高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）第5講廣義積分第5章定積分及應(yīng)用01無窮區(qū)間上的廣義積分02無界函數(shù)的廣義積分本講內(nèi)容3定義5.3設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),任取如果極限存在,則稱該極限值為函數(shù)在無窮區(qū)間的廣義積分,記作,即此時,也稱廣義積分收斂;若極限不存在,則稱廣義積分發(fā)散.類似地,我們可以定義函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分,即若右端極限存在,則稱廣義積分收斂;否則,稱廣義積分發(fā)散.01無窮區(qū)間上的廣義積分4最后,我們可以定義函數(shù)在上的廣義積分,即其中c是任意的常數(shù),a是小于c的任意數(shù),b是大于c的任此廣義積分只有當(dāng)上述等式中兩極限意數(shù).同時存在時才是收斂的,如果一個極限不存在,廣義積分是發(fā)散的.上述積分統(tǒng)稱為無窮限的廣義積分.則稱該01無窮區(qū)間上的廣義積分5注:在計算無窮區(qū)間的廣義積分時,為了書寫方便,實(shí)際運(yùn)算中常常略去極限的符號,式的格式(只是形式上的).例如,設(shè)是的一個原函數(shù),記形式上接近于牛頓-萊布尼茲公01無窮區(qū)間上的廣義積分6注:則上述無窮區(qū)間的廣義積分就可以表示成如下的形式這時無窮區(qū)間的廣義積分的收斂與發(fā)散就取決于極限是否存在.01無窮區(qū)間上的廣義積分7求由軸,軸以及曲線所圍的,延伸

到無窮遠(yuǎn)處的圖形的面積A.

由題意得,

解1例01無窮區(qū)間上的廣義積分8討論廣義積分的斂散性,k為常數(shù).因此,當(dāng)時,廣義積分發(fā)散,時,廣義積分收斂,且此時2例

解01無窮區(qū)間上的廣義積分9討論廣義積分()的斂散性．

積分發(fā)散;

發(fā)散;

(1)當(dāng)時,,此時廣義(2)當(dāng)時,,此時廣義積分3例

解01無窮區(qū)間上的廣義積分10

(3)當(dāng)時,此時廣義積分收斂.

因此,當(dāng)時,當(dāng)時,該廣義積分發(fā)散.

收斂,其值為;廣義積分接前

01無窮區(qū)間上的廣義積分11

計算廣義積分4例

解01無窮區(qū)間上的廣義積分12

在電力需求的電涌時間,

消耗電能的速度r可以

近似地表示為求當(dāng)時的總電量E.當(dāng)時的總電量E為

5例

解01無窮區(qū)間上的廣義積分13求廣義積分6例

解01無窮區(qū)間上的廣義積分01無窮區(qū)間上的廣義積分02無界函數(shù)的廣義積分本講內(nèi)容15定義5.4如果函數(shù)在點(diǎn)a的任一領(lǐng)域內(nèi)都無界,則稱點(diǎn)a為函數(shù)的瑕點(diǎn).設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),點(diǎn)a為的瑕點(diǎn).取,如果極限存在,則稱該極限值為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分,記作若上述極限不存在,稱為這時稱廣義積分收斂;廣義積分發(fā)散.定義5.502無界函數(shù)的廣義積分16類似地,設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),點(diǎn)b為的瑕點(diǎn).取,如果極限存在,則稱該極限值為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分,記作若上述極限不存在,稱為這時稱廣義積分收斂;廣義積分發(fā)散.02無界函數(shù)的廣義積分17設(shè)函數(shù)在區(qū)間上除點(diǎn)c

外連續(xù),點(diǎn)c為的瑕點(diǎn).如果兩個廣義積分

和都收斂,則定義否則,就稱廣義積分這時稱廣義積分收斂;發(fā)散.無界函數(shù)的廣義積分又稱為瑕積分.02無界函數(shù)的廣義積分18的瑕點(diǎn),于是

為被積函數(shù)所以計算廣義積分因?yàn)?例

解02無界函數(shù)的廣義積分19注:如果是在上的原函數(shù),是瑕點(diǎn),則有類似地,若是瑕點(diǎn),則有02無界函數(shù)的廣義積分20

因?yàn)槭潜环e函數(shù)的瑕點(diǎn),于是有

(1)當(dāng)時,

此時廣義積分是收斂的;

證明廣義積分時是收斂;當(dāng)當(dāng)時發(fā)散.8例

解02無界函數(shù)的廣義積分21此時廣義積分是發(fā)散的;

此時廣義積分是發(fā)散的.時收斂,

當(dāng)(2)當(dāng)時,

(3)當(dāng)時,

綜上所述,

廣義積分其值為;時發(fā)散.

當(dāng)接前02無界函數(shù)的廣義積分由于是被積函數(shù)的瑕點(diǎn),所以22論的斂散性.廣義積分是發(fā)散的,因此廣義積分是發(fā)散的.9例

解02無界函數(shù)的廣義積分討論的斂散性.2310例

解02無界函數(shù)的廣義積分1所以收斂.計算

2411例

解02無界函數(shù)的廣義積分2論的斂散性.2512例

解02無界函數(shù)的廣義積分3所以發(fā)散.論的斂散性.2613例

解02無界函數(shù)的廣義積分4所以收斂.論的斂散性.2714例

解02無界函數(shù)的廣義積分5所以發(fā)散.論的斂散性.2815例

解02無界函數(shù)的廣義積分6所以收斂.論的斂散性.2916例

解02無界函數(shù)的廣義積分