][]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[M].人民教育出版社,2017.

表6《課標(biāo)》中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的水平劃分《課標(biāo)》中將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三個(gè)水平分別定義為高中畢業(yè)水平、高考水平和拓展水平,這一素養(yǎng)劃分的標(biāo)準(zhǔn)在對(duì)于高一學(xué)生的測(cè)評(píng)中不能有效區(qū)分他們對(duì)函數(shù)概念的抽象水平,因此需要更為細(xì)致的水平劃分,使之能夠體現(xiàn)學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念不同水平的抽象情況。1.2函數(shù)概念抽象水平的測(cè)評(píng)框架建立1.2.1函數(shù)概念抽象水平的劃分結(jié)合上文中對(duì)于函數(shù)概念教學(xué)相關(guān)文獻(xiàn)的梳理,函數(shù)概念抽象性的分析和APOS理論,并參考現(xiàn)有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平劃分,本文將函數(shù)概念的抽象水平分為三個(gè)水平,這三個(gè)水平分別是函數(shù)概念的內(nèi)化階段、函數(shù)概念的遷移階段和函數(shù)概念的創(chuàng)新階段。在APOS理論的過(guò)程階段強(qiáng)調(diào)學(xué)生要經(jīng)過(guò)反復(fù)的操作使得概念得以內(nèi)化,而當(dāng)學(xué)生將概念內(nèi)化后就不需要遵循步驟進(jìn)行操作,而是能夠進(jìn)行更為復(fù)雜的思維操作,如反轉(zhuǎn)操作等。因此,筆者以概念的內(nèi)化為節(jié)點(diǎn),將過(guò)程階段分為前過(guò)程階段和后過(guò)程階段。操作階段和前過(guò)程階段就對(duì)應(yīng)了本研究中的函數(shù)概念內(nèi)化階段,這一階段學(xué)生通過(guò)操作活動(dòng),能夠理解函數(shù)概念的含義,能夠根據(jù)概念判斷兩個(gè)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是構(gòu)成函數(shù)。而后過(guò)程階段和對(duì)象階段對(duì)應(yīng)了函數(shù)概念遷移階段,這一階段學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)已經(jīng)形成了一個(gè)整體的對(duì)象,學(xué)生能夠理解不同表達(dá)方式下的函數(shù)概念,能夠辨別函數(shù)概念與其他概念的區(qū)別。最后的圖式階段對(duì)應(yīng)了本研究中的函數(shù)概念創(chuàng)新階段,這一階段學(xué)生能夠理解概念的本質(zhì)特征,并且將函數(shù)概念整合到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,能夠理解并構(gòu)建出函數(shù)概念與其他相關(guān)知識(shí)間的關(guān)系。1.2.2函數(shù)概念抽象內(nèi)容的劃分本文所要研究的是學(xué)生以函數(shù)概念為載體所體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)抽象水平的現(xiàn)狀,因此,所要考查的內(nèi)容就不僅僅是函數(shù)概念的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容,而應(yīng)該包含能夠體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的內(nèi)容。我們通過(guò)上一章的文獻(xiàn)可以看到,現(xiàn)有研究中不同學(xué)者對(duì)于核心素養(yǎng)內(nèi)容維度的劃分也不盡相同。但筆者發(fā)現(xiàn),不論是國(guó)外的PISA測(cè)試,還是國(guó)內(nèi)的《課標(biāo)》內(nèi)容,各種學(xué)者提出的素養(yǎng)測(cè)評(píng)框架,問(wèn)題情境都在其中占據(jù)了重要的地位。雖然函數(shù)概念的抽象性特點(diǎn)明顯,但作為數(shù)學(xué)知識(shí),它歸根到底還是源自于現(xiàn)實(shí)情境并且要應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)情境中去解決實(shí)際問(wèn)題。這就要求學(xué)生能夠從不同的情境中發(fā)現(xiàn)函數(shù)問(wèn)題,并且運(yùn)用恰當(dāng)?shù)闹R(shí)技能和方法解決不同情境下的函數(shù)問(wèn)題。這個(gè)過(guò)程中所需的知識(shí)技能和思想方法是函數(shù)概念抽象中最為根本的內(nèi)容,也即學(xué)生對(duì)于知識(shí)技能和思想方法的認(rèn)知。要解決問(wèn)題,就需要將函數(shù)知識(shí)還原回現(xiàn)實(shí)情境中去,這就需要學(xué)生具備相應(yīng)的交流表達(dá)能力,同時(shí)表達(dá)的過(guò)程也是學(xué)

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