3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲狄?、函數(shù)的單調(diào)性1、單調(diào)函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I.如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞增函數(shù)。當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞減函數(shù)。2、單調(diào)性的圖形趨勢（從左往右）上升趨勢下降趨勢3、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．【注意】（1）函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個區(qū)間上的性質(zhì)，單獨(dú)一點(diǎn)不存在單調(diào)性問題，故單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)若屬于定義域，則區(qū)間可開可閉，若區(qū)間端點(diǎn)不屬于定義域則只能開．（2）單調(diào)區(qū)間D?定義域I.（3）遵循最簡原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大；（4）單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；二、函數(shù)的最大（?。┲?、最大值：對于函數(shù)y＝f(x)，其定義域為D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得對于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我們稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值，即當(dāng)x＝x0時，f(x0)是函數(shù)y＝f(x)的最大值，記作ymax＝f(x0)．2、最小值：對于函數(shù)y＝f(x)，其定義域為D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得對于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我們稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值，即當(dāng)x＝x0時，f(x0)是函數(shù)y＝f(x)的最小值，記作ymin＝f(x0)．3、幾何意義：一般地，函數(shù)最大值對應(yīng)圖像中的最高點(diǎn)，最小值對應(yīng)圖像中的最低點(diǎn)，它們不一定只有一個．三、單調(diào)性定義的等價形式:（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù):任取，且，都有；任取，且，；任取，且，；任取，且，.（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù):任取，且，都有；任取，且，；任取，且，；任取，且，.四、定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)x1，x2為該區(qū)間內(nèi)任意的兩個值，且x1＜x2②作差變形：做差f（x1）-f（x2），并通過通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差值符號的方向變形③定號：確定差值的符號，當(dāng)符號不確定時，可以分類討論④判斷：根據(jù)定義做出結(jié)論。五、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)若函數(shù)與在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：（1）與（C為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性.（2）與的單調(diào)性相反.（3）當(dāng)時，與單調(diào)性相同；當(dāng)時，與單調(diào)性相反.（4）若≥0，則與具有相同的單調(diào)性.（5）若恒為正值或恒為負(fù)值，則當(dāng)時，與具有相反的單調(diào)性；當(dāng)時，與具有相同的單調(diào)性.（6）與的和與差的單調(diào)性（相同區(qū)間上）:簡記為：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.六、常見簡單函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在R上單調(diào)遞減.反比例函數(shù)當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增.二次函數(shù)當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.題型一單調(diào)性定義的理解【例1】若函數(shù)的定義域為，且滿足，則函數(shù)在上（）A．單調(diào)遞增B．單調(diào)遞減C．先增后減D．不能確定【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義：必須是給定區(qū)間上的任意兩個變量對應(yīng)的函數(shù)值之間都相應(yīng)恒有的大小關(guān)系.∴由，幾個特殊函數(shù)值的大小關(guān)系，不能判斷函數(shù)的單調(diào)性．故選：D【變式1-1】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有意義，任意兩個不相等的實數(shù)，下列各式中，能夠確定函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則任意兩個不相等的實數(shù)，與應(yīng)該同號，所以，故選：C.【變式1-2】若函數(shù)在上是增函數(shù)，對于任意的，（），則下列結(jié)論不正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由函數(shù)的單調(diào)性定義知，若函數(shù)在給定的區(qū)間上是增函數(shù)，則，與同號，由此可知，選項A，B，D都正確.若，則，故選項C不正確.故選：C.【變式1-3】定義在上的函數(shù)對任意兩個不相等的實數(shù)，，總有，則必有（）A．函數(shù)先增后減B．函數(shù)是上的增函數(shù)C．函數(shù)先減后增D．函數(shù)是上的減函數(shù)【答案】B【解析】若，由得：在上單調(diào)遞增若，由得：在上單調(diào)遞增綜上所述：在上是增函數(shù)【變式1-4】下列說法中正確的個數(shù)為（）=1\*GB3①定義在上的函數(shù)，如果有無窮多個，當(dāng)時，有，那么在上為增函數(shù)；=2\*GB3②如果函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上也為減函數(shù)，那么在區(qū)間上就一定是減函數(shù)；=3\*GB3③對任意的，且，當(dāng)時，在上是減函數(shù)；=4\*GB3④對任意的，且，當(dāng)時，在上是增函數(shù).（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】B【解析】=1\*GB3①不正確，函數(shù)單調(diào)性的定義強(qiáng)調(diào)了的任意性，“無窮多個”不能代表“所有”、“任意”；=2\*GB3②不正確，一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“∪”連接，而應(yīng)該用“和”或“，”連接.=3\*GB3③正確，因為，等價于或，所以或，即在上是減函數(shù)；=4\*GB3④正確，同=3\*GB3③.題型二定義法證明函數(shù)的單調(diào)性【例2】證明在其定義域上是增函數(shù).【答案】證明見解析；【解析】函數(shù)的定義域為，設(shè)且，因為，所以，所以，即所以在其定義域上是增函數(shù).【變式2-1】求證：函數(shù)f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函數(shù).【答案】證明見詳解.【解析】在區(qū)間上任取，則因為，故可得；又因為，故可得.故，即.故在區(qū)間上單調(diào)遞增.【變式2-2】函數(shù)，且.判斷并證明在區(qū)間上的單調(diào)性；【證明】在區(qū)間上為減函數(shù).任取，，由于，，，所以，所以在上遞減.【變式2-3】利用單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在上是減函數(shù)．【答案】證明見解析【解析】設(shè)x1，x2是區(qū)間上任意兩個實數(shù)且，則，∵，∴，，．∴．即，．∴在上是減函數(shù)．題型三求函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間【例3】定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題圖知：在上的單調(diào)遞減，在上的單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B【變式3-1】求函數(shù)y=?【答案】[﹣1，2]【解析】設(shè)t＝﹣x2+4x+5，由t＝﹣x2+4x+5≥0，得x2﹣4x﹣5≤0，即﹣1≤x≤5，則函數(shù)t＝﹣x2+4x+5的對稱軸為x＝2，∴當(dāng)﹣1≤x≤2時，t＝﹣x2+4x+5單調(diào)遞增，此時y=t∴由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知函數(shù)y=?當(dāng)2≤x≤5，t＝﹣x2+4x+5單調(diào)遞減，此時y=t∴由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知函數(shù)y=?即函數(shù)y=?【變式3-2】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為和,無減區(qū)間【解析】函數(shù)的定義域為.∵函數(shù)與函數(shù)在和上均為增函數(shù)∴函數(shù)在和上是增函數(shù)∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,無減區(qū)間.【變式3-3】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．（–∞，2]B．[2，+∞）C．[0，2]D．[0，+∞）【答案】B【解析】∵，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（–∞，2]，增區(qū)間為[2，+∞），∴的單調(diào)遞減區(qū)間是[2，+∞），故選：B．【變式3-4】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是________.【答案】，【解析】；的圖像是由的圖像沿軸向右平移個單位，然后沿軸向下平移一個單位得到；而的單調(diào)增區(qū)間為，；的單調(diào)增區(qū)間是，．故答案為：，【變式3-5】下列有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的說法，不正確的是（）A．若為增函數(shù)，為增函數(shù)，則為增函數(shù)B．若為減函數(shù)，為減函數(shù)，則為減函數(shù)C．若為增函數(shù)，為減函數(shù)，則為增函數(shù)D．若為減函數(shù)，為增函數(shù)，則為減函數(shù)【答案】C【解析】根據(jù)不等量的關(guān)系，兩個相同單調(diào)性的函數(shù)相加單調(diào)性不變，選項A,B正確；選項D：為增函數(shù)，則為減函數(shù)，為減函數(shù)，為減函數(shù)，選項D正確；選選C：若為增函數(shù)，為減函數(shù)，則的增減性不確定.例如為上的增函數(shù)，當(dāng)時，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，在上為減函數(shù)，故不能確定的單調(diào)性.故選:C題型四已知單調(diào)性求參數(shù)范圍【例4】已知函數(shù)的圖象如圖所示，若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為_____.【答案】【解析】由圖可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為.由題意得即.【變式4-1】函數(shù)在上是減函數(shù)．則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，函數(shù)在上是減函數(shù)，則有，解可得，【變式4-2】若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)的對稱軸為，開口向上，依題意可得，解得，即；故選：D【變式4-3】已知在為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故要想在為單調(diào)函數(shù)，需滿足，故選：D【變式4-4】已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：B.【變式4-5】函數(shù)，若對任意，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．(－∞，1]B．(1，5)C．[1，5)D．[1，4]【答案】D【解析】因為對任意，都有成立，所以是減函數(shù)，則，解得．故選：D．【變式4-6】已知函數(shù).若對于任意，都有，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，則，所以，即，因為時等價于，即.令，則在上單調(diào)遞減，所以或，解得或，即.故選：A題型五利用單調(diào)性解不等式【例5】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在上單調(diào)遞增，，，解得：，實數(shù)的取值范圍為.故選：C.【變式5-1】已知在定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為（）A．（0，1）B．（-2，1）C．（0，）D．（0，2）【答案】A【解析】因為在定義域上是減函數(shù)，所以由，故選：A【變式5-2】函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，,則滿足的x的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為函數(shù)為上單調(diào)遞減，則可變形為，則，解得，所以的取值范圍為，,故選：C【變式5-3】已知偶函數(shù)的定義域為R，當(dāng)時，，則的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，解得或．故選：D【變式5-4】定義在上的函數(shù)滿足，且，，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，不妨設(shè)，故，即，令，則，故在上單調(diào)遞減，，不等式兩邊同除以得：，因為，所以，即，根據(jù)在上單調(diào)遞減，故，綜上：故選：B【變式5-5】已知函數(shù)對、，總有，若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨設(shè)，由可得，所以，函數(shù)是上的增函數(shù)，由不等式在上恒成立可得到在上恒成立，所以在上恒成立，故有，即，解得或.故選：D.題型六利用單調(diào)性比較大小【例6】定義域為R的函數(shù)滿足:對任意的，有，則有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】定義域在上的函數(shù)滿足：對任意的，，有，可得函數(shù)是定義域在上的增函數(shù)，所以．故選：．【變式6-1】已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增且關(guān)于直線對稱，所以，所以，即．故選：A．【變式6-2】設(shè)函數(shù)是上的減函數(shù)，若，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，即，函數(shù)單調(diào)遞減，故.取，則，A錯誤；取得到，B錯誤；故選：C.【變式6-3】已知函數(shù)，若，則，，的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題目中式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故選：B.題型七函數(shù)的最值問題【例7】函數(shù)在上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是()A．，0B．0，2C．，2D．，2【答案】C【解析】由圖可得，函數(shù)在處取得最小值，在處取得最大值2，故選：C【變式7-1】當(dāng)時，求函數(shù)y＝﹣x2﹣x+