概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院新形態(tài)系列教材2學(xué)科，是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分。大家好！歡迎來到人民郵電出版社與山東大學(xué)數(shù)學(xué)院聯(lián)合制作的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》慕課課堂！從今天開始，我們學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門程。概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）3近幾年興起的大數(shù)據(jù)分析更加體現(xiàn)了它的應(yīng)用價其理論與方法已廣泛應(yīng)用于電子通訊、工業(yè)制造、航空航天、石油勘探、經(jīng)濟(jì)管理、醫(yī)療衛(wèi)生等各個領(lǐng)域。值。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯說:“生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題。”概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）4概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程是理工類各專業(yè)的重要的下面讓我們一同開啟概率論與數(shù)理統(tǒng)計的神秘之在高等學(xué)校人才培養(yǎng)中占有非常重要的地位。因此學(xué)好這門課程是十分必要的?；A(chǔ)理論課程，門！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）本章導(dǎo)學(xué)第1章隨機(jī)事件與概率6研究對象？研究內(nèi)容？概率論與數(shù)理統(tǒng)計第1章

隨機(jī)事件與概率自然界和人類社會中出現(xiàn)的種種現(xiàn)象,按照條件和結(jié)果的相互關(guān)系，大致上可分成兩類：在一定條件下，必然出現(xiàn)某種結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.7??例1（1）水從高處（條件）流向低處（結(jié)果）.一、確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象??確定性現(xiàn)象第1章

隨機(jī)事件與概率（2）一個磁鐵的“N”極與另一個磁鐵的“S”極靠近（條件）,則兩磁鐵相互吸引（結(jié)果）.確定性現(xiàn)象的特點：條件完全決定結(jié)果,結(jié)果唯一.8（3）一個磁鐵的“N”極與另一個磁鐵的“N”極靠近（條件）,則兩磁鐵相互排斥（結(jié)果）.第1章

隨機(jī)事件與概率在一定條件下，可能出現(xiàn)不同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.（1）投擲一枚均勻的硬幣（條件）,可能9??例2（2）投一個骰子（條件）,可能出現(xiàn)“1”??隨機(jī)現(xiàn)象（研究對象）出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面（結(jié)果）.點到“6”點之中的某一個,但不能事先確定出現(xiàn)哪個點(結(jié)果).第1章

隨機(jī)事件與概率(3）下周的股市（條件）可能上漲，也可能下跌（結(jié)果）.隨機(jī)現(xiàn)象的特點：條件不能決定結(jié)果，結(jié)果不唯一.當(dāng)今世界充滿了不確定性，世界政治、經(jīng)濟(jì)以及我們10生活的各個方面都存在不確定性.第1章

隨機(jī)事件與概率隨機(jī)現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律可言?否！在一定條件下對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量觀測會發(fā)現(xiàn)某種試驗者投擲次數(shù)正面次數(shù)正面頻率De.Morgan204810610.518Buffon404020480.5069K.Person1200060190.5016K.Person24000120120.500511歷史上的幾位數(shù)學(xué)家拋硬幣的試驗,觀察出??例3生活的各個方面都存在不確定性.生活的各個方面都存在不確定性.第1章

隨機(jī)事件與概率試驗表明：盡管“出現(xiàn)正面”這個結(jié)果具有偶然性，但隨著試驗次數(shù)的增多,“出現(xiàn)正面”的“可能性”越來接近于常數(shù)0.5.——這個性質(zhì)稱為“頻率的穩(wěn)定性”.12第1章

隨機(jī)事件與概率從表面上看，隨機(jī)現(xiàn)象的每一次觀察結(jié)果都是隨機(jī)的，但多次觀察某個隨機(jī)現(xiàn)象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律.這種隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計——就是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科.13二、隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性??研究內(nèi)容第1章

隨機(jī)事件與概率隨機(jī)試驗14概率統(tǒng)計的研究方法概率統(tǒng)計的研究對象隨機(jī)現(xiàn)象概率統(tǒng)計的研究內(nèi)容隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性如何研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性？請進(jìn)入第1講隨機(jī)事件第1章

隨機(jī)事件與概率學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第1講隨機(jī)事件第1章隨機(jī)事件與概率第一講隨機(jī)事件17隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性隨機(jī)試驗如何研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性？概率統(tǒng)計的研究對象

概率統(tǒng)計的研究內(nèi)容全概率統(tǒng)計的研究方法01隨機(jī)試驗與樣本空間02隨機(jī)事件03隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算本講內(nèi)容隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性是通過大量試驗呈現(xiàn)出來的，為了研究這種規(guī)律性，我們需要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行調(diào)查、觀察或試驗.這類工作我們統(tǒng)稱為“隨機(jī)試驗”，簡稱為“試驗”，用E表示.1901

隨機(jī)試驗與樣本空間試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗的所有結(jié)果明確可知，并且不止一個；每次試驗只能出現(xiàn)一個結(jié)果，事先不能確定.??隨機(jī)試驗具有下列三個特點：給微信好友發(fā)消息，觀察對方是否回復(fù)；試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗的所有結(jié)果明確可知，并且不止一個；每次試驗只能出現(xiàn)一個結(jié)果，事先不能確定.??隨機(jī)試驗具有下列三個特點：檢驗10件產(chǎn)品，記錄其中的次品數(shù)；調(diào)查某收銀臺一天內(nèi)使用移動支付的次數(shù)；研究某品牌電腦的使用壽命.??例101

隨機(jī)試驗與樣本空間隨機(jī)試驗E所有可能的結(jié)果組成的集合,記為S或Ω.E1

給微信好友發(fā)消息，觀察對方是否回復(fù).E2

檢驗10件產(chǎn)品，記錄其中的次品數(shù).2101

隨機(jī)試驗與樣本空間??樣本空間??例2

E4

研究某品牌電腦的使用壽命.E3

調(diào)查某收銀臺一天內(nèi)使用移動支付的次數(shù).2201

隨機(jī)試驗與樣本空間??注研究隨機(jī)現(xiàn)象時,第一步就是建立樣本空間.01隨機(jī)試驗與樣本空間02隨機(jī)事件03隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算本講內(nèi)容僅由一個元素(樣本點)組成的子集，每次試驗必定生.由若干個基本事件組成的隨機(jī)事件.樣本空間的子集,記為A,B,…24??隨機(jī)事件??基本事件??復(fù)合事件01

隨機(jī)事件發(fā)生且只可能發(fā)生一個的結(jié)果.每次試驗必定不發(fā)生的事件，記為每次試驗必定發(fā)生的事件，即樣本空間S.25??必然事件??不可能事件拋骰子??例301

隨機(jī)事件

.AS

文氏圖

(Venndiagram)26在一般情況下，事件的關(guān)系是怎樣的呢？事件是樣本空間的子集，因此，事件的關(guān)系和運(yùn)算與01

隨機(jī)事件集合的關(guān)系和運(yùn)算是完全相似的.要學(xué)會利用概率論的語言來解釋這些關(guān)系及其運(yùn)算.這里需要強(qiáng)調(diào)的是，01隨機(jī)試驗與樣本空間02隨機(jī)事件03隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算本講內(nèi)容A=BSA28它表示事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生.它表示：事件A與事件B的樣本點完全相同.01

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算??包含關(guān)系如果事件A?的樣本點都在事件B中，則稱事件A包含于事件B.

拋一枚骰子中的隨機(jī)試驗中??例4

??相等關(guān)系

2901

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算??事件的和(并)考察某同學(xué)期末考試的成績情況.??例5事件A與事件B的樣本點合在一起構(gòu)成的事件.它表示：“事件A與事件B至少有一個發(fā)生”.ABS

??推廣??推廣30它表示英語、高數(shù)至少有一門及格.01

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算至少有一個發(fā)生.表示同時發(fā)生.表示31它表示英語、高數(shù)兩門課都及格.01

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算??事件的積(交)

表示事件A與事件B共有的樣本點構(gòu)成的事件.考察某同學(xué)期末考試的成績情況.??例5它表示：“事件A與事件B同時發(fā)生”.

??推廣??推廣3201

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算表示同時發(fā)生.表示同時發(fā)生.3301

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算??事件的差由屬于A但不屬于B的樣本點構(gòu)成的事件.考察電視機(jī)的使用壽命t(:h)??例4

它表示：“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”.

3401

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算??互不相容（互斥）若事件A，B不能同時發(fā)生.即考察電視機(jī)的使用壽命t(:h)??例5AB則事件A與B互不相容.??對立事件（逆事件）"A∩B=Φ".則稱事件A與B互不相容.對于事件A，由所有不包含在A中的樣A本點所組成的事件稱為A的對立件，

記

對應(yīng)事件運(yùn)算集合運(yùn)算3503

隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算??運(yùn)算規(guī)律(1)交換律：(2)結(jié)合律：(3)分配律：逆交和差3603

隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算??運(yùn)算順序括號優(yōu)先(4)對偶律：(D.Morgan律)37利用事件的關(guān)系和運(yùn)算可表達(dá)復(fù)雜事件01

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算??例6設(shè)A、B、C表示三個事件，利用A、B、C表示下列(1)A發(fā)生,B與C不發(fā)生.(2)A與B發(fā)生,C不發(fā)生.(3)A、B、C中至少有一個發(fā)生.(4)A、B、C都發(fā)生.事件——A,B,C

不都發(fā)生.3803

隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算設(shè)A、B、C

表示三個事件，利用A

、B

、C

表示下列事件(5)A、B、C都不發(fā)生.(6)A、B、C中不多于一個發(fā)生.(7)A、B、C中不多于兩個個發(fā)生(8)A、B、C中不至少有兩個發(fā)生.如右圖所示的電路中,設(shè)事件A、B、C分別表示開關(guān)a、b、c閉合，用A、B、C表示事件“指示燈亮”及事件“指示燈不亮”.??例73901

排列及其逆序數(shù)解,,

則則D發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A及B∪C都發(fā)生發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生或發(fā)生40設(shè)A，B，C分別表示第1，2，3個產(chǎn)品為次品，01

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算??例8用A，B，C的運(yùn)算可表示下列各事件(1)至少有一個次品(2)沒有次品(3)恰有一個次品(4)恰有兩個個次品4101

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算(5)至多有兩個次品(考慮其對立事件)第1講隨機(jī)事件42這一講我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件以及事件間的關(guān)系與運(yùn)算，利用這些關(guān)系與運(yùn)算，我們可以用簡單事件去表示復(fù)雜事件，從而利用簡單事件的概率得到復(fù)雜事件的概率.下一講我們介紹一類簡單概率模型——古典概型.學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第2講古典概率與幾何概率第1章隨機(jī)事件與概率01古典概率02幾何概率本講內(nèi)容在概率論發(fā)展的歷史上，最早研究的一類最直觀、最拋擲一枚均勻的硬幣，或拋擲一顆均勻的骰4601

古典概率??例1簡單的問題是等可能摡型，在這類問題中，樣本空間中每個樣本點出現(xiàn)的可能性是相等的.子，這類隨機(jī)試驗，它們都有如下的兩個特點：基本事件的個數(shù)有限.4701

古典概率有限性等可能性.??注??結(jié)論具有上述特點的隨機(jī)試驗E稱為古典(等可能)概型.

每個基本事件等可能性發(fā)生.則設(shè)隨機(jī)試驗E為古典概型，記:對古典概率的計算可以轉(zhuǎn)化為對樣本點的計數(shù)問題，4801

古典概率古典概率概率的古典定義.??注該問題通?？梢越柚帕薪M合公式以及加法和乘法原理等進(jìn)行計算.樣本空間S中所包含的基本事件的個數(shù).事件A中所包含的基本事件的個數(shù).4901

古典概率??加法原理??乘法原理設(shè)完成一件事有m

種方式，第i?種方式有ni

種方法，則完成這件事共有:n1+n2+?+nm

種不同的方法.設(shè)完成一件事需要m個步驟，第i個步驟有ni

種方法，則完成這件事共有:?n1×n2×…×nm

種不同的方法.5001

古典概率??排列公式??組合公式從n個不同元素中任取k個的不同排列總數(shù).從n個不同元素中任取k個的不同組合總數(shù).設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，現(xiàn)從這N件中任取n件，求其中恰有k件次品的概率.5101

古典概率??例2解令A(yù)=超幾何公式.??注{恰有k件次品}口袋中a只黑球，b只白球．隨機(jī)地一只快充普充(1)有放回抽?。?201

古典概率??例3解(2)不放回抽?。阂恢怀槿。蟮趉次摸得黑球的概率．無放回和有放回答案相同！5301

古典概率??注簡單理解是“抽簽理論或排隊理論”：電器含3個快充，每次抽中快充的概率都是3/10，與次序無關(guān)！如10個充??例4把球編號，按抽取次序把球排成一列，樣本點總口袋中a只黑球，b只白球．隨機(jī)地一只一只抽取，(2)不放回抽取.求第k次摸得黑球的概率．5401

古典概率解法1數(shù)就是a+b個球的全排列數(shù)(a+b)!事件A相當(dāng)于在第k

位放黑球，共有a種放法，對應(yīng)其它a+b－1個球的(a+b－1)!種放法,故事件A包含的每種放法又樣本點數(shù)為a(a+b－1)!只考慮前k個位置共a+b個次序，總數(shù):從a+b個次序里邊挑a5501

古典概率解法2解法3個給黑球.下a+b-1個位置，挑a-1個給黑球：事件A的次數(shù)：把第k個位置放黑球，剩...（1）作放回抽樣（每次抽取后記錄結(jié)果，然后放回）；（2）作不放回抽樣（抽取后不再放回）；5601

古典概率??例5箱中放有a+b個外形一樣的手機(jī)充電器（不含充電線），其中a個充電器具有快充功能，其余b個沒有快充功能，k(k≤a+b)

個人依次在箱中取一個充電器，（3）求第i(i=1,2,?,k)人取到具有快充功能的充電器（記為事件A

）的概率.（1）放回抽樣的情況下，每個人都有a+b

種抽取5701

古典概率解法，古典概率的定義:（抽到具有快充功能的充電器）包含a種抽取方法，由于其中a個充電器具有快充功能，因此事件A由.于事件A要求第i人抽到具有快充功能的充電器，5801

古典概率（2）在不放回抽樣的情況下，k個人依次抽取，根據(jù)乘法原理，完成抽取后樣本空間共有個基本結(jié)果.由第i人有a

種取法，其余k-1

人從剩余的a+b-1個充電種取法，器中任選k-1

個，有種基本結(jié)果，由古典概率的定義：A

共包含根據(jù)乘法原理事件因而.5901

古典概率從該例可以看出，無論是放回抽樣還是不放回抽樣，抽到具有快充功能充電器的概率都和抽取順序無關(guān).此問題和抽簽問題類似，因此從概率意義上，抽簽是公平的，不必爭先恐后.6001

古典概率??例6解貨架上有外觀相同的商品15件，其中12件來自甲產(chǎn)地，3件來自乙產(chǎn)地.現(xiàn)從貨架上隨機(jī)抽取兩件，求這兩件商品來自同一產(chǎn)地的概率.A1

表示“兩件商品都來自甲產(chǎn)地”，A2

表示“兩件商品都來自乙產(chǎn)地”.即樣本空間中有105個樣本點.有從15件商品中取出兩件，共事件A1

要求兩件商品都來自甲產(chǎn)地，因而事件A1

共包6101

古典概率含個樣本點，本點.而事件A=“兩件上商品來自同一產(chǎn)地”可以表示A1∪A2

，且事件A1

和事件A2互斥，k=k1+k2=69個樣本點，所以這兩件上商品來自同一產(chǎn)地的概率：個樣同理事件包含因而事件A包含.假設(shè)接待站的接待時間是沒有規(guī)定,而各來訪者在62??例7解

某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的?01

古典概率一周的任一天中去接待站是等可能的.訪者都在周二、周四的概率為：

12次接待來63人們在長期實踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗中實際上幾乎是不發(fā)生的”（實際推斷原理）,概率很小的事件在一次試驗中竟然發(fā)生了,因此有理現(xiàn)在

由懷疑假設(shè)的正確性,待來訪者,即認(rèn)為其接待時間是有規(guī)定的.從而推斷接待站不是每天都接01

古典概率64??例8某福利彩票游戲規(guī)則：購買者從01-35共35個號碼中選取7個號碼作為一注進(jìn)行投注，7個號碼中6個為基本號碼另外1個號碼為特別號碼，每注彩票2元，每期銷售彩票總金額的50%用來作為獎金.獎項設(shè)置為一等獎：選7中6+1（不考慮基本號碼的順序）；二等獎：選7中6；三等獎：選7中5+1；四等獎：選7中5；五等獎：選7中4+1；六等獎：選7中4；七等獎：選7中3+1.試計算單注中獎概率.01

古典概率這一類型彩票游戲可以看作不放回摸球問題：65解袋中有35個(同類型)球，其中6個紅球1個黃球，28個白一個球.現(xiàn)不放回從袋中取7個球，求7個球中恰有i個紅球和j個黃球的概率，i=0，1，…6；

j=0，1.記表示“恰有i個紅球j個黃球”，則有：因此中一等獎的概率01

古典概率66類似可求得單注中k等獎的概率pk，k＝2，……7，它們分別為：01

古典概率67單注中獎概率為：通過以上可以看出單注中獎的概率不到2%，而中頭獎的概率僅有百萬分之一點五左右，根據(jù)實際推斷原理，偶爾買一次彩票就中大獎幾乎是不可能的.01

古典概率68??例9解設(shè)有k

個不同的球,每個球等可能地落入N

個盒子中（）,設(shè)每個盒子容球數(shù)無限,求下列事件的概率:（1）某指定的k

個盒子中各有一球；（2）某指定的一個盒子恰有m

個球（）.（3）恰有k

個盒子中各有一球.01

古典概率（1）某指定的k

個盒子中各有一球（3）恰有k

個盒子中各有一球（每個盒子至多一球）（2）某指定的一個盒子恰有m

個球()6901

古典概率??注某班級有k(k≤365)個人，求k

個人的生日均不相同的概率.??例10“分房模型”的應(yīng)用下一講揭曉.恰有k

個盒子中各有一球7001

古典概率問：如何求“至少有兩人同生日”的概率？解古典概型考慮了樣本空間僅包含有限個樣本點的等可能(1)設(shè)樣本空間S是平面上某個區(qū)域，它的面積記為μ(S);S7101

古典概率??幾何概型(古典概型的推廣)概率模型，但等可能概型還有其它類型，一線段、平面或空間區(qū)域等，概型，思路如下：如樣本空間為這類等可能概型稱為幾何該點落入S內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域(2)向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點，“隨機(jī)投擲一點”的含義是:S7201

古典概率的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關(guān).設(shè)事件A是S的某個區(qū)域，它的面積為μ(A)，則向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點，該點落在區(qū)域A的概率為SA7301

古典概率7401

古典概率確定，只不過把

理解(3)假如樣本空間S可用一線段，或空間中某個區(qū)域表示，并且向S上隨機(jī)投擲一點的含義如前述，則事件A的概率仍可用為長度或體積即可.01古典概率02幾何概率本講內(nèi)容76幾何概率率為:設(shè)樣本空間為有限區(qū)域S,若樣本點落入S內(nèi)任何區(qū)域A中的概率與區(qū)域A的測度成正比,則樣本點落入A內(nèi)的概02

幾何概率.

(約會問題)在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個數(shù)，求這兩個數(shù)之差的絕對值小于1/2的概率.??例1177解法1利用幾何概型計算解法2利用均勻分布計算（第三章）.

A

1/21Oyx

02

幾何概率某人午覺醒來，發(fā)覺表停了,他打開收音機(jī)，想聽電臺報時,設(shè)電臺每正點時報時一次,求他等待時間短于10分鐘的概率.??例1278解以分鐘為單位,記上一次報時時刻為0，時刻為60,因此這個人打開收音機(jī)的時間必在區(qū)間(0,60)

內(nèi),則有:下一次報時記“等待時間短于10分鐘”為事件A，02

幾何概率79于是:02

幾何概率.

(會面問題)某銷人員和客戶相約7點到8點之間在某地會面,先到者等候另一人半個小時,過時就離開。

如果每個人可在指定的一小時內(nèi)任意時刻到達(dá),試計算二人能夠會面的概率.??例1380解記7點為0時刻，x，y分別表示甲、乙兩人到達(dá)指定02

幾何概率地點的時刻，則樣本空間為:81以A表示“兩人能會面”，如圖所示，根據(jù)題意，這是一個幾何概型，于是02

幾何概率則有11212121|x-y|＜Oyx.第2講古典概率與幾何概率82古典概型是最簡單的一種概率模型，要掌握好古典幾何概型的概率計算的關(guān)鍵是將樣本空間和隨機(jī)事????概型，必須學(xué)好排列組合公式.去求樣本點總數(shù)和事件包含的樣本點個數(shù).件用正確的圖形表示出來.會利用排列組合公式知識點解讀—古典概型與幾何概型第2講古典概率與幾何概率83幾何圖形的度量主要是長度，面積或體積等，經(jīng)常??運(yùn)用積分等工具去求解.學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第3講行列式的基本概念(1)第1章行列式01概率的公理化定義02概率的運(yùn)算性質(zhì)本講內(nèi)容歷史上概率的三次定義③公理化定義②統(tǒng)計定義①古典定義概率的最初定義.基于頻率的定義.1933年由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出.研究隨機(jī)現(xiàn)象，我們不僅要關(guān)心會出現(xiàn)哪些事件，更關(guān)心這些事件出現(xiàn)的可能性大小，所謂事件的概率就是度量事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值.87概率的公理化定義什么是概率？01

概率論的公理化定義通過規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來定義88歷史上概率的三次定義??古典定義不足：僅適用于等可能概型.??統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義:在大量重復(fù)試驗中，若事件A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)p的周圍，發(fā)生的概率，并記不足：不精確不嚴(yán)格不便使用.??公理化定義概率.01

概率論的公理化定義則稱該常數(shù)p為事件A89??概率的公式化定義（1）非負(fù)性（2）規(guī)范性（3）可列加性設(shè)隨機(jī)試驗E

的樣本空間為S，若對E

的每一事件A

都有一個實數(shù)P(A)與之對應(yīng)，并且滿足下列三條公理，則稱P(A)為事件A的概率.對每一個事件A，有對任意個兩兩互不相容事件.01

概率論的公理化定義它給出了概率所必須滿足的最基本的性質(zhì)，為建立嚴(yán)格的概率理論提供了一個堅實的基礎(chǔ).9001

概率論的公理化定義有01概率的公理化定義02概率的運(yùn)算性質(zhì)本講內(nèi)容92概率的運(yùn)算性質(zhì)三條公理（1）非負(fù)性（2）規(guī)范性基本性質(zhì)（3）可列加性加法公式.對任意個兩兩互不相容事件02

概率的運(yùn)算性質(zhì)有93加法公式若事件A,B互斥，則，若事件A1,A2,?,An

兩兩互斥，則，??性質(zhì)102

概率的運(yùn)算性質(zhì)對任一事件A，有如果正面計算事件

A的概率不容易，而計算其對立事件的概率較易時，可以使用性質(zhì)2.ＡA94逆事件公式??性質(zhì)2??注02

概率的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)Ａ、B是兩個事件，若,則有AB95減法公式??性質(zhì)3??注對任意兩個事件A,B,有02

概率的運(yùn)算性質(zhì)對任意兩個事件A、B，有再由性質(zhì)3得證.96廣義加法公式??性質(zhì)202

概率的運(yùn)算性質(zhì)右端共有項.97推廣：一般：02

概率的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)有50件產(chǎn)品，其中有3件不合格品，從中任取4件，求至少有一件不合格品的概率.??例198解法1設(shè)A表示至少有一件不合格品，Ai

表示恰好有i件不合格品，則：性質(zhì)102

概率的運(yùn)算性質(zhì).99解法2因為

表示全是合格品，則性質(zhì)2計算事件A的概率不容易，而計算其對立事件的概率較易時，可以利用性質(zhì)2.02

概率的運(yùn)算性質(zhì)對某高校學(xué)生移動支付使用情況進(jìn)行調(diào)查，使用支付寶的用戶占45%，使用微信支付的用戶占35%，同時使用兩種移動支付的占10%.求至少使用一種移動支付的概率和只使用一種移動支付的概率.??例2100解記“使用支付寶”為事件A，“使用微信支付”為事件B，而“只使用一種移動支付”可表示為且易知則“至少使用一種移動支付”可以示為A∪B，02

概率的運(yùn)算性質(zhì)101至少使用一種移動支付的概率：只使用一種移動支付的概率：02

概率的運(yùn)算性質(zhì)某班級有k(k≤365)個人，求k

個人的生日均不相同的概率.求“至少有兩人同生日”的概率.恰有k

個盒子中各有一球102例“分房模型”的應(yīng)用02

概率的運(yùn)算性質(zhì).??例3

A,B是兩個事件，已知103解求而因此02

概率的運(yùn)算性質(zhì)??例4104解則事件A,B,C都不發(fā)生的概率為?02

概率的運(yùn)算性質(zhì)因為A,B互不相容,所以105??例5設(shè)(1)若A,B互斥，則則(2)若02

概率的運(yùn)算性質(zhì).第3講

行列式的基本概念（1）106到目前為止，我們學(xué)習(xí)了樣本空間、隨機(jī)事件等概念，給出了概率的公理化定義及概率的性質(zhì)，知識我們就可以求一般的隨機(jī)事件的概率。下一講我們將學(xué)習(xí)一種新的概率——條件概率.家多做練習(xí)，熟練掌握.利用這些希望大學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第4講條件概率與乘法公式第1章隨機(jī)事件與概率01條件概率02乘法公式本講內(nèi)容在解決許多概率問題時，往往需要在某些附加條件下世界萬物都是互相聯(lián)系、互相影響的，隨機(jī)事件也不例P(B|A)=?110條件概率01

條件概率外.通事故發(fā)生的可能性明顯比天氣狀況優(yōu)良情況下要大得定程度的相互影響．多．在同一個試驗中的不同事件之間，通常會存在著一例如，在天氣狀況惡劣的情況下交求事件的概率.概率，將此概率記作P(B|A).P(B).如在事件A發(fā)生的條件下求事件B發(fā)生的在100件產(chǎn)品中有72件為一等品，從中取兩件產(chǎn)品，記A表示“第一件為一等品”，B表示“第二件為一等品”.求P(B)

,P(B|A).??例1111解由前例可知無論有放回抽樣和無放回抽樣都有（1）有放回抽樣（2）無放回抽樣獨立性如何定義？01

條件概率11201

條件概率.設(shè)A、B為兩事件,P(A)>0,則稱為事件

A

發(fā)生的條件下事件

B

發(fā)生的條件概率.稱為在事件B發(fā)生的條件下事件A的條件概率.同理113??定義01

條件概率條件概率也是概率,故概率的重要性質(zhì)都適用于條件概率.例如：

114??性質(zhì)01

條件概率在100件產(chǎn)品中有72件為一等品，從中取兩件產(chǎn)品，記A表示“第一件為一等品”，B表示“第二件為一等品”.??例2

2)可用縮減樣本空間法1)用定義計算:P(A)>0A發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點總數(shù)在縮減樣本空間中B所含樣本點個數(shù)無放回抽樣115??計算01

條件概率.在全部產(chǎn)品中有4%是廢品，有72%為一等品.現(xiàn)從其中任取一件，發(fā)現(xiàn)是合格品，求它是一等品的概率.??例3116解設(shè)A=依題意，P(A)=所求概率為P(B|A).01

條件概率{任取一件為合格品}，B={任取一件為一等品}0.96,0.72.P(B)=設(shè)A，B，C是隨機(jī)事件，A與C互不相容，則117利用事件的關(guān)系及概率性質(zhì)公式求條件概率??例401

條件概率.由條件概率的定義：若已知P(A),P(B|A)時,可以反過來求P(AB).118??注乘法公式.01

條件概率某工廠有職工400名，其中男女職工各占一半，男女職工中技術(shù)優(yōu)秀的分別為20人和40人，從中任選一名職工，計算（1）該職工技術(shù)優(yōu)秀的概率；（2）已知選出的是男職工，他技術(shù)優(yōu)秀的概率.??例5119解設(shè)A表示“選出的職工技術(shù)優(yōu)秀”，B表示“選出的職工為男性”，則:01

條件概率120(1)利用古典概率有(2)通過縮減樣本空間，有01

條件概率..??例612101

條件概率某雜志包含三個欄目“藝術(shù)”（記為事件A）、“圖書”（記為事件B）、“電影”（記為事件C），調(diào)查讀者的閱讀習(xí)慣有如下結(jié)果:試求122解01

條件概率01條件概率02乘法公式本講內(nèi)容124乘法公式推廣02

乘法公式125ab-1abOF(x)xba102

乘法公式xf

(x)O盒中裝有100個產(chǎn)品,其中3個次品，從中不放回地取產(chǎn)品,每次1個,求（1）取兩次，兩次都取得正品的概率;（2）取三次，第三次才取得正品的概率.??例7126解令A(yù)i

為第

i次取到正品02

乘法公式（波利亞罐子--傳染病模型）一個罐子中包含b個白球和r個紅球.b個白球,r個紅球127??乘法公式應(yīng)用舉例802

乘法公式隨機(jī)地抽取一個球，觀看顏色后放進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白

球且第三、四次取到紅球的概率.回罐中，并且再加進(jìn)c個與所抽出

的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個球，第一、二個是白球，第三、四個是紅球.”設(shè)Wi=Rj==P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)128解02

乘法公式1,2,3,4{第i次取出是白球}，i=j={第j次取出是紅球}，1,2,3,4.記A=為了防止意外，在礦內(nèi)同時裝有兩種報警系統(tǒng)(Ⅰ)和(Ⅱ)，每種系統(tǒng)單獨使用時，系統(tǒng)(Ⅰ)和系統(tǒng)(Ⅱ)的有效概率分別為0.92和0.93，在系統(tǒng)(Ⅰ)失靈的情況下，系統(tǒng)(Ⅱ)仍有效的概率為0.85，求兩個報警系統(tǒng)至少有一個有效的概率.??例9129解02

乘法公式報警系統(tǒng)至少一個有效”可表示為A∪B，由于“兩個“系統(tǒng)(Ⅰ)有效”，B=“系統(tǒng)(Ⅱ)有效”，且A和

互斥，因此:13002

乘法公式學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第5講全概率公式與貝葉斯公式第1章隨機(jī)事件與概率133全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率,它們實質(zhì)上是加法公式，乘法公式以及條件概率的綜合運(yùn)用.第5講

全概率公式與貝葉斯公式134全概率公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥.乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0.第5講

全概率公式與貝葉斯公式135設(shè)甲、乙、丙三個廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總數(shù)的25%,35%,40%，次品率分別為5%,4%,2%，從這批產(chǎn)品中任取一件，求它是次品的概率.??例1解分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)第5講

全概率公式與貝葉斯公式136完備事件組全概率公式兩兩互斥第5講

全概率公式與貝葉斯公式B表示產(chǎn)品為次品01全概率公式02貝葉斯公式本講內(nèi)容138OF(x)x1)Of(xx01

全概率公式稱滿足上述條件的A1,A2,…,An為完備事件組.139全概率公式設(shè)S為隨機(jī)試驗的樣本空間，A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,則對任一事件B，有01

全概率公式加法公式乘法公式B140證明兩兩互不相容，得也兩兩互不相容；01

全概率公式某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是：每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(BAi)=141??全概率公式的關(guān)鍵數(shù)學(xué)模型完備事件組P(Ai)P(B|Ai).01

全概率公式設(shè)某人有三個不同的電子郵件賬戶，有70%的郵件進(jìn)入賬戶1，另有20%的郵件進(jìn)入賬戶2，其余10%的郵件進(jìn)入賬戶3.根據(jù)以往經(jīng)驗，三個賬戶垃圾郵件的比例分別為1%，2%,5%，問某天隨機(jī)收到的一封郵件為垃圾郵件的概率.??例2142解分別表示郵件來自賬戶1、2、3完備事件組B表示郵件為垃圾郵件全概率公式01

全概率公式甲、乙、丙三個廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總數(shù)的25%,35%,40%，次品率分別為5%,4%,2%，隨機(jī)地從中任取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，問它來自哪個廠的可能性大？??例3143解實際中還有另一類問題：已知結(jié)果求原因乙廠生產(chǎn)的可能性最大貝葉斯公式01

全概率公式有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占20%，二廠生產(chǎn)的占70%，三廠生產(chǎn)的占10%，又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,3%,問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少???例4144解對于這個問題，大家都有一個直觀的認(rèn)識，容易求出這一概率為01

全概率公式145若記A表示“產(chǎn)品為次品”，B1，B2，B3

表示“產(chǎn)品分別來自一、二、三廠”，則上式可以表示為：其中B1，B2，B3

正是樣本空間的一個劃分.01

全概率公式01全概率公式02貝葉斯公式本講內(nèi)容該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個原因的概率.設(shè)A1,A2,…,An是完備事件組，則對任一事件B，有147貝葉斯公式02

貝葉斯公式貝葉斯公式在實際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果發(fā)生的最可能原因.——后驗概率在B已經(jīng)發(fā)生的前提下，再對導(dǎo)致B發(fā)生的原因的可能性大小重新加以修正.P(Ai)——先驗概率14802

貝葉斯公式它是由以往的經(jīng)驗得到的，是事件

B的原因.

（醫(yī)學(xué)模型——稀有病癥的診斷率問題）甲胎蛋白（AFP）免疫檢測法被普遍用于肝病的早期診斷和普查.已知肝病患者經(jīng)AFP檢測呈陽性的概率為95%，而非肝病患者經(jīng)AFP檢測呈陽性（誤診）的概率為2%.設(shè)人群中肝病的發(fā)病率為0.04%，現(xiàn)有一人經(jīng)AFP

檢測呈陽性，求此人確實患肝病的概率.??例5149解記A={肝病患者}，{經(jīng)"AFP"檢測呈陽性},B=02

貝葉斯公式由貝葉斯公式經(jīng)AFP檢測顯陽性的人，真患有肝病的人不到2%.可見，對于稀有病癥，一次檢測的結(jié)果不必過于擔(dān)心.15002

貝葉斯公式對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明,當(dāng)機(jī)器調(diào)整良好時,產(chǎn)品的合格率為98%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時,其合格率為55%.每天早上機(jī)器開動時,機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%.已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時,試求機(jī)器調(diào)整良好的概率.??例6151解A1=B=顯然A1∪A2=“機(jī)器未調(diào)整良好”，“機(jī)器調(diào)整良好”，A2=“產(chǎn)品是合格品”，S，由題意，A1

A2=?，02

貝葉斯公式152由貝葉斯公式，有即機(jī)器調(diào)整良好的概率為97%.02

貝葉斯公式某機(jī)器由A、B、C三類元件構(gòu)成，其所占比例分別為0.1，0.4，0.5，且其發(fā)生故障的概率分別為0.7，0.1，0.2.現(xiàn)機(jī)器發(fā)生了故障，問應(yīng)從哪類元件開始檢查？??例7153解設(shè)D表示“機(jī)器發(fā)生故障”，A表示“元件是A類”，B表示“元件是B類”，C表示“元件是C類”，由全概率公式02

貝葉斯公式154由貝葉斯公式故應(yīng)從C元件開始檢查.同理02

貝葉斯公式第5講

全概率公式與貝葉斯公式155這一講我們學(xué)習(xí)了兩個重要的公式——全概率公式與貝葉斯公式.家需要牢記，并會熟練運(yùn)用.在概率的計算中，經(jīng)常用到這兩個公式，大

知識點解讀——全概率公式與貝葉斯公式學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第6講事件的獨立性第1章隨機(jī)事件與概率01事件獨立性的定義02獨立性重復(fù)實驗本講內(nèi)容在100件產(chǎn)品中有72件為一等品，從中取兩件產(chǎn)有放回抽樣前面我們介紹了條件概率，一般來說，P(B|A)≠P(B)，但159??例1也有例外.品，記A表示“第一件為一等品”，B表示“第二件為一等品”.兩事件的獨立性01

事件獨立性的意義設(shè)A,B為兩事件，若:則稱事件A與事件B相互獨立.

等價于因此，我們有如下的定義.160這就是說，已知事件A發(fā)生，并不影響事件B發(fā)生的概率，這時稱事件A、B相互獨立.根據(jù)乘法公式??定義01

事件獨立性的意義161??性質(zhì)（1）若P(A)>0,??P(B)>0,??則也相互獨立.（2）若A與B相互獨立，則與B,?A

與證明事件A與B

相互獨立，有P(AB)=P(A)P(B).僅證事件與B相互獨立，其他可類似證明.由于所以因而事件與B

相互獨立.01

事件獨立性的意義請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？

故A、B不獨立互斥反之，若A與B獨立特別注意：相互獨立≠互不相容“A，B相互獨立”和“A，B互不相容”不能同時成立.162若P(A)>0,P(B)>0，可以證明：即A，B相容.01

事件獨立性的意義在實際應(yīng)用中，往往根據(jù)實際意義去判斷是否獨立.

由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨立.甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記A={甲命中}，

B={乙命中}，A與B是否獨立？一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率.163??例201

事件獨立性的意義一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)Ai={第i件是合格品}，i=1,2.??例3164解若抽取是有放回的,則A1與A2獨立.因為第二次抽取的結(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立.因為第二次抽取的結(jié)果受到第一次抽取的影響.01

事件獨立性的意義設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨立，A與C相互獨立，且??例4165解01

事件獨立性的意義.設(shè)A,?B互不相容，若P(A)>0?,P(B)>0，問A,?B是否互相獨立？166??例5解假設(shè)A,?B相互獨立，則P(AB)=而A,?B互不相容，所以P(AB)=因此A,?B不相互獨立.P(A)P(B)>0矛盾；0，01

事件獨立性的意義將兩事件獨立的定義推廣到三個事件：P(ABC)=四個等式同時成立,則稱事件A、B、C相互獨立.167有限個事件的獨立性??定義對于三個事件A、B、C，若：P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)01

事件獨立性的意義

n個事件A1,A2,…,An

相互獨立是指下面的關(guān)推廣到n個事件的獨立性定義.168??定義系式同時成立:01

事件獨立性的意義兩兩獨立相互獨立對n(n>2)個事件?169??性質(zhì)如果?n個隨機(jī)事件(A1，A2，?，An)?相互獨立．則也相互獨立．其中是的一個排列．??注多個事件兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別與聯(lián)系.01

事件獨立性的意義三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，求密碼被破譯的概率.??例6170解法1記Ai={第i個人破譯出密碼}i=1,2,3所求為利用獨立性01

事件獨立性的意義簡便方法也相互獨立171解法2設(shè)事件相互獨立,則:01

事件獨立性的意義加工某一零件共需經(jīng)過7道工序,每道工序的次品率都是5%，假定各道工序是互不影響的,求加工出來的零件的次品率.??例7172解以?Ai?(i=1,2,?,7)?表示事件“第

i?道工序出現(xiàn)次品”，D表示事件“加工出來的零件為次品”，則有D=A1∪A2∪?∪A7.01

事件獨立性的意義173由此可見，雖然每道工序次品率都很低，但次品數(shù)隨工序數(shù)的增加而增加，因此對于多道工序的產(chǎn)品，需要有嚴(yán)格的控制程序.01

事件獨立性的意義01事件獨立性的定義02獨立性重復(fù)實驗本講內(nèi)容試驗在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行.其中，若一次試驗只有兩個結(jié)果:A或者,稱為每次試驗的結(jié)果互不影響，即每次試驗之間相互獨立.獨立重復(fù)試驗第二章詳細(xì)介紹伯努利試驗.17502

獨立性重復(fù)實驗?zāi)车陜?nèi)有4名售貨員，根據(jù)經(jīng)驗每名售貨員平均在1小時內(nèi)用秤15分鐘.問該店配置幾臺秤較為合理.??例8176解將觀察每名售貨員在某時刻是否用秤看作一次試驗，那么4名售貨員在同一時刻是否用秤可看作4重伯努利試驗.在同時用秤的概率，再做決斷同一時刻恰有i個人同時用秤的事件記為Ai，i=1,2,3,4，則：于是問題就轉(zhuǎn)化成求出某一時刻恰有i人(i=1,2,3,4)02

獨立性重復(fù)實驗177從計算結(jié)果看，三人及以上同時用秤的概率很小，根據(jù)實際推斷原理，配備2臺秤就基本可以滿足要求.02

獨立性重復(fù)實驗第6講

事件的獨立性知識點解讀—獨立性178這一講我們學(xué)習(xí)了事件的獨立性.理統(tǒng)計的一個非常重要的概念，很多定理和結(jié)論都是在獨立性這個條件之下得到的.重點：理解事件獨立性的概念，掌握用事件獨立性進(jìn)行概率計算.獨立性是概率論與數(shù)學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）本章小結(jié)第1章隨機(jī)事件與概率01知識點歸納02教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議本章小結(jié)隨機(jī)事件與概率事件的關(guān)系和運(yùn)算概率的運(yùn)算公式包含和事件積事件差事件互斥對立獨立古典概率幾何概率性質(zhì)公式條件概率乘法公式全概率公式貝葉斯公式18201

知識點歸納01知識點歸納02教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議本章小結(jié)184理解事件獨立性的概念，掌握用事件獨立性進(jìn)行概??理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，??了解樣本空間的概念，理解隨機(jī)事件的概念，掌握??事件間的關(guān)系及運(yùn)算.會計算古典概率和幾何概率；法公式、全概率公式以及貝葉斯公式,并能熟練運(yùn)用這些公式求解相關(guān)問題.掌握概率的加法公式、乘概率的方法.率計算；理解獨立重復(fù)試驗的概念，掌握計算有關(guān)事件02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議分清判斷正確表達(dá)無誤轉(zhuǎn)換熟練熟練掌握應(yīng)用185隨機(jī)事件與概率事件的關(guān)系和運(yùn)算概率的運(yùn)算公式包含和事件積事件差事件互斥對立獨立古典概率幾何概率性質(zhì)公式條件概率乘法公式全概率公式貝葉斯公式02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議學(xué)海無涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）習(xí)題課第1章隨機(jī)事件與概論188

習(xí)題課解（A）成立.（B）不成立.，（C）成立.（D）成立.因此選（B）.??例1設(shè)是三個事件，在下列各式中，不成立的是（A）（B）（C）（D）（）.，，189本題主要考查事件的運(yùn)算和運(yùn)算律，特別是事件的差運(yùn)算，??方法歸納在事件的運(yùn)算化簡中經(jīng)常用到.

習(xí)題課190解??例2設(shè)A，B為互不相容的隨機(jī)事件，則（

）.（A）（B）（C）（D）因為A，B為互不相容，所以

，因此選項A，無法得出和0的關(guān)系.選項B是事件獨立的概念，選項C是事件對立的概念.故選D.??方法歸納本題主要考察事件互不相容的概念和德摩根律，要正確區(qū)分互不相容和相互獨立兩個概念.

習(xí)題課.，191解??例3若當(dāng)事件A，B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，則（）.（A）（B）（C）（D）由題意知

，因此，而所以選B.

習(xí)題課，192解由減法公式可知

，，因此

，所以選C.

習(xí)題課（C）??例4（A）設(shè)A，B為隨機(jī)事件，則的充要條件是（B）（D）（

）.193解由題意

，知，因此A，B至少有一個不發(fā)生的概率即

習(xí)題課，??例5設(shè)事件A，B僅發(fā)生一個的概率為0.3，且，則A，B至少有一個不發(fā)生的概率為__________..194解??例6，則中恰好有一個事件設(shè)

為三個隨機(jī)事件，且發(fā)生的概率為（

）.（A）（B）（C）（D）中恰好有一個事件發(fā)生可以表示為

習(xí)題課195??方法歸納表達(dá)復(fù)雜事件，然后利用概率的運(yùn)算性質(zhì)展開計算.本題是隨機(jī)事件計算概率的基本題型，首先要用基本事件

習(xí)題課196解??例7從0，1，2，…，9等1個數(shù)字總?cè)我膺x出3個不同的數(shù)字，試求下列事件的概率：A1=“三個數(shù)字中不含0和5”；A2=“三個數(shù)字中不含0或5”.樣本空間樣本點總數(shù)為

，A1含樣本點總數(shù)為

，含樣本點總數(shù)為.由古典概率，.??方法歸納本題是基本的古典概型問題，只需要計算樣本空間和事件所含樣本點的數(shù)目.

習(xí)題課A2197解設(shè)A表示“兩數(shù)之和小于

”，兩數(shù)分別記為.??例8在區(qū)間（0,1）中隨機(jī)地取兩個數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于

”的概率為__________.樣本空間

，.由幾何概率

習(xí)題課.198本題是基本的幾何概型問題，對于幾何概型，作圖可以使??方法歸納問題直觀，便于計算.

習(xí)題課199解??例9設(shè)為兩個隨機(jī)事件，且

，，則（

）（A）（B）（C）（D）由得化簡得，所以選C.

習(xí)題課，200解??例10設(shè)為兩個隨機(jī)事件，且

互不相容，求.??方法歸納條件概率和概率運(yùn)算性質(zhì)的結(jié)合是常考的題型，本題中要注意

互不相容，進(jìn)而可以得到.

習(xí)題課201解??例11某盒中有10件產(chǎn)品，其中4件次品，今從盒中取三次產(chǎn)品，一次取一件，不放回，則第三次取得正品的概率為__________，第三次才取得正品的概率為__________.設(shè)第i次取到正品，

，由古典概率

；有乘法公式.??方法歸納本題考查多個事件乘法公式的應(yīng)用.

習(xí)題課202解??例12已知一批產(chǎn)品中90%是合格品，檢查時，一個合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.05，一個次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.02，求（2）一個經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率.（1）一個產(chǎn)品經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的概率；設(shè)“任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢驗認(rèn)為是合格品”，

“任取一產(chǎn)品確是合格品”.則（1）（2）

習(xí)題課.203解??例13玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率相應(yīng)為0.8，0.1和0.1.一顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時售貨員隨意取一箱，而顧客開箱隨機(jī)參看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回.試求（1）顧客買下該箱的概率；（2）在顧客買下的一箱中，確實沒有殘次品的概率.令A(yù)表示事件“顧客買下所查看的一箱玻璃杯”，Bi表示事件“箱中恰有i件殘次品”，i=0，1,2.由題意

習(xí)題課204（1）由全概率公式（2）由貝葉斯公式

習(xí)題課205這個是一個典型的全概率公式和貝葉斯公式的題目，關(guān)鍵??方法歸納是要找到樣本空間的一個劃分，正確區(qū)分全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用場景.

習(xí)題課206解??例14設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，且，，則（

）（A）A與B相互獨立（B）A與B相互對立（C）A與B互不相容（D）A與B互不獨立，，所以，整理得，

習(xí)題課207化簡有，即A與B相互獨立.??方法歸納獨立性是概率統(tǒng)計中重要的概念.事件A與B相互獨立，則有，反之亦然.

習(xí)題課208解??例15設(shè)

，那么

（1）若

互不相容，則______;（2）若

相互獨立，則______.（1）互不相容，所以

，即，得.（2）因為，所以

習(xí)題課209解??例16設(shè)兩兩相互獨立的三事件

滿足條件，，且已知，則__________.，解得或，

習(xí)題課210又因為，因此不合題意，故.

習(xí)題課211解??例17某醫(yī)生知道某種疾病患者自然痊愈率為0.25，為試驗（1）雖然新藥有效，且把痊愈率提高到0.35，但通過實驗（2）新藥完全無效，但通過實驗卻被認(rèn)為有效的概率.一種新藥是否有效,把它給10個病人服用，且規(guī)定若10個病人中至少有4個治好則認(rèn)為這種藥有效,反之則認(rèn)為無效.求：卻被否定的概率.將10個病人服用此藥視為10次重復(fù)試驗，在每次試驗中，只有兩種可能結(jié)果：與否彼此獨立，因此本問題可以看作10重伯努利試驗.

習(xí)題課此人痊愈或不痊愈，而且10人的痊愈212（1）以A表示事件“通過實驗新藥被否定”，由于10個病人中至多三個治好則認(rèn)為這種藥無效，因而（2）以B表示事件“通過實驗新藥有效”，由于10個病人中至少4人痊愈，而且若新藥完全無效，自然痊愈率p=0.25，因而有

習(xí)題課??方法歸納獨立重復(fù)試驗，常用到伯努利定理為計算簡單，可以利用對立事件進(jìn)行計算.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）本章導(dǎo)學(xué)第2章隨機(jī)變量及其分布在第1章中，這種方法存在缺陷：1.只考慮了隨機(jī)試驗中個別事件的概率，214法來表示.主要運(yùn)用了語言描述的方當(dāng)時對于隨機(jī)事件，計算，我們研究了隨機(jī)事件的概念及其概率的具有一定的局限性；上把握隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，2.沒有擺脫初等數(shù)學(xué)的范疇.沒有從整體215某品牌電腦的使用壽命；自動取款機(jī)的排隊時間；某地區(qū)某一時刻的氣溫；進(jìn)行氣象觀測時的測量誤差等.上述隨機(jī)試驗的結(jié)果是某一個范圍內(nèi)的數(shù)值其概率無法用第1章的知識求解.

什么方法來研究這類隨機(jī)試驗?zāi)兀?/p>

那么用，??例1216用什么方法克服上述缺陷？我們發(fā)現(xiàn)，有必