概率

一.選擇題

1.（2024.浙江省湖州市.3分）有一枚勻稱的正方體骰子，骰子各個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6,若隨意

拋擲一次骰子，朝?上的面的點(diǎn)數(shù)記為X,計(jì)算|x-4],則其結(jié)果恰為2的概率是（）

AA.-1BD.-1rC.-1nD.一1

6432

【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法；確定值；概率的意義.

【分析】先求出確定值方程|x-4|=2的解，即可解決問(wèn)題.

【解答】解：???|x-4|=2,

Ax=2或6.

,其結(jié)果恰為2的概率=§=[.

63

故選C.

2.（2024?內(nèi)蒙古包頭.3分）同時(shí)拋擲三枚質(zhì)地勻稱的硬幣，至少有兩枚硬幣正面對(duì)上的概率是（）

A.AB.4C.4D1

8832

【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.

【分析】依據(jù)題意，通過(guò)列樹(shù)狀圖的方法可以寫(xiě)出全部可能性，從而可以得到至少有兩枚硬幣正面對(duì)上的概率.

【解答】解：由題意可得，全部的可能性為:

故選D.

3.（2024?湖北武漢?3分）不透亮的袋子中裝有性狀、大小、質(zhì)地完全相同的6個(gè)球，其中4個(gè)黑球、2個(gè)白球，從

袋子中一次摸出3個(gè)球，下列事務(wù)是不行能事務(wù)的是（）

A.摸出的是3個(gè)白球B.摸出的是3個(gè)黑球

C.摸出的是2個(gè)白球、1個(gè)黑球D.摸出的是2個(gè)黑球、1個(gè)白球

【考點(diǎn)】不行能事務(wù)的概率

【答案】A

【解析】二?袋子中有4個(gè)黑球，2個(gè)白球，.?.摸出的黑球個(gè)數(shù)不能大于4個(gè)，摸出白球的個(gè)數(shù)不能大于2個(gè)。

4選項(xiàng)摸出的白球的個(gè)數(shù)是3個(gè)，超過(guò)2個(gè)，是不行能事務(wù)。

故答案為：A

4.（2024?四川攀枝花）下列說(shuō)法中E確的是（）

A.“打開(kāi)電視，正在播放《新聞聯(lián)播》“是必定事務(wù)

B.“x2〈O（x是實(shí)數(shù)）”是隨機(jī)事務(wù)

C.擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣10次，可能有5次正面對(duì)上

D.為了了解夏季冷飲市場(chǎng)上冰淇淋的質(zhì)量狀況，宜采納普查方式調(diào)查

【考點(diǎn)】概率的意義；全面調(diào)查與抽樣調(diào)查；隨機(jī)事務(wù).

【專題】探究型.

【分析】依據(jù)選項(xiàng)中的事務(wù)可以分別推斷是否正確，從而可以解答本題.

【解答】解：選項(xiàng)a中的事務(wù)是隨機(jī)事務(wù)，故選項(xiàng)a錯(cuò)誤；

選項(xiàng)8中的事務(wù)是不行能事務(wù)，故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

選項(xiàng)c中的事務(wù)是隨機(jī)事務(wù)，故選項(xiàng)c正確：

選項(xiàng)。中的事務(wù)應(yīng)實(shí)行抽樣調(diào)查，普查不合理，故選。錯(cuò)誤：

故選c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的意義、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、隨機(jī)事務(wù)，解題的關(guān)鍵是明確概率的意義，依據(jù)實(shí)際狀況選

擇合適的調(diào)查方式.

5.（2024?四川瀘州）在一個(gè)布口袋里裝有白、紅、黑三種顏色的小球，它們除顏色外沒(méi)有任何區(qū)

分，其中白球2只，紅球6只，黑球4只，將袋中的球攪勻，閉上眼睛隨機(jī)從袋中取出1只球，

則取出黑球的概率是（）

A.B.-yC.D.

2436

【考點(diǎn)】概率公式.

【分析】依據(jù)隨機(jī)事務(wù)概率大小的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①符合條件的狀況數(shù)目；②全部狀況的總數(shù).二

者的比值就是其發(fā)生的概率的大小.

t解答】解：依據(jù)題竟可得：口袋里共有12只球，其中白球2只，紅球6只，黑球4只，

41

故從袋中取出一個(gè)球是黑球的概率：P（黑球）=含吟，

JL4O

故選：C.

6.（2024?黑龍江齊齊哈爾63分）下列算式

一2

①5=±3；②（一上）=9：③26*3=4；④（J-2016）2=2024；⑤a+aE.

3

運(yùn)算結(jié)果正確的概率是（）

【考點(diǎn)】概率公式.

【分析】分別利用二次根式的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)哥的性質(zhì)、問(wèn)底數(shù)箱的除法運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行推斷,

再利用概率公式求出答案.

【解答】解：①任3,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

1-2_I____

②（一二）=（_上）2=9,正確；

31可）

③26笆=23=8,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤：

④（7-2016）2=2024,正確;

⑤。+。=2。，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故運(yùn)算結(jié)果正確的概率是：4.

5

故選：3.

7.（2024?山東省東營(yíng)市?3分）東營(yíng)市某學(xué)校組織學(xué)問(wèn)競(jìng)賽，共設(shè)有20道試題，其中有關(guān)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化試題10

道，實(shí)踐應(yīng)用試題6道，創(chuàng)新實(shí)力試題4道.小捷從中任選一道試題作答，他選中創(chuàng)新實(shí)力試題的概率是（）

1321

A-5B-WC.gD.2

【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】簡(jiǎn)潔事務(wù)的概率一一概率的計(jì)算公式

【答案】A

41

【解析】共設(shè)有20道試題，其中創(chuàng)新實(shí)力試題4道，所以從中任選一道試題，選中創(chuàng)新實(shí)力試題的概率是五=:故

選擇A.

■尸XhFAE1K上+口皿士八,、*4,k"An士々AAlor/、事務(wù)”"J能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)

【點(diǎn)撥】本題考查的是概率公式，熟知隨機(jī)事務(wù)人的概率P（4）=全■部可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

8.（2024?山東省濟(jì)寧市B分）如圖，在4x4正方形網(wǎng)格中，黑色部分的圖形構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，現(xiàn)在隨意選取

一個(gè)白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的圖形仍舊構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形的概率是（）

【考點(diǎn)】概率公式；利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案.

【分析】由在4X4正方形網(wǎng)格中，任先取一個(gè)白色的小正方形并涂黑，共有13種等可能的結(jié)果，使圖中黑色部分

的圖形構(gòu)成?個(gè)軸對(duì)稱圖形的有5種狀況，干脆利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：?.?依據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合，白色的小正方形有13個(gè)，而

能構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形的有4個(gè)狀況，

9.（2024?浙江省紹興市M分）一枚質(zhì)地勻稱的骰子，其六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,投擲一次，朝

上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為（）

2

cD.

43

【考點(diǎn)】概率公式.

【分析】干脆得出偶數(shù)的個(gè)數(shù)，再利用概率公式求出答案.

【解答】解：???一枚質(zhì)地勻稱的骰子，其六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2,3,4,5,6,投擲一次，

31

???朝上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為：=~.

62

故選：C.

10.（2024?廣西百色?3分）在不透亮口袋內(nèi)有形態(tài)、大小、質(zhì)地完全一樣的5個(gè)小球，其中紅球3個(gè)，白球2個(gè)，

隨機(jī)抽取一個(gè)小球是紅球的概率是（）

A—3B—2&C—5D—5

【考點(diǎn)】概率公式.

【分析】用紅球的個(gè)數(shù)除以全部球的個(gè)數(shù)即可求得抽到紅球的概率.

【解答】解：???共有5個(gè)球，其中紅球有3個(gè)，

P（摸到紅球）=2，

5

故選C.

11.（2024海南3分）三張外觀相同的卡片分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3,從中隨機(jī)i次抽出兩張，這兩張卡片上的數(shù)字

恰好都小于3的概率是（）

A.3B.3c.6D.9

【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.

【分析】首先依據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得全部等可能的結(jié)果與兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的狀況,

再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖得：

開(kāi)始

123

AAA

231312

???共有6種等可能的結(jié)果，而兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3有2種狀況，

21

???兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3概率

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率.解題的關(guān)鍵是要留意是放問(wèn)試驗(yàn)還是不放問(wèn)試驗(yàn).用到的學(xué)問(wèn)

點(diǎn)為：概率=所求狀況數(shù)與總狀況數(shù)之比.

二、填空題

1.（2024?黑龍江龍東?3分）在一個(gè)不透亮的袋子中裝有除顏色外其他均相同的4個(gè)紅球，3個(gè)白球，2個(gè)綠球，則

摸出綠球的概率是V.

【考點(diǎn)】概率公式.

【分析】由在一個(gè)不透亮的袋子中裝有除顏色外其他均相同的4個(gè)紅球，3個(gè)白球，2個(gè)綠球，干脆利用概率公式

求解即可求得答案.

【解答】解：???在一個(gè)不透亮的袋子中裝有除顏色外其他均相同的4個(gè)紅球，3個(gè)白球，2個(gè)綠球，

???摸出綠球的概率是：—=與.

4+3+29

故答案為:看

2.（2024?湖北黃石.3分）如圖所示，一只螞蟻從A點(diǎn)動(dòng)身到。，E,F處尋找食物.假定螞蟻在每個(gè)岔路口都可能

的隨機(jī)選擇一條向左下或右下的路徑（比如A岔路口可以向左下到達(dá)8處，也可以向右下到達(dá)C處，其中4B,C

都是岔珞口）.那么，螞蟻從A動(dòng)身到達(dá)E處的概率是1.

一2一

BIC

DEF

【分析】首先依據(jù)題意可得共有4種等可能的結(jié)果，螞蟻從4動(dòng)身到達(dá)￡處的2種狀況，然后干脆利用概率公式求

解即可求得答案.

【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖得：

z\

BC

/\/\

DEEF

???共有4種等可能的結(jié)果，螞蟻從A動(dòng)身到達(dá)E處的2種狀況,

???螞蟻從4動(dòng)身到達(dá)E處的概率是：2=1.

42

故答案為：1.

2

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率.用到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)為：概率=所求狀況數(shù)與總狀況數(shù)之比.

3.（2024?湖北荊門(mén)?3分）荊楚學(xué)校為了了解九年級(jí)學(xué)生“一分鐘內(nèi)跳繩次數(shù)''的狀況，隨機(jī)選取了3名女生和2名

男生，則從這5名學(xué)生中，選取2名同時(shí)跳繩，恰好選中一男一女的概率是一

b

【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.

【分析】首先依據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得全部等可能的結(jié)果與剛好抽到一男一女的狀況，再利用概率

公式即可求得答案.

【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

女女女男男

女女男男女女男男女女男男女女女更女女女男

由樹(shù)狀圖可知共有20種等可能性結(jié)果，其中抽到一男一女的狀況有12種，

所以抽到一男一女的概率為P（一男一女）=崇"，

205

3

故答案為：—.

5

4.（2024?湖北武漢?3分）一個(gè)質(zhì)地勻稱的小正方體，6個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1、1、2、4、5.若隨機(jī)投擲一次小正方

體，則朝上一面的數(shù)字是5的概率為.

【考點(diǎn)】概率公式

【答案】!

3

【解析】???一個(gè)質(zhì)地勻稱的小正方體芍6個(gè)面，其中標(biāo)有數(shù)字5的有2個(gè)，.?.隨機(jī)投擲一次小正方體，則朝上一面

數(shù)字是5的概率為2=』.

63

6.（2024?遼寧丹東?3分）一個(gè)袋中裝有兩個(gè)紅球、三個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外都相同.從中隨意摸出一個(gè)球，摸

到紅球的概率是V-.

一5一

【考點(diǎn)】概率公式.

【分析】先求出球的總數(shù)，再依據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：???一個(gè)袋中裝有兩個(gè)紅球、三個(gè)白球，

，球的總數(shù)=2+3=5,

???從中殖意摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率=卷.

5

2

故答案為：5.

7.（2024?四川內(nèi)江）任取不等式組的一個(gè)整數(shù)解，則能使關(guān)于x的方程：2x+k=-l的解為非負(fù)數(shù)的

2攵+5>0

概率為.

［答案4

［考點(diǎn)］解不等式組，概率。

［解析］不等式組的解集為一?！碅。，其整數(shù)解為k=-2,-1,0,1,2,3.

2攵+5>0L

其中，當(dāng)k=-2,—1時(shí)，方程2x+k=-l的解為非負(fù)數(shù).

所以所求概率P=^=1.

o3

故答案為：

8.（2024.山東省濱州市.4分）有5張看上去無(wú)差別的卡片，上面分別寫(xiě)著0,冗,后，1.333,隨機(jī)抽取1張,

則取出的數(shù)是無(wú)理數(shù)的概率是

【考點(diǎn)】概率公式；無(wú)理數(shù).

【分析】讓是無(wú)理數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)除以數(shù)的總數(shù)即為所求的概率.

【解答】解：全部的數(shù)有5個(gè)，無(wú)理數(shù)有兀，加共2個(gè)，

???抽到寫(xiě)有無(wú)理數(shù)的卡片的概率是2-5=-|.

5

故答案為：

5

【點(diǎn)評(píng)】考查概率公式的應(yīng)用；推斷出無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn).

9.（2024?重慶市4卷M分）從數(shù)-2,-2，0,4中任取一個(gè)數(shù)記為m,再?gòu)挠嘞碌娜齻€(gè)數(shù)中，任取一個(gè)數(shù)記為",

若hmn,則正比例函數(shù)片kx的圖象經(jīng)過(guò)第三、第一象限的概率是:

-o

【分析】依據(jù)題竟先畫(huà)出圖形，求出總的狀況數(shù)，再求出符合條件的狀況數(shù)，最終依據(jù)概率公式講行計(jì)算即可

【解答】解：依據(jù)題意畫(huà)圖如下：

.104-204.214-210

22-2-2

共有12種狀況，

???正比例函數(shù)*kx的圖象經(jīng)過(guò)第三、第一象限，

：,k>0.

k=mn,

n?n>0,

，符合條件的狀況數(shù)有2種，

???正比例函數(shù)產(chǎn)kx的圖象經(jīng)過(guò)第三、第一象限的概率是

126

故答案為：7-

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的學(xué)問(wèn).用到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)為：概率=所求狀況數(shù)與總狀況數(shù)之比.

10.(2024.重慶市B卷4分)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(o,b),從-九-1,0,1,2這五個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)作為。的值，

再?gòu)挠嘞碌乃膫€(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)作為b的值，則點(diǎn)P(a,b)在平面直角坐標(biāo)系中其次象限內(nèi)的概率是

【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法；坐標(biāo)確定位置.

【專題】計(jì)算題.

【分析】先畫(huà)樹(shù)狀圖展示全部20種等可能的結(jié)果數(shù)，再依據(jù)其次象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出點(diǎn)P(。，b)在平面直角坐

標(biāo)系中其次象限內(nèi)的結(jié)果數(shù)，然后依據(jù)概率公式求解.

【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖為：

共有20種等可能的結(jié)果數(shù)，其中點(diǎn)P(a,b)在平面直角坐標(biāo)系中其次象限內(nèi)的結(jié)果數(shù)為4,

所以點(diǎn)P(a,b)在平面直角坐標(biāo)系口其次象限內(nèi)的概率=熹上

故答案為

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：通過(guò)列表法或樹(shù)狀圖法展示全部等可能的結(jié)果求出〃，再?gòu)闹羞x出符合事

務(wù)4或8的結(jié)果數(shù)目m,然后依據(jù)概率公式求出事務(wù)4或8的概率.也考查了坐標(biāo)確定位置.

11.(2024?廣西桂林,3分)把一副一般撲克牌中的數(shù)字2,3,4,5,6,7,8,9,10的9張牌洗勻稱后正面對(duì)下放

在桌面上，從中隨機(jī)抽取一張，抽出的牌上的數(shù)恰為3的倍數(shù)的概率是

【考點(diǎn)】概率公式.

【分析】先確定9張撲克牌上的數(shù)字為3的倍數(shù)的張數(shù)，再依據(jù)隨機(jī)事務(wù)人的概率P(A)

事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)廣.川「

二所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)’求解即可.

【解答】解：???數(shù)字為3的倍數(shù)的撲克牌一共有3張，且共有9張撲克牌，

93

故答案為:

12.（2024?黑龍江哈爾濱?3分）一個(gè)不透亮的袋子中裝有黑、白小球各兩個(gè)，這些小球除顏色外無(wú)其他差別，從袋

子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球后，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩次摸出的小球都是白球的概率為二

【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.

【分析】依據(jù)題意先用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法分析全部等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后依據(jù)概率公式求出該事務(wù)的概率即可.

【解答】解：列表得，

黑1黑2白1白2

黑1黑1黑1黑1黑2黑1白1黑1白2

里2里2里1八里NJ2）,里、、一2，里八、J2I白--41-里?2I白—I-2

白1白1黑1白1黑2白1白1白1白2

白2白2黑1白2黑2白2白1白2白2

???由表格可知，不放回的摸取2次共有16種等可能結(jié)果，其中兩次摸出的小球都是白球有4種結(jié)果，

???兩次摸出的小球都是白球的概率為：士=2,

164

故答案為：

4

13.（2024貴州畢節(jié)5分）擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子，其點(diǎn)數(shù)之和大于10的概率為4.

X乙

【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.

【分析】首先依據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得全部等可能的結(jié)果與其點(diǎn)數(shù)之和大于10的狀況，再利用概

率公式求解即可求得答案.

【解答】解：列表如下:

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

567891011

6789101112

;兩次砂擲骰子總共有36種狀況，而和大于10的只有：（5,6）,（6,5）,（6,6）三種狀況,

???點(diǎn)數(shù)之和大于10的概率為：

36

故答案為：

X乙

14.（2024河南）在“陽(yáng)光體育”活動(dòng)期間，班主任將全班同學(xué)隨機(jī)分成了4組進(jìn)行活動(dòng)，該班小明和小亮同學(xué)被分

在一組的概率是二.

-4-

【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.

【分析】利用畫(huà)樹(shù)狀圖法列出全部等可能結(jié)果，然后依據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【解答】解：設(shè)四個(gè)小組分別記作4、8、C、D,

畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：

開(kāi)始

小明

小亮

由樹(shù)狀圖可知，共有16種等可能結(jié)果,其中小明、小亮被分到同一個(gè)小組的結(jié)果由4種,

???小明和小亮同學(xué)被分在一組的概率是*

164

故答案為：-y-

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖，解題的關(guān)鍵在于用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法列出全部等可能結(jié)果，依據(jù)：概率=

所求狀況數(shù)與總狀況數(shù)之比計(jì)算是基礎(chǔ).

三.解答題

1.（2024?福建龍巖分）某中學(xué)需在短跑、長(zhǎng)跑、跳遠(yuǎn)、跳高四類體育項(xiàng)目中各選拔一名同學(xué)參與市中學(xué)生運(yùn)動(dòng)

會(huì).依據(jù)平常成果，把各項(xiàng)目進(jìn)入復(fù)選的學(xué)生狀況繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖：

開(kāi)始

小明

小亮

（1）參與上選的學(xué)生總?cè)藬?shù)為25人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中短跑項(xiàng)目所對(duì)應(yīng)圓心角的度數(shù)為

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并標(biāo)明數(shù)據(jù)；

（3）求在跳高項(xiàng)目中男生被選中的概率.

【考點(diǎn)】概率公式；扇形統(tǒng)計(jì)圖；條形統(tǒng)計(jì)圖.

【分析】（1）利用條形統(tǒng)計(jì)圖以及扇形統(tǒng)計(jì)圖得出跳遠(yuǎn)項(xiàng)目的人數(shù)和所占比例，即可得出參與復(fù)選的學(xué)生總?cè)藬?shù)；

用短跑項(xiàng)目的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)得到短跑項(xiàng)目所占百分比，再乘以360。即可求出短跑項(xiàng)目所對(duì)應(yīng)圓心角的度數(shù)；

（2）先求出長(zhǎng)跑項(xiàng)目的人數(shù)，減去女生人數(shù)，得出長(zhǎng)跑項(xiàng)目的男生人數(shù)，依據(jù)總?cè)藬?shù)為25求出跳高項(xiàng)目的女生人

數(shù)，進(jìn)而補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）用跳高項(xiàng)目中的男生人數(shù)除以跳高總?cè)藬?shù)即可.

【解答】解：（1）由扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖可得：

參與復(fù)選的學(xué)生總?cè)藬?shù)為：（5+3）:32%=25（人）；

3+9

扇形統(tǒng)計(jì)圖中短跑項(xiàng)目所對(duì)應(yīng)圓心角的度數(shù)為：窄乂360。=72。.

Zb

故答案為：25,72；

（2）長(zhǎng)跑項(xiàng)目的男生人數(shù)為：25x12%-2=1,

跳高項(xiàng)目的女生人數(shù)為：25-3-2-1-2-5-3-4=5.

如下圖：

（3）?:復(fù)選中的跳高總?cè)藬?shù)為9人，

跳高項(xiàng)目中的男生共有4人，

???跳高項(xiàng)目中男生被選中的概率*

2.（2024.廣西百色.8分）某校在踐行“社會(huì)主義核心價(jià)值觀''演講競(jìng)賽中，對(duì)名列前20名的選手的綜合分?jǐn)?shù)m進(jìn)行

分組統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表所示：

組號(hào)分組頻數(shù)

—?6<m<72

二7<m<87

三8<m<9a

四9</n<102

(1)求a的值；

（2）若用扇形圖來(lái)描述，求分?jǐn)?shù)在8gmV9內(nèi)所對(duì)應(yīng)的扇形圖的圓心角大??；

（3）將在第一組內(nèi)的兩名選手記為：4、4,在第四組內(nèi)的兩名選手記為：8］、82,從第一組和第四組中隨機(jī)選取

2名詵手講行調(diào)研座談，求第一組至少有1名詵手被詵中的概率（用樹(shù)狀圖或列表法列出全部可能結(jié)果）.

【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法；頻數(shù)（率）分布表；扇形統(tǒng)計(jì)圖.

t分析】（1）根基被調(diào)杳人數(shù)為20和表格中的數(shù)據(jù)可以求得Q的值：

（2）依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以得到分?jǐn)?shù)在83nV9內(nèi)所對(duì)應(yīng)的扇形圖的圓心角大;

（3）依據(jù)題意可以寫(xiě)出全部的可能性，從而可以得到第一組至少有1名選手被選中的概率.

【解答】解：（1）由題意可得，

a=20-1-1-2=9,

即Q的值是9；

（2）由題意可得，

9

分?jǐn)?shù)在83nV9內(nèi)所對(duì)應(yīng)的扇形圖的圓心角為：360°x—=36°；

（3）由題意可得，全部的可能性如下圖所示，

開(kāi)始

A

2%B24B[B24A2B?4電/

故第一組至少有1名選手被選中的概率是：黑=之，

12b

即第一組至少有1名選手被選中的概率是微■.

6

3.（2024?貴州安順,12分）某校開(kāi)展了“互助、同等、感恩、和諧、進(jìn)取”主題班會(huì)活動(dòng)，活動(dòng)后，就活動(dòng)的5個(gè)主

題進(jìn)行了抽樣調(diào)查（每位同學(xué)只選最關(guān)注的一個(gè)），依據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.依據(jù)圖中供應(yīng)的信

息，解答下列問(wèn)題：

（1）這次調(diào)查的學(xué)生共有多少名？

（2）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，并在扇形統(tǒng)計(jì)圖中計(jì)算出“進(jìn)取”所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù).

（3）假如要在這5個(gè)主題中任選兩個(gè)進(jìn)行調(diào)查，依據(jù)（2）中調(diào)查結(jié)果，用樹(shù)狀圖或列表法，求恰好選到學(xué)生關(guān)注

最多的兩個(gè)主題的概率（將互助、同等、感恩、和諧、進(jìn)取依次記為A、8、C、D、E）.

【分析】（1）依據(jù)“同等”的人數(shù)除以占的百分比得到調(diào)查的學(xué)生總數(shù)即可；

（2）求出“互助”與“進(jìn)取”的學(xué)生數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，求出“進(jìn)取”占的圓心角度數(shù)即可；

（3）列表或畫(huà)樹(shù)狀圖得出全部等可能的狀況數(shù)，找出恰好選到“二號(hào)￡，的狀況數(shù)，即可求出所求的概率.

【解答】解：（1）56^20%=280（名），

答：這次調(diào)查的學(xué)生共有280名；

（2）280xl5%=42（名），280-42-56-28-70=84（名），

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示，

依據(jù)題意得：84+280=30%,360ox30%=108°,

答：“進(jìn)取”所對(duì)應(yīng)的圓心角是108。；

（3）由（2）中調(diào)查結(jié)果知：學(xué)生關(guān)注最多的兩個(gè)主題為“進(jìn)取”和“感恩”用列表法為:

ABCDE

A(4,8)(A,C)(A,D)(A,E)

B(8,A)(8,C)(8,D)(B,E)

C(C,A)(C,8)(C,D)(C,E)

DA)(0,B)(。，C)(0,E)

E(￡,A)(E,B)(E,C)(E,D)

用樹(shù)狀圖為:

共20種狀況，恰好選到“?！陀?種，

1

???恰好選到“進(jìn)取”和“感恩”兩個(gè)主題的概率是元.

90

80

70

60

50

40

30

20

10

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，扇形統(tǒng)計(jì)圖，以及條形統(tǒng)計(jì)圖，嫻熱駕馭運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

4.（2024河北）（本小題滿分9分）

如圖1,一枚質(zhì)地勻稱的止四面體骰子，它有四個(gè)面并分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.

圖1圖2

第23題圖

如圖2,正方形A88頂點(diǎn)處各有一個(gè)圈.跳圈嬉戲的規(guī)則為：嬉戲者每擲一次骰子，骰子著地一面上的數(shù)字是幾,

就沿正方形的邊順時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)跳幾個(gè)邊長(zhǎng).

如：若從圖八起跳，第一次擲得3,就順時(shí)針連續(xù)跳3個(gè)邊長(zhǎng)，落到圈D；若其次次擲得2,就從D起先順時(shí)針連

續(xù)跳2個(gè)邊長(zhǎng),落到圈8；......

設(shè)嬉戲者從圈4起跳.

（1）嘉嘉隨機(jī)擲一次骰子，求落回到圈4的概率Pi;

（2）淇淇隨機(jī)擲兩次骰子，用烈棗港求最終落回到圈A的概率P2,并指出她與嘉嘉落回到圈A的可能性?樣嗎？

23.解：（1）???擲一次骰子有4種等可能結(jié)果，只有擲得4時(shí)，才會(huì)落回到圈4

（2）列表如下:

1234

?(1.1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(J,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(],4)(2,4)(3,4)(4,4)

..........................................................6分

所有等可能的情況共有16種，當(dāng)兩次擲得的數(shù)字和為4的倍數(shù)，

即（1,3）,（2,2）,（3,1）,（4,4）時(shí)，才可落回到圈人共有4種.

而4=[,:.一樣..............................................9分

解析：這道題是到簡(jiǎn)潔題，第一問(wèn)，每種可能性相同，1+4就可以了。其次問(wèn)列表就簡(jiǎn)潔了，就是回到4可能是

2圈，千萬(wàn)不要忘了。

學(xué)問(wèn)點(diǎn)：概率

5.（2024?云南省昆明市）甲、乙兩個(gè)不透亮的口袋，甲口袋中裝有3個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3的小球，乙口袋中裝

有2個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字4,5的小球，它們的形態(tài)、大小完全相同，現(xiàn)隨機(jī)從甲口袋中摸出一個(gè)小球音記數(shù)字，再?gòu)?/p>

乙口袋中摸出一個(gè)小球登記數(shù)字.

（1）請(qǐng)用列表或樹(shù)狀圖的方法（只選其中一種），表示出兩次所得數(shù)字可能出現(xiàn)的全部結(jié)果；

（2）求出兩個(gè)數(shù)字之和能被3整除的概率.

【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法；概率公式.

【分析】先依據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖，再依據(jù)所得結(jié)果計(jì)算兩個(gè)數(shù)字之和能被3整除的概率.

【解答】解：（1）樹(shù)狀圖如下：

開(kāi)始

甲:

乙:

.

和:56678

（2）???共6種狀況，兩個(gè)數(shù)字之和能被3整除的狀況數(shù)有2種,

，兩個(gè)數(shù)字之和能被3整除的概率為?1，

6

即P（兩個(gè)數(shù)字之和能被3整除）

6.（2024?山東省德州市M分）在甲、乙兩名同學(xué)中選拔一人參與“中華好詩(shī)詞”大賽，在相同的測(cè)試條件下，兩人

5次測(cè)試成果（單位:分）如下:

甲：79,86,82,85,83

乙；88,79,90,81,72.

回答下列問(wèn)題:

（1）甲成果的平均數(shù)是83,乙成果的平均數(shù)是82；

（2）經(jīng)計(jì)算知S甲2=6,S乙2=42.你認(rèn)為選拔誰(shuí)參與競(jìng)賽更合適，說(shuō)明理由:

（3）假如從甲、乙兩人5次的成果中各隨機(jī)抽取一次成果進(jìn)行分析，求抽到的兩個(gè)人的成果都大于80分的概率.

【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法；算術(shù)平均數(shù)；方差.

【分析】（1）依據(jù)平均數(shù)的定義可列式計(jì)算;

（2）由平均數(shù)所表示的平均水平及方差所衡量的成果穩(wěn)定性推斷可知;

（3）列表表示出全部等可能的結(jié)果，找到能使該事務(wù)發(fā)生的結(jié)果數(shù)，依據(jù)概率公式計(jì)算可得.

【解答】解：（1）還二型暨軍空理=83（分），

5

x=88+79+90+81+72■=82（分）；

z5

（2）選拔甲參與競(jìng)賽更合適，理由如下:

VX甲〉X乙，且5甲2Vs乙2,

???甲的平均成果高于乙，且甲的成果更穩(wěn)定,

故選拔甲參與競(jìng)賽更合適.

（3）列表如下:

7986828583

8888,7988,8688,8288,8588,83

7979,7979,8679,8279,8579,83

9090,7990,8690,8290,8590.83

8181,7981,8681,8281,8581,83

7272,7972,8672,8272,8572,83

由表格可知，全部等可能結(jié)果共有25種，其中兩個(gè)人的成果都大于80分有12種，

1G

???抽到的兩個(gè)人的成果都大于80分的概率為*.

A

故答案為：（1）83,82.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平均數(shù)、方差卬列表或畫(huà)樹(shù)狀圖求概率，依據(jù)題意列出全部等可能結(jié)果及由表格確定使事務(wù)

發(fā)生的結(jié)果數(shù)是解題的關(guān)鍵.

7.（2024?山東省東營(yíng)市?8分）"校內(nèi)平安”受到全社會(huì)的廣泛關(guān)注，東營(yíng)市某中學(xué)對(duì)部分學(xué)生就校內(nèi)平安學(xué)問(wèn)的了解

程度，采納隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式，并依據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你依

據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中所供應(yīng)的信息解答下列問(wèn)題：

扇形統(tǒng)計(jì)圖條修統(tǒng)計(jì)圖

（第20題圖）

⑴接受問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生共有人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“基本了解〃部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為°；

（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

⑶若該中學(xué)共有學(xué)生900人，請(qǐng)依據(jù)上述調(diào)杳結(jié)果，估計(jì)該中學(xué)學(xué)生中對(duì)校內(nèi)平安學(xué)問(wèn)達(dá)到“了解〃和”基本了

解”程度的總?cè)藬?shù)；

（4）若從對(duì)校內(nèi)平安學(xué)問(wèn)達(dá)到“了解〃程度的3個(gè)女生和2個(gè)男生中隨機(jī)抽取2人參與校內(nèi)平安學(xué)問(wèn)競(jìng)賽，請(qǐng)用樹(shù)狀

圖或列表法求出恰好抽到1個(gè)男生和1個(gè)女生的概率.

【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)圖一一扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖；數(shù)據(jù)的收集與處理一一用樣本估計(jì)總體；概率一一求概率的方法

【思路分析】（1）在扇形圖中找到"了解很少”所占的百分比，在條形圖中找出“了解很少''所對(duì)應(yīng)的人數(shù)，據(jù)此即可

求出接受問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)；在條形圖中找出“基本了解”部分的人數(shù)，用這個(gè)人數(shù)除以接受調(diào)查的總?cè)藬?shù)所得

的商再乘以360°,即可求出扇形統(tǒng)計(jì)組中"基本了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù).

（2）先用接受調(diào)查總?cè)藬?shù)，基本了解岬J人數(shù)?“基本了解〃的人數(shù)，不了解〃的人數(shù)，算出“了解〃的人數(shù)，再依據(jù)“了解〃

的人數(shù)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

（3）利用總?cè)藬?shù)900乘以“了解”和“基本了解”所對(duì)應(yīng)的百分比即可求解.

（4）首先依據(jù)題意列出表格，然后由表格求得全部等可能的結(jié)果以及一男一女參與競(jìng)賽的狀況，再利用概率公式

即可求得答案.

【解答】⑴60,90。；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示:

條形統(tǒng)計(jì)圖

15+5

（3）依據(jù)題意得：900x-^-=300（人）,

則估計(jì)該中學(xué)學(xué)生中對(duì)校內(nèi)平安學(xué)問(wèn)達(dá)到"了解〃和“基本了解〃程度的總?cè)藬?shù)為300人.

（4）列表法如圖所示:

第2個(gè)

第］4、女1女.女男2

女,（女1，女2）（女1，女：,）（女1?男1）（女一男2）

女2（女2?女1）（女2?女3）（女2禺）（女2,男2）

女3（女M，女1）（女3,女2）（女3，男1）（女3.男2）

外（男一女Q（男L女2）（男一女.）（男一男2）

男2（凡?女（男2?女2）（男2,女3）（男2,男1

則全部等可能的狀況有20種，其中選中1個(gè)男生和1個(gè)女生的狀況有12種，所以恰好抽到1個(gè)男生和1個(gè)女生的

123

概率：「=元=《,

【方法總結(jié)】本題⑴?⑶考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要

的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清晰地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖干脆反映部分占總體的百分比

大小.本題⑷考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率.留意樹(shù)狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出全部可能的結(jié)

果，列表法適合于兩步完成的事務(wù)：樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事務(wù)；解此類題時(shí)要留意題目是放回試驗(yàn)

還是不放回試驗(yàn)，概率=所求狀況數(shù)與總狀況數(shù)之比.

8.（2024?山東省荷澤市?3分）銳銳參與我市電視臺(tái)組織的“牡丹杯”智力競(jìng)答節(jié)目，答對(duì)最終兩道單選題就順當(dāng)通

關(guān)，第一道單選題有3個(gè)選項(xiàng)，其次道單選題有4個(gè)選項(xiàng)，這兩道題銳銳都不會(huì)，不過(guò)銳銳還有兩個(gè)“求助”可以用

（運(yùn)用“求助”一次可以讓主持人去抻其中一題的一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)）.

（1）假如銳銳兩次“求助”都在第一道題中運(yùn)用，那么銳銳通關(guān)的概率是:

-

1

（2）假如銳銳兩次“求助”都在其次道題中運(yùn)用，那么銳銳通關(guān)的概率是.

（3）假如銳銳將每道題各用一次“求助”，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或者列表來(lái)分析他依次通關(guān)的概率.

【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.

【專題】應(yīng)用題.

【分析】（1）銳銳兩次“求助”都在第一道題中運(yùn)用，第一道確定能對(duì)，其次道對(duì)的概率為即可得出結(jié)果；

（2）由題意得出第一道題對(duì)的概率為與其次道題對(duì)的概率為,即可得出結(jié)果；

（3）用樹(shù)狀圖得出共有6種等可能的結(jié)果，銳銳順當(dāng)通關(guān)的只有1種狀況，即可得出結(jié)果.

【解答】解：（1）第一道確定能對(duì)，其次道對(duì)的概率為4，

4

所以銳銳通關(guān)的概率為4；

故答案為：

4

（2）銳銳兩次“求助”都在其次道題中運(yùn)用，

則第一道題對(duì)的概率為4，其次道題對(duì)的概率為:

所以銳銳能通關(guān)的概率為344：

2Jo

故答案為：）：

6

（3）銳銳將每道題各用一次“求助”，分別用48表示剩下的第一道單選題的2個(gè)選項(xiàng)，a,b,c表示剩下的其次

道單選題的3個(gè)選項(xiàng)，

樹(shù)狀圖如圖所示：

共有6種等可能的結(jié)果，銳銳順當(dāng)通關(guān)的只有1種狀況，

??.銳銳順當(dāng)通關(guān)的概率為：士.

AB

/T\/N

ahcahc

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率.用到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)為：概率=所求狀況數(shù)與總狀況數(shù)之比.

9.（2024?湖北隨州?8分）國(guó)務(wù)院辦公廳2024年3月16口發(fā)布了《中國(guó)足球改革的總體方案》，這是中國(guó)足球歷史

上的重大改革.為了進(jìn)一步普及足球?qū)W問(wèn)，傳播足球文化，我市實(shí)行了“足球進(jìn)校內(nèi)”學(xué)問(wèn)競(jìng)賽活動(dòng)，為了解足球?qū)W

問(wèn)的普及狀況，隨機(jī)抽取了部分獲獎(jiǎng)狀況進(jìn)行整理，得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：

獲獎(jiǎng)等次頻數(shù)頻率

一等獎(jiǎng)100.05

二等獎(jiǎng)200.10

三等獎(jiǎng)30b

優(yōu)勝獎(jiǎng)a0.30

激勵(lì)獎(jiǎng)800.40

請(qǐng)依據(jù)所給信息，解答下列問(wèn)題：

（1）0=60,b=0.15,且補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（2）若用扇形統(tǒng)計(jì)圖來(lái)描述獲獎(jiǎng)分布狀況，問(wèn)獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是多少？

（3）在這次競(jìng)賽中，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都獲得一等獎(jiǎng)，若從這四位同學(xué)中隨機(jī)選取兩位同學(xué)代表我市參與

獎(jiǎng)獎(jiǎng)獎(jiǎng)獎(jiǎng)獎(jiǎng)

【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法；頻數(shù)（率）分布表；頻數(shù)（率）分布直方圖：扇形統(tǒng)計(jì)圖.

【分析】（1）依據(jù)公式頻率=頻數(shù):樣本總數(shù)，求得樣本總數(shù)，再依據(jù)公式得出a,b的值即可;

（2）依據(jù)公式優(yōu)勝獎(jiǎng)對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)=優(yōu)勝獎(jiǎng)的頻率X360，計(jì)算即可；

（3）畫(huà)樹(shù)狀圖或列表將全部等可能的結(jié)果列舉出來(lái)，利用概率公式求解即可.

【解答】解：（1）樣本總數(shù)為180.05=200人,

a=200-10-20-30-80=60人，

6=30^200=0.15,

故答案為200,0.15：

（）優(yōu)勝獎(jiǎng)所在扇形的圓心角為

20.30x360°=108°;

（2）列表：甲乙丙丁分別用八8CO表示，

ABCD

AABACAD

BBABCBD

CCACBCD

DDADBDC

???共有12種等可能的結(jié)果，恰好選中4、8的有2種,

畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

乙

/1\

甲丙丁

21

/.P（選中4、B）=12=6.

10.（