第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年四川省眉山市仁壽縣華興中學(xué)高二（上）9月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.袋中裝有6個(gè)白球，5個(gè)黃球，4個(gè)紅球，從中任取1球，抽到的不是白球的概率為(

)A.25 B.415 C.352.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,3,?4)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)為B，而點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為C，則AC=(

)A.(?2,0,0) B.(?2,3,0) C.(?2,0,?4) D.(1,0,?4)3.某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競(jìng)賽，比賽分為筆試和實(shí)驗(yàn)操作測(cè)試，該同學(xué)參加這兩項(xiàng)測(cè)試的結(jié)果相互不受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為34，在實(shí)驗(yàn)操作中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為23，則該同學(xué)在這次測(cè)試中僅有一項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為(

)A.712 B.12 C.5124.設(shè)x，y∈R，向量a=(x,2,2)，b=(2,y,2)，c=(3,?6,3)，且a⊥c，bA.32 B.42 C.5.如圖，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線OB，AC，M，N分別是對(duì)邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且GN=2MG，現(xiàn)用向量OA，OB，OC表示向量OG，設(shè)OG=xOA+yOB+zOC，則x，y，A.x=13,y=13,z=13

6.在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，則直線AM和CN夾角的余弦值是(

)A.23 B.53 C.?7.如圖所示，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，AB=1，AD=2，AA′=3，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，則A′C的長(zhǎng)為(

)A.5B.23

C.58.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是AC中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段A1C1上，若直線OPA.[23,33]

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.對(duì)于概率的基本性質(zhì)，下列選項(xiàng)正確的是(

)A.如果事件A與事件B互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B)

B.如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(A)+P(B)=1

C.如果A?B，則P(A)<P(B)

D.P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(A∩B)10.下列說法中正確的有(

)A.若事件A與事件B是互斥事件，則P(AB)=0

B.若事件A與事件B是對(duì)立事件，則P(A+B)=1

C.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件

D.把紅、橙、黃3張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙3人，每人分得1張，則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E為線段DA.點(diǎn)A1到直線B1E的距離為53

B.直線FC1到直線AE的距離為305

C.點(diǎn)A1到平面AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a=(1,0,1),b=(0,2,?2)，則向量a13.已知正三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CC1上一點(diǎn)，則當(dāng)14.如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，PA=AB=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD，CP的中點(diǎn)，點(diǎn)T為△PAB內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(包括邊界)，若CT//平面AEF，則點(diǎn)T的軌跡的長(zhǎng)度為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知PA⊥平面ABCD，PA=AB=3，四邊形ABCD為正方形．

(1)證明：BD⊥PC．

(2)求AB與平面PBC所成角的正弦值．16.(本小題15分)

袋子中有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，其中紅球有2個(gè)，編號(hào)分別為1，2；白球有4個(gè)，編號(hào)分別為3，4，5，6，不放回地隨機(jī)摸出兩個(gè)球．

(1)求摸出的兩個(gè)球中有紅球的概率；

(2)記事件M為“摸出的兩個(gè)球全是白球”，N為“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)”，判斷事件M，N是否相互獨(dú)立．17.(本小題15分)

某知識(shí)比賽積分規(guī)則如下：參賽隊(duì)勝一場(chǎng)積3分，平一場(chǎng)積1分，負(fù)一場(chǎng)積0分.某校代表隊(duì)參加該次知識(shí)比賽，已知該校代表隊(duì)與A隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)紅色知識(shí)比賽獲勝的概率為12，平的概率為13，負(fù)的概率為16；與B隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)科技知識(shí)比賽獲勝的概率為23，平的概率為16，負(fù)的概率為16.這兩場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．

(1)求該校代表隊(duì)與A隊(duì)進(jìn)行紅色知識(shí)比賽獲得積分超過與B隊(duì)進(jìn)行科技知識(shí)比賽獲得積分的概率；

(2)求該校代表隊(duì)與A18.(本小題17分)

如圖，已知在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AD⊥CD，AB/?/CD，AB=AD=PD=2，CD=4，點(diǎn)E是棱PC上靠近P端的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F是棱PA上一點(diǎn)．

(1)證明：PA//平面BDE；

(2)求點(diǎn)F到平面BDE的距離；

(3)求平面BDE與平面PBC夾角的余弦值．

19.(本小題17分)

如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，沿EF將四邊形EFCD折起，使二面角A?EF?C的大小為60°，點(diǎn)M在線段AB上．

(1)若M為AB的中點(diǎn)，且直線MF與直線EA的交點(diǎn)為O，求OA的長(zhǎng)，并證明直線OD//平面EMC；

(2)是否存在點(diǎn)M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60°，若存在，求此時(shí)二面角M?EC?F的余弦值，若不存在，說明理由．

參考答案1.C

2.A

3.C

4.D

5.C

6.A

7.C

8.A

9.BD

10.ABC

11.ABD

12.2π313.1814.515.解：(1)證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，

則B(3,0,0)，C(3,3,0)，P(0,0,3)，D(0,3,0)，

∵BD=(?3,3,0)，PC=(3,3,?3)，

∴BD?PC=?3×3+3×3+0×(?3)=0，

∴BD⊥PC；

(2)設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，

∵PB=(3,0,?3)，PC=(3,3,?3)，

則n⊥PBn⊥PC，則n?PB=0n?PC=0，∴3x?3z=03x+3y?3z=0，

令x=1，則y=016.解：(1)從6個(gè)球中不放回地隨機(jī)摸出兩個(gè)球，總共有6×52=15種情況，

假設(shè)摸出的兩個(gè)球中沒有紅球，則列舉出所有組合情況，

即{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共6種，

則摸出的兩個(gè)球全是白球概率為：615=25，

所以摸出的兩個(gè)球中有紅球的概率為1?25=35；

(2)由前面知道，事件M為“摸出的兩個(gè)球全是白球”，概率為P(M)=25，

事件N為“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)”，

兩個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)，有兩類情況：兩球均為奇數(shù)或兩球均為偶數(shù)，

兩球均為奇數(shù)的情況有{1,3}，{1,5}，{3,5}，3種，

兩球均為偶數(shù)的情況有{2,4}，{2,6}，{4,6}，3種，總共6種，

則P(N)=615=25，

MN即摸出的兩個(gè)球全是白球且編號(hào)之和為偶數(shù)，有{4,6}17.(1)已知該校代表隊(duì)與A隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)紅色知識(shí)比賽獲勝的概率為12，平的概率為13，負(fù)的概率為16，

與B隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)科技知識(shí)比賽獲勝的概率為23，平的概率為16，負(fù)的概率為16，

設(shè)事件A1為“該校代表隊(duì)與A隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)紅色知識(shí)比賽獲得積分3分，

與B隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)科技知識(shí)比賽獲得積分1分”，則P(A1)=12×16=112；

事件A2為“該校代表隊(duì)與A隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)紅色知識(shí)比賽獲得積分3分，

與B隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)科技知識(shí)比賽獲得積分0分”，則P(A2)=12×16=112；

事件A3為“該校代表隊(duì)與A隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)紅色知識(shí)比賽獲得積分1分，

與B隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)科技知識(shí)比賽獲得積分0分”，則P(A3)=13×16=118．

故該校代表隊(duì)與A隊(duì)進(jìn)行紅色知識(shí)比賽獲得積分超過與B隊(duì)進(jìn)行科技知識(shí)比賽獲得積分的概率為P(A1)+P(A2)+P(A3)=112+112+118=29．

(2)設(shè)事件B1為“該校代表隊(duì)與A隊(duì)進(jìn)行紅色知識(shí)比賽和與B隊(duì)進(jìn)行科技知識(shí)比賽獲得的積分之和等于4分”，則P(B1)=12×16+13×23=1136；

設(shè)事件B2為“該校代表隊(duì)與A隊(duì)進(jìn)行紅色知識(shí)比賽和與B隊(duì)進(jìn)行科技知識(shí)比賽獲得的積分之和等于6分”，

則P(B2)=12×23=13．

故該校代表隊(duì)與A隊(duì)進(jìn)行紅色知識(shí)比賽和與B隊(duì)進(jìn)行科技知識(shí)比賽獲得的積分之和不小于4分的概率為P(B1)+P(B2)=1136+13=2336．

18.解：(1)證明：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0)，

P(0,0,2),E(0,43,43)，

DB=(2,2,0),DE=(0,43,43)，

設(shè)平面BDE的法向量為m=(x,y,z)，

則m⊥19.解：(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，

則EF//AB//CD，

又M為AB的中點(diǎn)，

則A為OE的中點(diǎn)，

故OA=AE=12AD=2，

連接CE，DF，交于點(diǎn)N，連接MN，

因?yàn)樗倪呅蜟DEF為平行四邊形，

所以N為DF的中點(diǎn)，又M為AB的中點(diǎn)，

則MN//OD，

又MN?平面EMC，OD?平面EMC，

故OD//平面EMC；

(2)因?yàn)镋F//AB//CD，

所以EF⊥DE，EF⊥AE，

因?yàn)镈E，AE?平面ADE，DE∩AE=E，

所以EF⊥平面ADE，

又EF?平面ABFE，

則平面ABFE⊥平面ADE，

取AE的中點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

所以E(?1,0,0),D(0,0,3),C(0,4,3),F(?1,4,0)，

則ED=(1,0,3