第3講空間直線方程第8章向量代數(shù)與空間解析幾何高等數(shù)學(xué)（下冊）（慕課版）主講教師|本講內(nèi)容空間平面方程表示01301

空間直線方程如果一個非零向量s與直線??平行,則稱向量s是直線??的一個方向向量.任一方向向量的坐標(biāo)稱為該直線??定義8.9的一組方向數(shù).

求此直線的方程1.直線的點向式方程4的一個方向向量.所以兩向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例.在直線??上任取點??(??,??,??),如圖所示,

的坐標(biāo)為LOxyMM0z設(shè)

是直線??上的一個點,s={m,

n,

p}為??

01

空間直線方程5

方程（8.6）稱為直線L的點向式方程（或叫對稱式方程）.因此有

01

空間直線方程6方程組(8.7)稱為直線??的參數(shù)方程.由直線的點向式方程可以推導(dǎo)出直線的參數(shù)方程.令得

2.直線的參數(shù)式方程01

空間直線方程7所求直線的方向向量為{2,1,5},因為過點(4,?1,3),求過點(4,?1,3)且平行于直線

解??例1

根據(jù)點向式方程得所求直線方程為

01

空間直線方程8

所求的直線與Π1與Π2都平行,即與Π1、Π2的法向量Π1、Π2都垂直,其中因此可用n1×n2作為直線的一個方向向量s.解??例2

01

空間直線方程9取s={3,

1,

?3},于是所求直線方程為

01

空間直線方程10方程(8.8)式為直線L的一般式方程.空間直線??可以看成是兩個相交平面的交線.如果兩個相交平面的方程為則直線??的方程為

3.直線的一般式方程01

空間直線方程11

將直線的一般式方程

解之得

解??例3所以M0(2,

3,

0)為直線上的一點.01

空間直線方程12

作為直線的一個方向向量s.再求直線的一個方向向量S.由于直線與兩個平面的法向量n1、n2都垂直,

其中因此可用

01

空間直線方程13

令

即

于是，該直線的點向式方程為

01

空間直線方程14對于空間的兩條直線,規(guī)定他們的方向向量的夾角(通常指銳角或直角)稱為兩條直線的夾角.

??定義8.10

4.兩直線的夾角01

空間直線方程15它們的方向向量是s1={m1,n1,p1},s2={m2,n2,p2}

,設(shè)它們的夾角為??,則有

01

空間直線方程16從而可求出??,由此可得以下結(jié)論.

01

空間直線方程17直線L1的方向向量為s1={1,?4,1}

,解??例4直線L2的方向向量為求直線和

的夾角.

01

空間直線方程18則兩直線的夾角余弦為

所以

01

空間直線方程19直線與它在平面上的投影之間的夾角??(0≤??<π/2),稱為直線與平面的夾角.??定義8.11已知直線

平面

5.直角與平角的夾角01

空間直線方程20所以,從而可求出??,并由此可得以下結(jié)論

01

空間直線方程21平面的法向量為n={1,?1,?1},因為s?n=0,所以直線與平面夾角為0.解

直線的方向向量為

??例5

01

空間直線方程22不平行，即直線??與??平面相交,下面求其交點.

把直線??的方程化為參數(shù)方程已知直線

和平面

6.直角與平角的交角01

空間直線方程23代回直線??的參數(shù)方程,即求得交點坐標(biāo).代入平面??的方程,得

這是關(guān)于??的一元一次方程,從中解出??,得

01

空間直線方程求點??(3,?1,2)到直線

的距離.

24從而直線的點向式方程為解??例6進(jìn)而可得直線的參數(shù)方程為

直線

的方向向量

01

空間直線方程

求點??(3,?1,2)到直線

的距離.

點??(3,?1,2)到該直線的距離

取最小值，

25解??例7進(jìn)而可得直線的參數(shù)方程為

01

空間直線方程通過空間直線??可以作無數(shù)多個平面,所有這些平面的集合，稱為過直線??的平面束.26設(shè)空間直線??為兩個不平行平面

即??定義8.12

7.平面束01

空間直線方程27則過該直線的平面束方程為當(dāng)??取遍全體實數(shù)時,方程（8.9）就給出了過直線??的平面束方程（平面Π2

除外）.特別當(dāng)??=0時，方程（8.9）給出的是平面Π1的方程.其中??為任意實數(shù)(8.9)01

空間直線方程

求直線

28設(shè)過直線??的平面束方程為

在這個平面束中,要找一個平面與Π垂直,即兩平面的法線向量垂直.解??例8

01

空間直線方程29平面的法線向量n1={1,1,1}

，平面束的法線向量

01

空間直線方程30解出??=?2,代入平面束方程中,得這是一個過直線??且與Π垂直的平面方程.解??例9顯然它與平面Π的交線就是直線??在平面Π上的投影直線求直線在平面

內(nèi)的投影直線方程.

01

空間直線方程31解??例1001

空間直線方程1

32解??例1101

空間直線方程2

于是所求直線的方程為

33解??例1201

空間直線方程3

01

空間直線方程

01

空間直線方程

于是，該直線的點向式方程為

36解??例1301

空間直線方程4

01

空間直線方程