概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第3講常用的離散型隨機(jī)變量第2章隨機(jī)變量及其分布2.二項(xiàng)分布3.泊松分布5.超幾何分布4.幾何分布1.兩點(diǎn)分布(0-1分布)2第3講常用的離散型隨機(jī)變量??常用的離散型隨機(jī)變量本講內(nèi)容01兩點(diǎn)分布（0–1分布）02二項(xiàng)分布03泊松分布04幾何分布

一次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果,常用0–1分布描述.

X01

P1–pp0<p<

1或4??應(yīng)用場(chǎng)合01

兩點(diǎn)分布（0–1分布）兩點(diǎn)分布（0–1分布）501

兩點(diǎn)分布（0–1分布）可以定義一個(gè)服從(0–1)分布的隨機(jī)變量.如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果A和一個(gè)雖然有多個(gè)結(jié)果，,或者但是我們只關(guān)心事件A是否發(fā)生，則發(fā)生發(fā)生用它來描述試驗(yàn)的結(jié)果。??(0–1)分布的意義或作用601

兩點(diǎn)分布（0–1分布）它只發(fā)一彈，要么打中，要么打不中，分別記為1與0分布律為：??例1某次射擊,已知某射手的命中率為0.8.求:射擊一次命中目標(biāo)次數(shù)X的分布律.解701

兩點(diǎn)分布（0–1分布）檢查產(chǎn)品的質(zhì)量(正品與次品)有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄券是否中獎(jiǎng)(中與不中)對(duì)嬰兒性別進(jìn)行登記(男與女)高射炮射擊敵機(jī)是否擊中等等.(0–1)分布的應(yīng)用很廣，比如:本講內(nèi)容01兩點(diǎn)分布（0–1分布）02二項(xiàng)分布03泊松分布04幾何分布

且

n重伯努利

(Bernoulli)試驗(yàn)：試驗(yàn)可重復(fù)

n

次每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果：每次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響——9相互獨(dú)立的稱為這n次試驗(yàn)是02

二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布n

重Bernoulli試驗(yàn)中,則稱X服從參數(shù)為n,p

的二項(xiàng)分布，0–1分布是n=1的二項(xiàng)分布10??二項(xiàng)分布若P(A)=p,生的次數(shù),X是事件A

在n次試驗(yàn)中發(fā)記作02

二項(xiàng)分布某公司訂購了一種型號(hào)的加工機(jī)床，設(shè)100臺(tái)機(jī)床中故障的臺(tái)數(shù)為X，則二項(xiàng)分布如何計(jì)算巨大的和式？

11??例2率為1%，故障的臺(tái)數(shù)不超過三臺(tái)的概率.求在100臺(tái)此類機(jī)床中，各臺(tái)機(jī)床之間是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，機(jī)床的故障解02

二項(xiàng)分布金工車間有10臺(tái)同類型的機(jī)床，設(shè)X表示10臺(tái)機(jī)床中同時(shí)開動(dòng)的臺(tái)數(shù)。12??例3電動(dòng)機(jī)功率為10千瓦，問這10臺(tái)機(jī)床能夠正常工作的概率有多大？臺(tái)機(jī)床，供電部門只提供50千瓦的電力給這10地電力供應(yīng)緊張，現(xiàn)在當(dāng)且開動(dòng)與否是相互獨(dú)立的。時(shí)實(shí)際開動(dòng)12分鐘，平均每小已知每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)，每臺(tái)機(jī)床配備的解由題意知，概率為，每臺(tái)機(jī)床開動(dòng)與否相互獨(dú)立.每臺(tái)機(jī)床分為“開動(dòng)”“不開動(dòng)”兩種情況，開動(dòng)的02

二項(xiàng)分布13因此，根據(jù)題意，解則，其分布律為其概率為：床就能正常工作，這10臺(tái)機(jī)若同時(shí)開動(dòng)的臺(tái)數(shù)不超過5臺(tái)，臺(tái)機(jī)床的工作基本上不受電力供應(yīng)緊張的影響.說明這1010臺(tái)機(jī)床正常工作的概率為0.994，02

二項(xiàng)分布設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為(2,p)的二項(xiàng)分布，14??例4解02

二項(xiàng)分布Y服從參數(shù)為(3,p)的二項(xiàng)分布，若，則1502

二項(xiàng)分布??二項(xiàng)分布的取值情況??例5設(shè)k=0,1,...,8.0.0390.1560.2730.2730.1790.0680.0170.00240.0000012345678解1602

二項(xiàng)分布0.273?xP?0?1?2?3?4?5?6?7?8由圖表可見，分布取得最大值此時(shí)的k稱為最可能成功次數(shù)當(dāng)k=2或3時(shí)，1702

二項(xiàng)分布??例6設(shè)0.010.060.140.210.220.180.110.060.020.010.002<0.00101234567891011~20??xP?????1?3?5?7?9????0?2?4?6?8?10?20由圖表可見，

當(dāng)k=4時(shí)，分布取得最大值1802

二項(xiàng)分布??二項(xiàng)分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)記k=0,1,...,n.1902

二項(xiàng)分布當(dāng)(n+1)p=整數(shù)時(shí)，在k=(n+1)p與(n+1)p–1處的概率取得最大值當(dāng)(n+1)p

整數(shù)時(shí)，在k=[(n+1)p]處的概率取得最大值

[x]表示不超過

x的最大整數(shù)有2500人參加某保險(xiǎn)公司的意外傷害保險(xiǎn)，二項(xiàng)分布如何計(jì)算巨大的和式？

令X表示出事故人數(shù),則X~B(2500,0.002).利潤(rùn)不少于10萬20??例7每年付120元保險(xiǎn)費(fèi)，問該項(xiàng)保險(xiǎn)的利潤(rùn)不少于10萬元的概率有多大？出險(xiǎn)時(shí)家人可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得20000元.概率為0.002，每人在一年中一個(gè)人發(fā)生意外傷害的解??泊松近似02

二項(xiàng)分布本講內(nèi)容01兩點(diǎn)分布（0–1分布）02二項(xiàng)分布03泊松分布04幾何分布

在某個(gè)時(shí)段內(nèi).某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).一本書一頁中的印刷錯(cuò)誤數(shù).若其中是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為22的泊松(Poisson)分布，??應(yīng)用場(chǎng)合記作03

泊松分布泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布，23??例8={X=2}，解由P{X=1}={X=2}

得于是03

泊松分布求{X=4}？即因?yàn)榈貌⑶乙阎狿{X=1}一家商店在每個(gè)月月底要制定下個(gè)月的商品進(jìn)貨λ=10的泊松分布來描述，24??例9計(jì)劃，某種商品每月的銷售可以用參數(shù)為去銷售記錄知道，由該商店過但為了獲得足夠利潤(rùn)，進(jìn)貨量又不宜過少。進(jìn)貨量不宜過多，為了不使商品的流動(dòng)資金積壓，為了以95%以上的把握保證不問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？脫銷，解設(shè)該商店每月銷售某種商品X件，當(dāng)X≤a

時(shí)不會(huì)脫銷月底進(jìn)貨a件，03

泊松分布25因此，根據(jù)題意，以95%以上的把握保證不脫銷可以表示為由于X服從函數(shù)為λ=10的泊松分布，通過查泊松分布表可知就能以95%以上的把握保證不脫銷這家商店只要在月底進(jìn)貨某種商品15件，上式也可以表示為03

泊松分布當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，我們先來介紹二項(xiàng)分布的泊松近似，歷史上，26??二項(xiàng)分布的泊松近似須尋求近似方法.必計(jì)算二項(xiàng)概率變得很麻煩，由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的.1837年泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，介紹二項(xiàng)分布的正態(tài)近似.后面我們將03

泊松分布,則對(duì)固定的

k設(shè)若X~B(n,p),則當(dāng)n

較大，p

較小時(shí)二項(xiàng)分布的極限分布是Poisson分布27??Possion定理??結(jié)論03

泊松分布查泊松分布表設(shè)100臺(tái)機(jī)床中故障的臺(tái)數(shù)為X，則28某公司訂購了一種型號(hào)的加工機(jī)床，??例2率為1%，故障的臺(tái)數(shù)不超過三臺(tái)的概率.求在100臺(tái)此類機(jī)床中，各臺(tái)機(jī)床之間是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，機(jī)床的故障??利用Possion定理再求前兩例解??泊松近似03

泊松分布查泊松分布表令X表示出事故人數(shù),則29有2500人參加某保險(xiǎn)公司的意外傷害保險(xiǎn)，??例7每年付120元保險(xiǎn)費(fèi)，問該項(xiàng)保險(xiǎn)的利潤(rùn)不少于10萬元的概率有多大？出險(xiǎn)時(shí)家人可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得20000元.概率為0.002，每人在一年中一個(gè)人發(fā)生意外傷害的解X~B(2500,0.002)??泊松近似03

泊松分布令X–產(chǎn)蛋數(shù)，30若每只母雞的產(chǎn)蛋服從參數(shù)為λ的泊松分布，??例10而每個(gè)蛋能孵化成小雞的概率為p，n只小雞的概率服從參數(shù)為λp的泊松分布？每只母雞有試證：解03

泊松分布Y–小雞數(shù)，則31若每只母雞的產(chǎn)蛋服從參數(shù)為λ的泊松分布，??例10而每個(gè)蛋能孵化成小雞的概率為p，n只小雞的概率服從參數(shù)為λp的泊松分布？每只母雞有試證：解03

泊松分布故本講內(nèi)容01兩點(diǎn)分布（0–1分布）02二項(xiàng)分布03泊松分布04幾何分布

某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，X可能取的值是1,2,…Ak

={第k發(fā)命中}，k=1,2,…33??例11他每發(fā)命中率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律.已知直到命中為止，解幾何分布04

幾何分布某流水線生產(chǎn)一批產(chǎn)品，34??例12放回地對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，設(shè)數(shù)，設(shè)隨機(jī)變量X為首次檢驗(yàn)出不合格品所需要的檢驗(yàn)次直到檢驗(yàn)出不合格品為止。有放其不合格率為p，解求X的概率分布則由題意知Ai之間相互獨(dú)立，于是04

幾何分布Ai={第i次檢驗(yàn)出不合格品}，i=1,2,…??注若隨機(jī)變量X的概率分布如上式，35則稱X服從幾何分布.??服從幾何分布.事件??第1次發(fā)生時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)在伯努利試驗(yàn)中，04

幾何分布二項(xiàng)分布和幾何分布都與伯努利試驗(yàn)有關(guān)，36??例13兩者的區(qū)別是什么？解04

幾何分布

二項(xiàng)分布