第五章：三角函數(shù)重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)題型一任意角、角度制與弧度制的概念【例1】下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．弧度制下，角與實(shí)數(shù)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們均與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)【答案】D【解析】依據(jù)弧度的意義可知A正確；1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，B正確；根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度，C正確；根據(jù)角度制與弧度制的定義可知，角的大小與圓的半徑長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，而是與弧長(zhǎng)和半徑的比值有關(guān)，所以D錯(cuò)誤．故選：D．【變式1-1】下列說(shuō)法正確的是（）A．弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑B．大圓中弧度的圓心角比小圓中弧度的圓心角大C．所有圓心角為弧度的角所對(duì)的弧長(zhǎng)都相等D．用弧度表示的角都是正角【答案】A【解析】對(duì)于A，根據(jù)弧度的定義知，“1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑”，故A正確；對(duì)于B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不在同圓或等圓中，1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是不等的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D錯(cuò)誤．【變式1-2】下列說(shuō)法正確的是（）A．終邊相同的角相等B．相等的角終邊相同C．小于的角是銳角D．第一象限的角是正角【答案】B【解析】終邊相同的角相差周角的整數(shù)倍，A不正確；相等的角終邊一定相同；所以B正確；小于的角是銳角可以是負(fù)角，C錯(cuò)；第一象限的角是正角，也可以是負(fù)角，D錯(cuò)誤．故選：B.【變式1-3】下列說(shuō)法正確的是（）A．銳角是第一象限角B．第二象限角是鈍角C．第一象限角是銳角D．第四象限角是負(fù)角【答案】A【解析】銳角大于而小于，是第一象限角，但第一象限角不都是銳角，第二象限角不都是鈍角，第四象限角有正角有負(fù)角．只有A正確．故選：A．題型二求終邊相同的角【例2】下列各角中，與終邊相同的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】與終邊相同的角為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，的終邊與的終邊相同．故選：D.【變式2-1】與角的終邊相同的角可表示為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以角的終邊與角的終邊相同，所以與角的終邊相同的角可表示為.故選：C【變式2-2】若角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，則集合中的角的終邊在單位圓中的位置(陰影部分)是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)取偶數(shù)時(shí)，，，故角的終邊在第一象限.當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，，，故角的終邊在第三象限.故選：C.【變式2-3】如圖，寫(xiě)出終邊落在陰影部分的角的集合.（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題圖可知，終邊落在陰影部分的角的集合為.（2）由題圖可知，終邊落在陰影部分的角的集合為.題型三確定n分角與n倍角的象限【例3】若是第二象限的角，則是（）A．第一或第三象限角B．第一或第四象限角C．第二或第三象限角D．第二或第四象限角【答案】A【解析】是第二象限角，，，當(dāng)時(shí)，，在第一象限；當(dāng)時(shí)，，在第三象限；是第一或三象限角．故選：A．【變式3-1】若是鈍角，則是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【解析】，，,在第四象限.故選：D【變式3-2】（多選）若是第二象限的角，則的終邊所在位置可能是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】ABD【解析】是第二象限的角，則，，，，當(dāng)時(shí)，是第一象限角，當(dāng)時(shí)，是第二象限角，當(dāng)時(shí)，是第四象限角，故選：ABD．【變式3-3】（多選）若是第三象限的角，則可能是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【答案】AC【解析】由于是第三象限的角，故，所以，所以.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為第一象限角；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為第三象限角.所以可能是第一象限角，也可能是第三象限角.故選：AC.【變式3-4】的終邊在第三象限，則的終邊可能在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限或軸非負(fù)半軸D．第三、四象限或軸非正半軸【答案】C【解析】由于的終邊在第三象限，則，所以，，因此，的終邊可能在第一、二象限或軸非負(fù)半軸.故選：C.題型四扇形的弧長(zhǎng)、面積計(jì)算【例4】已知弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為，則該弧所在的扇形面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，扇形的半徑為，所以扇形面積為.故選：B【變式4-1】已知某扇形的周長(zhǎng)是，面積是，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）A．1B．4C．1或4D．1或5【答案】C【解析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，所以，解得或，所以圓心角的弧度數(shù)是或.故選：C【變式4-2】如圖是杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，形象象征著新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義大潮的涌動(dòng)和發(fā)展.如圖是會(huì)徽的幾何圖形，設(shè)弧長(zhǎng)度是，弧長(zhǎng)度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】設(shè)，，，，，而，，即是的中點(diǎn)，，，.故選：C【變式4-3】已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為．（1）已知扇形的周長(zhǎng)為，面積是，求扇形的圓心角；（2）若扇形周長(zhǎng)為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．【答案】（1）；（2）取得最大值25，此時(shí)【解析】（1）由題意得，解得(舍去)，．所以扇形圓心角．（2）由已知得，．所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值25，,解得.當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大為25.題型五sina、cosa、tana知一求二【例5】若為第三象限角，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，.故選：D【變式5-1】若，且為第四象限角，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，且為第四象限角，所以，.故選：D【變式5-2】已知，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，則可解得，所以.故選：A.【變式5-3】已知，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，結(jié)合可得，因?yàn)?，所?故選：B題型六正、余弦齊次式的應(yīng)用【例6】若，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故選：A．【變式6-1】已知，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，則，原式.故選：A.【變式6-2】已知，則____________.（可用對(duì)數(shù)符號(hào)作答）【答案】【解析】∵，∴，又，.故答案為：【變式6-3】已知，則__________．【答案】2【解析】因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以或（舍）．故答案為?.題型七sinacosa、sina±cosa知一求二【例7】已知，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，解得：.故選：A【變式7-1】設(shè)，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，，與異號(hào)．而已知，所以，．因?yàn)?，所以取．故選：C.【變式7-2】已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且，則這個(gè)三角形的形狀是（）A．銳角三角形B．鈍角三角形C．不等腰的直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由，將兩邊平方得，而，故為鈍角.故選：B.【變式7-3】已知關(guān)于的方程的兩個(gè)根為，，，求：（1）的值；（2）方程的兩根及此時(shí)的值．【答案】（1）；（2）兩根分別為，，或【解析】（1）.（2）由（1）得，所以，解得，所以方程的兩根為，又因?yàn)椋?，此時(shí)；或，此時(shí)．題型八利用誘導(dǎo)公式求值化簡(jiǎn)【例8】的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】．故選：B【變式8-1】若，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故選：B【變式8-2】已知，則______．【答案】【解析】由題意得：∵，∴．【變式8-3】已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，，∴.（2）由（1）知：，，∴，∴.題型九解三角函數(shù)不等式【例9】試求關(guān)于x的不等式【答案】或.【解析】作出正弦函數(shù)y＝sinx在[0，2π]上的圖象，作出直線y＝和y＝，如圖所示．由圖可知，在[0，2π]上當(dāng)<x≤或≤x<時(shí)，不等式<sinx≤成立，所以原不等式的解集為或.【變式9-1】求不等式在的解集．【答案】【解析】因函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，即，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如圖：觀察圖形知：，由得，所以不等式在的解集為.【變式9-2】函數(shù)的定義域是.【答案】【解析】由函數(shù)，則，即，解得，所以函數(shù)的定義域是，故答案為：【變式9-3】已知，若，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】由題，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，當(dāng)時(shí)，由原不等式可得，解得，綜上.題型十三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【例10】數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，要求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，即求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.令，所以.故選：A.【變式10-1】設(shè)函數(shù)，，若，函數(shù)是偶函數(shù)，則的值為（）A．或B．或C．或D．或【答案】C【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，.，又，所以或.故選：C.【變式10-2】已知函數(shù)，且，，則______．【答案】【解析】，令，得，又，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，即．因?yàn)?，所以，，所以，所以．故答案為：【變?0-3】若函數(shù)的圖象的相鄰兩支截直線所得的線段長(zhǎng)為，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，且函?shù)的圖象的相鄰兩支截直線所得的線段長(zhǎng)為，所以，函數(shù)的最小正周期，所以，則，因此，.題型十一三角函數(shù)值域的求法【例11】函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)椋ǎ〢．[，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，，，故選：C【變式11-1】函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】C【解析】函數(shù)，設(shè)，，則，由二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)可知，所以的值域?yàn)?，故選：C.【變式11-2】函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè),因?yàn)?，所以，因?yàn)檎泻瘮?shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且,所以．∴函數(shù)的值域?yàn)?，故選：A．【變式11-3】函數(shù)，的值域?yàn)開(kāi)_____．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.題型十二三角恒等變換求角與求值【例12】已知，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?故選：A.【變式12-1】已知，均為銳角，則A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)闉殇J角，且，所以，，于是，又為銳角，所以.故選：C.【變式12-2】求下列各式的值．（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）（2）（3）（4）【變式12-3】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）.（2）（3）題型十三三角函數(shù)圖象變換及應(yīng)用【例13】要得到函數(shù)的圖像，需（）A．將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）B．將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）C．將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】對(duì)于A，將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像，錯(cuò)誤；對(duì)于B，將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像，錯(cuò)誤；對(duì)于C，將圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖像，錯(cuò)誤；對(duì)于D，將圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖像，正確.故選:D.【變式13-1】為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】因?yàn)椋瑢⑵鋱D象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.A，B，C都不滿足.故選：D【變式13-2】將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象的函數(shù)解析式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得的圖象，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像的函數(shù)解析式是．故選：C．【變式13-3】已知函數(shù)，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，若所得圖像與原圖像重合，則的最小值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,的周期為,將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖像與原圖像重合，是周期的整數(shù)倍，，，，的最小值等于.故選：B【變式13-4】已知函數(shù)的圖像如圖.（1）根據(jù)圖像，求的表達(dá)式及嚴(yán)格增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線C，把C上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到的圖像，且關(guān)于x的方程在上有解，求m的取值范圍.【答案】（1），增區(qū)間為；（2）[-1,2].【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，，所以，，由五點(diǎn)法作圖，可得，，故，令，求得，Z，的單調(diào)遞增區(qū)間，Z．（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線的圖象，把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到的圖象，由在上有解，即在上有解，因?yàn)?，，所以，所以的取值范圍為．題型十四三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用【例14】阻尼器是一種以提供運(yùn)動(dòng)的阻力，從而達(dá)到減振效果的專(zhuān)業(yè)工程裝置．深圳第一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱(chēng)為“鎮(zhèn)樓神器”．由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器模型的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移s（cm）和時(shí)間t（s）的函數(shù)關(guān)系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動(dòng)過(guò)程中連續(xù)三次位移為的時(shí)間分別為，，，且，則（）A．B．πC．D．2π【答案】B【解析】由正弦型函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)示意圖如下：所以，則，可得.故選：B【變式14-1】某游樂(lè)場(chǎng)的摩天輪示意圖如圖所示，已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2米，沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為分鐘.在圓周上均勻分布12個(gè)座艙，標(biāo)號(hào)分別為1~12（可視為點(diǎn)），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，座艙與地面的距離h（單位：米）與時(shí)間（單位：分）的函數(shù)關(guān)系基本符合正弦函數(shù)模型，現(xiàn)從圖示位置，即1號(hào)座艙位于圓周最右端時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為分鐘，則1號(hào)座艙與地面的距離h與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的解析式為_(kāi)__________；【答案】【解析】設(shè)函數(shù)解析式為：，因?yàn)樽钚≌芷?，所以，的最大值?2，最小值為2，所以，摩天輪正中心離地面32米，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，.所以解析式為：.故答案為：.【變式14-2】某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單