傳送帶模型中受力與運(yùn)動分析試題一、水平傳送帶基礎(chǔ)模型分析例題1：如圖所示，水平傳送帶以v=2m/s的恒定速度順時針運(yùn)行，傳送帶兩端A、B間距離L=4m。質(zhì)量m=1kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以v?=1m/s的初速度從A端滑上傳送帶，物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，重力加速度g=10m/s2。求：（1）物塊剛滑上傳送帶時的加速度大?。唬?）物塊在傳送帶上運(yùn)動的總時間；（3）若僅將傳送帶速度調(diào)整為v'=0.5m/s，物塊能否到達(dá)B端？解析：（1）物塊剛滑上傳送帶時，相對傳送帶向左運(yùn)動，滑動摩擦力方向向右，由牛頓第二定律得：f=μmg=ma代入數(shù)據(jù)解得a=μg=2m/s2，方向向右。（2）物塊先做勻加速運(yùn)動，設(shè)達(dá)到傳送帶速度v所需時間為t?，位移為x?：v=v?+at?→t?=(v-v?)/a=0.5sx?=v?t?+?at?2=0.5m+0.25m=0.75m＜L此后物塊與傳送帶共速，做勻速運(yùn)動，位移x?=L-x?=3.25m勻速運(yùn)動時間t?=x?/v=1.625s總時間t=t?+t?=2.125s（3）傳送帶速度v'=0.5m/s＜v?，物塊相對傳送帶向右運(yùn)動，滑動摩擦力方向向左，加速度a'=-μg=-2m/s2物塊減速至速度為零時的位移x：0-v?2=2a'x→x=v?2/(2μg)=0.25m＜L因此物塊無法到達(dá)B端，將在傳送帶上停止運(yùn)動。二、傾斜傳送帶動力學(xué)問題例題2：傾斜傳送帶與水平面夾角θ=37°，傳送帶長度L=10m，以v=4m/s的速度順時針勻速轉(zhuǎn)動。質(zhì)量m=2kg的物塊從傳送帶底端A點(diǎn)無初速度釋放，物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2。求：（1）物塊剛釋放時的加速度大小；（2）物塊到達(dá)頂端B點(diǎn)時的速度；（3）若傳送帶逆時針轉(zhuǎn)動，物塊從A點(diǎn)以v?=8m/s的初速度上滑，求物塊在傳送帶上運(yùn)動的時間。解析：（1）物塊剛釋放時，相對傳送帶向下運(yùn)動，滑動摩擦力沿傳送帶向上：沿斜面方向：f?+mgsinθ=ma?垂直斜面方向：N=mgcosθf?=μN(yùn)=μmgcosθ代入數(shù)據(jù)得：a?=g(sinθ+μcosθ)=10×(0.6+0.5×0.8)=10m/s2（2）物塊先做勻加速運(yùn)動，設(shè)達(dá)到傳送帶速度v所需時間t?，位移x?：t?=v/a?=0.4sx?=?a?t?2=0.8m＜L此后需判斷摩擦力方向：物塊速度等于傳送帶速度，因mgsinθ=12N＞f_max=μmgcosθ=8N，物塊繼續(xù)加速，此時滑動摩擦力沿傳送帶向下：a?=g(sinθ-μcosθ)=10×(0.6-0.5×0.8)=2m/s2剩余位移x?=L-x?=9.2m，由運(yùn)動學(xué)公式：v_B2-v2=2a?x?→v_B=√(v2+2a?x?)=√(16+36.8)=√52.8≈7.27m/s（3）傳送帶逆時針轉(zhuǎn)動時，物塊相對傳送帶向上運(yùn)動，滑動摩擦力沿傳送帶向下：加速度a?=-(gsinθ+μcosθ)=-10m/s2（負(fù)號表示沿斜面向下）物塊減速至速度為零時的位移x：0-v?2=2a?x→x=v?2/(2|a?|)=64/20=3.2m＜L此后物塊沿傳送帶向下滑動，相對傳送帶向下運(yùn)動，滑動摩擦力沿傳送帶向上：加速度a?=g(sinθ-μcosθ)=2m/s2下滑時間t?：x=?a?t?2→t?=√(2x/a?)=√(6.4/2)=√3.2≈1.79s減速時間t?=v?/|a?|=0.8s總時間t=t?+t?=2.59s三、多過程傳送帶綜合問題例題3：如圖所示，水平傳送帶AB與傾斜傳送帶BC平滑連接，AB段長L?=5m，以v?=3m/s的速度順時針轉(zhuǎn)動；BC段與水平面夾角θ=30°，長L?=6m，以v?=2m/s的速度逆時針轉(zhuǎn)動。物塊從A端以v?=2m/s的初速度滑入AB段，物塊與兩段傳送帶間的動摩擦因數(shù)均為μ=√3/3，g=10m/s2，sin30°=0.5，cos30°=√3/2。求：（1）物塊在AB段運(yùn)動的時間；（2）物塊滑上BC段后，經(jīng)過多長時間到達(dá)C端？解析：（1）AB段：物塊初速度v?=2m/s＜v?，滑動摩擦力向右，加速度a?=μg=√3/3×10≈5.77m/s2達(dá)到共速時間t?=(v?-v?)/a?≈(3-2)/5.77≈0.17s位移x?=v?t?+?a?t?2≈0.34m＜L?勻速運(yùn)動位移x?=L?-x?≈4.66m，時間t?=x?/v?≈1.55sAB段總時間t_AB=t?+t?≈1.72s（2）物塊滑上BC段時速度v?=3m/s，傳送帶逆時針轉(zhuǎn)動，相對運(yùn)動方向向上，滑動摩擦力沿斜面向下：沿斜面方向加速度a?=gsinθ+μgcosθ=10×0.5+10×(√3/3)×(√3/2)=5+5=10m/s2（方向沿斜面向下）物塊減速至與傳送帶速度v?=2m/s（方向沿斜面向下）時，位移x?：v?2-v?2=2a?x?→x?=(4-9)/(2×10)=-0.25m（負(fù)號表示沿斜面向上，即物塊未下滑反而上滑0.25m）減速時間t?=(v?-v?)/a?=(-2-3)/10=-0.5s（時間取絕對值0.5s）此時物塊位置在B點(diǎn)上方0.25m處，此后相對傳送帶向下運(yùn)動，滑動摩擦力沿斜面向上：加速度a?=gsinθ-μgcosθ=5-5=0m/s2，物塊勻速下滑總下滑位移x_total=L?+0.25m=6.25m，時間t?=x_total/v?=6.25/2=3.125sBC段總時間t_BC=t?+t?=0.5+3.125=3.625s四、傳送帶中的能量與動量問題例題4：水平傳送帶以v=3m/s的速度勻速運(yùn)行，質(zhì)量m=0.5kg的物塊以v?=1m/s的初速度從左端滑入，最終從右端滑出。傳送帶長度L=6m，動摩擦因數(shù)μ=0.1，g=10m/s2。求：（1）物塊與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量；（2）傳送帶電機(jī)因物塊額外消耗的電能。解析：（1）物塊在傳送帶上先勻加速后勻速：加速度a=μg=1m/s2，達(dá)到共速時間t?=(v-v?)/a=2s相對位移Δx=vt?-(v?t?+?at?2)=6m-(2m+2m)=2m摩擦生熱Q=f·Δx=μmg·Δx=0.1×0.5×10×2=1J（2）電機(jī)額外消耗的電能等于物塊動能增量與摩擦生熱之和：物塊動能增量ΔE_k=?mv2-?mv?2=?×0.5×(9-1)=2J電能W=ΔE_k+Q=2J+1J=3J五、傳送帶模型的臨界與極值問題例題5：如圖所示，傾斜傳送帶與水平面夾角θ=30°，以恒定速度v順時針轉(zhuǎn)動。質(zhì)量m=1kg的物塊從傳送帶頂端靜止釋放，物塊與傳送帶間動摩擦因數(shù)μ=√3/6，g=10m/s2。若要使物塊能到達(dá)傳送帶底端，傳送帶速度v應(yīng)滿足什么條件？解析：物塊釋放后，若傳送帶速度較小，物塊可能因摩擦力不足而減速；若速度過大，物塊可能與傳送帶共速后勻速運(yùn)動。臨界情況：物塊全程做勻加速運(yùn)動，加速度a=gsinθ-μgcosθ=10×0.5-(√3/6)×10×(√3/2)=5-2.5=2.5m/s2若傳送帶速度v≥物塊到達(dá)底端時的速度v_t，則物塊全程加速：v_t=√(2aL)，因題目未給出L，需從動力學(xué)角度分析：若v＜v_t，物塊先加速至v，再勻速運(yùn)動，均能到達(dá)底端；若v足夠小，物塊可能減速？實(shí)際因θ=30°，mgsinθ=5N，f_max=μmgcosθ=2.5N＜mgsinθ，無論傳送帶速度如何，物塊均沿斜面向下加速，因此傳送帶速度v只要大于0即可使物塊到達(dá)底端（若v=0，物塊仍能加速下滑）。六、多物塊傳送帶問題例題6：水平傳送帶以v=2m/s的速度勻速運(yùn)行，A、B兩端距離L=8m。t=0時刻，質(zhì)量m?=1kg的物塊P以v?=4m/s的初速度從A端滑入；t=1s時，質(zhì)量m?=2kg的物塊Q以v?=1m/s的初速度從A端滑入，P、Q與傳送帶間動摩擦因數(shù)均為μ=0.1，g=10m/s2。兩物塊均可視為質(zhì)點(diǎn)且不會相撞，求：（1）物塊P在傳送帶上的運(yùn)動時間；（2）物塊Q滑入傳送帶后，經(jīng)過多長時間與P相距最遠(yuǎn)？解析：（1）P的加速度a=-μg=-1m/s2，減速至共速時間t_p=(v-v?)/a=(2-4)/(-1)=2s位移x_p=v?t_p+?at_p2=4×2-0.5×1×4=8-2=6m＜L勻速運(yùn)動時間t_p'=(L-x_p)/v=1s，總時間t_p總=3s（2）Q滑入時（t=1s），P已運(yùn)動1s，此時P的速度v_p1=v?+at=4-1×1=3m/s，位移x_p1=4×1-0.5×1×1=3.5mQ的加速度a_q=μg=1m/s2（因v?=1m/s＜v），Q加速至共速時間t_q=(v-v?)/a_q=1st=1s~2s內(nèi)（Q加速階段）：P的速度v_p=4-t（t為從0時刻起的時間），Q的速度v_q=1+(t-1)×1=t兩者距離Δx=x_p-x_q=[3.5+∫(1→t)(4-t')dt']-[∫(1→t)t''dt'']化簡得Δx=3.5+[4(t-1)-0.5(t2-1)]-0.5(t2-1)=3.5+4t-4-t2+0.5=4t-t2當(dāng)v_p=v_q時，距離最遠(yuǎn)：4-t=t→t=2s（即Q剛達(dá)到共速時）最遠(yuǎn)距離Δx_max=4×2-22=4m七、傳送帶模型的拓展應(yīng)用例題7：如圖所示，“L”形傳送帶由水平段AB和傾斜段BC平滑連接，AB段長L?=2m，BC段與水平面夾角θ=30°，長L?=3m，整個傳送帶以v=1m/s的速度順時針轉(zhuǎn)動。質(zhì)量m=0.5kg的物塊從A端以v?=3m/s的初速度滑入，物塊與傳送帶間動摩擦因數(shù)μ=√3/6，g=10m/s2。求物塊從A到C的總時間。解析：AB段：物塊減速，加速度a?=-μg=-√3/6×10≈-2.88m/s2達(dá)到共速時間t?=(v-v?)/a?≈(1-3)/(-2.88)≈0.69s位移x?=v?t?+?a?t?2≈3×0.69-0.5×2.88×0.48≈2.07-0.70≈1.37m＜L?勻速運(yùn)動位移x?'=L?-x?≈0.63m，時間t?'=x?'/v≈0.63sBC段：物塊速度v=1m/s，沿斜面方向重力分力mgsinθ=2.5N，摩擦力f=μmgcosθ=0.5×10×(√3/6)×(√3/2)=1.25N＜2.5N，物塊加速下滑加速度a?=gsinθ-μgcosθ=5-2.5=2.5m/s2由L?=vt?+?a?t?2→3=1×t?+1.25t?2→1.25t?2+t?-3=0解得t?=1.2s（舍去負(fù)根）總時間t_total=t?+t?'+t?≈0.69+0.63+1.2≈2.52s八、傳送帶中的相對運(yùn)動與圖像問題例題8：水平傳送帶以v=4m/s的速度勻速運(yùn)行，物塊以v?=2m/s的初速度從左端滑入，其速度-時間（v-t）圖像如圖所示（圖中未畫出）。已知物塊與傳送帶間動摩擦因數(shù)μ=0.2，g=10m/s2。根據(jù)圖像信息求：（1）傳送帶的長度至少為多少？（2）物塊在傳送帶上的相對位移大小。解析：（1）由v-t圖像可知，物塊先勻加速至v=4m/s，加速度a=μg=2m/s2，加速時間t?=(4-2)/2=1s，位移x?=2×1+0.5×2×1=3m若圖像顯示物塊最終勻速，則傳送帶長度至少為3m；若物塊未達(dá)到共速即離開，則需根據(jù)圖像面積計算位移。（2）相對位移Δx=傳送帶位移x_帶-物塊位移x_物x_帶=vt?=4×1=4m，Δx=4m-3m=1m總結(jié)與解題策略傳送帶模型問題的核心在于分析物塊相對傳送帶的運(yùn)動方向，從而判斷滑動摩擦力的方向，并結(jié)合牛頓第二定律、運(yùn)動學(xué)公式及能量守恒定律求解。解題步驟可歸納為：受力分析：明確