5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象一、正切函數(shù)的圖象：二、正切函數(shù)的性質(zhì)1．定義域：，2．值域：R3．周期性：正切函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是4．奇偶性：正切函數(shù)是奇函數(shù)，即．5．單調(diào)性：在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增三、正切函數(shù)型的性質(zhì)1、定義域：將“”視為一個“整體”．令解得．2、值域：3、單調(diào)區(qū)間：（1）把“”視為一個“整體”；（2）時，函數(shù)單調(diào)性與的相同（反）；（3）解不等式，得出范圍．4、周期：四、已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍子集法求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解反子集法由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解周期性法由所給區(qū)間的兩個端點到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過eq\f(1,4)周期列不等式(組)求解題型一正切函數(shù)的定義域問題【例1】函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正切函數(shù)的定義域，令，，即，所以函數(shù)的定義域為.故選:D．【變式1-1】函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)，令，，解得，所以函數(shù)的定義域是．故選：D【變式1-2】函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．且【答案】A【解析】由題可得，解得，∴函數(shù)的定義域為.故選：A.【變式1-3】求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）要使函數(shù)有意義，必須使與都有意義，所以

，所以函數(shù)的定義域為；（2）要使函數(shù)有意義，必須使有意義，且分母，所以，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：，.題型二正切函數(shù)的值域問題【例2】函數(shù)，的值域為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，因為，所以．因為正切函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以．故選：A．【變式2-1】函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，且函數(shù)在上為增函數(shù)，∴．即．故選：C．【變式2-2】函數(shù)的最大值為________．【答案】【解析】∵，∴，由題意得，當且僅當，即時取等號，故的最大值為．故答案為：【變式2-3】函數(shù)，的值域為______．【答案】【解析】因為，所以，，則當時，，當時，，所以函數(shù)的值域為.故答案為：.【變式2-4】當時，的值總不大于零，則實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】，，.∵對任意的，都有，即，，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【變式2-5】已知在區(qū)間上的最大值為，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，即，又，所以，所以，所以，．故選：A．題型三正切函數(shù)的圖象問題【例3】函數(shù)的圖象大致是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵f(x)定義域[－1，1]關(guān)于原點對稱，且，∴f(x)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，故AC不符題意；在區(qū)間上，，，則有，故D不符題意，B正確.故選：B．【變式3-1】（多選）與函數(shù)的圖象相交的直線是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】對于A，當時，，所以直線與函數(shù)交于點，對于B，由正切函數(shù)的圖象可知直線與函數(shù)的圖象相交，對于C，當時，，所以直線與函數(shù)交于點，對于D，當時，無意義，所以直線與函數(shù)的圖象無交點，故選：ABC【變式3-2】函數(shù)y=|tanx|，y=tanx，y=tan(-x)，y=tan|x|在上的大致圖象依次是___________(填序號).【答案】①②④③【解析】∵|tanx|≥0，∴圖象在x軸上方，∴y=|tanx|對應(yīng)①；∵tan|x|是偶函數(shù)，∴圖象關(guān)于y軸對稱，∴y=tan|x|對應(yīng)③；而y=tan(-x)與y=tanx關(guān)于y軸對稱，∴y=tan(-x)對應(yīng)④，y=tanx對應(yīng)②，故四個圖象依次是①②④③.故答案為：①②④③【變式3-3】函數(shù)（）的部分圖像如下圖，則最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由圖知，由，解得所以當時，.故選：A【變式3-4】函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為（）A．個B．個C．個D．個【答案】B【解析】由可得，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)即為函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的圖象的交點個數(shù)，如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點.因此，函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為.故選：B.題型四正切函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用【例4】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性可得，欲求的單調(diào)增區(qū)間，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故選：A.【變式4-1】求函數(shù)y＝3tan的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】(k∈Z)【解析】y＝3tan可化為y＝－3tan，由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)．【變式4-2】若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】因為，所以，所以，解得，即．故答案為：【變式4-3】已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，依題意得，，所以，，所以，，由得，由得，所以且，所以或，當時，，又，所以，當時，.綜上所述：.故選：C.題型五正切函數(shù)的奇偶性問題【例5】函數(shù)是（）A．周期為的奇函數(shù)B．周期為的奇函數(shù)C．周期為的偶函數(shù)D．周期為的偶函數(shù)【答案】B【解析】由正切函數(shù)性質(zhì)知：的最小正周期為，定義域關(guān)于原點對稱且，即為奇函數(shù).所以是周期為的奇函數(shù).故選：B【變式5-1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）.【答案】（1）既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；（2）奇函數(shù)【解析】（1）由得的定義域為且，由于的定義域不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；（2）由題知函數(shù)的定義域為且，定義域關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù).【變式5-2】已知函數(shù)（，為常實數(shù)），且，則_____．【答案】【解析】因為，定義域關(guān)于原點對稱，設(shè)，，則是奇函數(shù)，因為，所以，所以．故答案為：.【變式5-3】“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，，此時為奇函數(shù)，當函數(shù)為奇函數(shù)，,故即，此時推不出，故“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件，故選：A.【變式5-4】已知，則“函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】關(guān)于軸對稱，則關(guān)于原點對稱，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱是的必要不充分條件故選：B題型六正切函數(shù)的周期性問題【例6】函數(shù)的最小正周期為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函數(shù)的最小正周期為，故選：A【變式6-1】若函數(shù)的圖象與直線的兩相鄰交點間的距離為，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正切型函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的最小正周期為，因此，.故選：B.【變式6-2】函數(shù)的最小正周期是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，且，.故選：C.【變式6-3】函數(shù)的最小正周期是______．【答案】【解析】由正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)知：與的最小周期均為，與的圖象如圖所示，所以函數(shù)與最小正周期也一樣，函數(shù)的最小正周期是，的最小正周期也是．故答案為：【變式6-4】若，則等于（）A．-B．C．0D．-2【答案】C【解析】，；，，，，，，；故選：．題型七正切函數(shù)的對稱性問題【例7】函數(shù)的圖象的一個對稱中心為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可得，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，所以為圖象的一個對稱中心，故選：D【變式7-1】（多選）關(guān)于函數(shù)的說法中正確的是（）A．定義域是，B．圖像關(guān)于點對稱C．圖像關(guān)于直線對稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AB【解析】對于A，因為函數(shù)，由，，得，，故A正確；對于B，函數(shù)，因為，所以圖像關(guān)于點對稱，故B正確；對于C，函數(shù)，所以函數(shù)不存在對稱軸，故C錯誤；對于D，函數(shù)，因為，所以，又區(qū)間不是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，故D錯誤．故選：AB.【變式7-2】（多選）下列函數(shù)的圖像中，與曲線有完全相同的對稱中心的是()A．B．C．D．【答案】BD【解析】設(shè)k∈Z，對于，由；對于A：由；對于B：由；對于C：由；對于D：由；則B和D的函數(shù)與題設(shè)函數(shù)有完全相同的對稱中心．故選：BD．【變式7-3】“點的坐標是，”是“的圖象關(guān)于點對稱”的（）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若的圖象關(guān)于點對稱，可得點的坐標是，，若點的坐標是，，可得的圖象關(guān)于點對稱，故“點的坐標是，”是“的圖象關(guān)于點對稱”的充要條件.故選：A.【變式7-4】已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則的一個值可以是___________.【答案】（答案不唯一）【解析】因為的圖象關(guān)于點中心對稱，所以，，則，.當時，故答案為：題型八解含正切函數(shù)的不等式【例8】等式|的解集是_________.【答案】【解析】因為，所以，所以，解得，故解集為：故答案為：.【變式8-1】若直線（）與函數(shù)的圖象無公共點，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為直線與函數(shù)的圖象無公共點，且，所以，所以，故可化為，所以解得所以不等式的解集為，故選：B．【變式8-2】已知且，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為在上單調(diào)遞增，當時，則即，解得，所以，當時，則即，解得，所以，當時，此時無意義，故舍去，綜上可得.故選：B【變式8-3】函數(shù)的定義域為___________.【答案】【解析】由題意得：，解得.故答案為：.【變式8-4】已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），當時，函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是________．【答案】x【解析】∵當時，函數(shù)，∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，不等式可化為，又∵函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，∴f（x）=f（|x|），∴不等式可化為，∴，∴，∴，即滿足的x的取值范圍是x?π故答案為：x題型九比較正切值的大小【例9】已知，，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意知，，，，故.故選：D.【變式9-1】設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得，函數(shù)在上單調(diào)遞增且，在上單調(diào)遞增且，因為，所以，所以.故選：A.【變式9-2】，，，的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，因為在上單調(diào)遞增，所以，即又，所以.故選：B.【變式9-3】下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】對于A，因為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．故A正確；對于B,．故B不正確；對于C，，．又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即．故C不正確；對于D，，．又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即．故D正確.故選：AD.【變式9-4】若，，，則、、的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，則，因為，故，故.故選：C.題型十正切函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用【例10】設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域和單調(diào)區(qū)間;（2）求不等式的解集．【答案】（1）定義域為；無單調(diào)遞減區(qū)間；單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解析】（1）由題意得：，解得：，的定義域為；令，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.（2）由得：，解得：，則的解集為.【變式10-1】已知函數(shù)，其中．（1）當時，求函數(shù)的最大值和最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．【答案】（1）最小值，最大值；（2）【解析】（1）當時，，對稱軸為因為，所以當時，取得最小值，當時，取得最大值,所以函數(shù)的最大值為，最小值為.（2）是關(guān)于的二次函數(shù)，它的圖象的對稱軸為直線．因為在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以或，即或，又，所以的取值范圍是.【變式10-2】已知函數(shù)，其中