專題16數(shù)列的基本概念、等差與等比數(shù)列（核心考點精講精練）1.近幾年真題考點分布數(shù)列近幾年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2021年全國乙（文科），第19題,12分1、求等比數(shù)列的通項公式，等差中項的應(yīng)用2、錯位相減求前項和2021年全國乙（理科），第19題,12分1、證明等差數(shù)列2、求通項公式2021年全國甲（文科），第17題,12分證明等差數(shù)列2021年全國甲（文科），第9題,5分等比數(shù)列通項公式基本量計算，求前項和2021年全國甲（理科），第18題,12分證明等差數(shù)列，等差數(shù)列的應(yīng)用求前項和，由前項和求通項2021年全國甲（理科），第7題,5分判斷數(shù)列的增減性判斷充分性與必要性2022年全國乙（理科），第8題,5分2022年全國乙（文科），第10題,5分等比數(shù)列通項公式基本量計算，求數(shù)列的項2022年全國甲（理科），第17題,12分2022年全國甲（文科），第17題,12分1、遞推公式證明等差數(shù)列2、等比中項的應(yīng)用，求前項和2023年全國乙（文科），第18題,12分1、利用定義求等差數(shù)列通項公式，等差數(shù)列基本量的計算2、含絕對值的等差數(shù)列求前項和2023年全國乙（理科），第15題,5分等比數(shù)列通項公式基本量計算2023年全國乙（理科），第10題,5分等差數(shù)列求通項公式，數(shù)列周期性余弦函數(shù)，集合元素互異性2023年全國甲（文科），第5題,5分等差數(shù)列性質(zhì)計算，求前項和2023年全國甲（理科），第5題,5分等比數(shù)列前項和2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.本節(jié)為高考必考內(nèi)容，各種題型均有出現(xiàn)；2.考查數(shù)列的增減性、周期性；3.考查等差、等比數(shù)列基本量的計算，等差、等比中項的應(yīng)用；4.考查由遞推公式證明等差、等比數(shù)列；5.考查求等差、等比數(shù)列的通項公式與前項和；【備考策略】1.了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、通項公式、遞推公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).3.理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義.4.探索并掌握等差數(shù)列的前項和公式,理解等差數(shù)列的通項公式與前項和公式的關(guān)系.5.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題.6.體會等差數(shù)列的通項公式與一元一次函數(shù)的關(guān)系.7.理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義.8.探索并掌握等比數(shù)列的前項和公式,理解等比數(shù)列的通項公式與前項和公式的關(guān)系.9.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題.10.體會等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.【命題預(yù)測】1.考查數(shù)列的增減性、周期性；2.考查等差、等比數(shù)列基本量的計算，等差、等比中項的應(yīng)用；3.考查由遞推公式證明等差、等比數(shù)列；4.考查求等差、等比數(shù)列的通項公式與前項和；知識講解一、數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列按照的一列數(shù)

數(shù)列的項數(shù)列中的

數(shù)列的通項數(shù)列的第項通項公式數(shù)列的第項與之間的關(guān)系能用公式表達(dá)

前項和數(shù)列的函數(shù)特征數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,…,})為定義域的函數(shù)(1)并不是所有的數(shù)列都有通項公式;(2)同一個數(shù)列的通項公式在形式上未必唯一;(3)對于一個數(shù)列,如果只知道它的前幾項,而沒有指出它的變化規(guī)律,是不能確定這個數(shù)列的.二、數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列其中遞減數(shù)列常數(shù)列擺動數(shù)列從第項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項

三、數(shù)列的遞推公式1.兩個條件:(1)已知數(shù)列的第1項(或前幾項);(2)從第2項(或某一項)開始的任意一項與它的前一項an-1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示2.結(jié)論:具備以上兩個條件的公式叫作這個數(shù)列的公式.

四、數(shù)列遞推公式與通項公式的關(guān)系遞推公式通項公式區(qū)別表示與它的前一項

(或前幾項)之間的關(guān)系

表示與之間的關(guān)系

聯(lián)系(1)都是表示數(shù)列的一種方法;(2)由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通項公式五、數(shù)列{an}的an與Sn的關(guān)系1.數(shù)列的前項和：.2.當(dāng)時求出的也適合時的情形,可用一個式子表示,否則分段表示.由數(shù)列前幾項歸納數(shù)列通項公式的方法及策略(1)常用方法有觀察法(觀察規(guī)律)、比較法(比較已知數(shù)列)、歸納法、轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想法(聯(lián)想常見的數(shù)列).同時也可以利用添項、還原、分割等方法,尋找到一個常見數(shù)列,通過常見數(shù)列的通項公式求得所給數(shù)列的通項公式.(2)具體策略①觀察分式中分子、分母的特征;②觀察相鄰項的變化特征,如遞增時可考慮關(guān)于為一次遞增或以,等形式遞增;③觀察拆項后的特征;④觀察各項的符號特征和絕對值的特征;⑤化異為同,對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破,或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系;⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況,可用或,來處理.由遞推公式寫出數(shù)列的項的方法(1)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項,首先要弄清楚公式中各部分的關(guān)系,依次代入計算即可;(2)若知道的是末項,通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式,如;(3)若知道的是首項,通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式,如.1.已知求的三個步驟(1)先利用求出;(2)用替換中的得到一個新的關(guān)系,利用即可求出當(dāng)時的表達(dá)式;(3)注意檢驗時的表達(dá)式是否可以與時的表達(dá)式合并.2.與關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求,將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.(1)利用,轉(zhuǎn)化為只含,的關(guān)系式,再求解;(2)利用,轉(zhuǎn)化為只含,的關(guān)系式,再求解.判斷數(shù)列單調(diào)性的方法(1)作差比較法:數(shù)列是遞增數(shù)列;數(shù)列是遞減數(shù)列;數(shù)列是常數(shù)列.(2)作商比較法:①當(dāng)an>0時,數(shù)列是遞增數(shù)列;數(shù)列是遞減數(shù)列;數(shù)列是常數(shù)列.②當(dāng)an<0時,數(shù)列是遞減數(shù)列;數(shù)列是遞增數(shù)列;數(shù)列是常數(shù)列.(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷.解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項,確定數(shù)列的周期,再根據(jù)周期性求值.求數(shù)列中最大(小)項的常用方法(1)函數(shù)法,利用函數(shù)求最值.(2)通過通項公式研究數(shù)列的單調(diào)性,利用確定最大項,利用確定最小項.(3)比較法:①若,則,即數(shù)列是遞增數(shù)列,所以數(shù)列的最小項為;②若,則,即數(shù)列是遞減數(shù)列,所以數(shù)列的最大項為.六、等差數(shù)列的基本問題1.定義:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列,這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的,公差通常用字母表示,定義的表達(dá)式為.

2.通項公式:如果等差數(shù)列的首項為，公差為，那么通項公式為.推導(dǎo)方法(累加法)：.3.等差中項:如果成等差數(shù)列,那么叫作與的等差中項,且.4.前項和公式為：推導(dǎo)方法:倒序相加法.

5.判斷等差數(shù)列的方法（1）定義法：（2）等差中項法：用函數(shù)觀點判斷等差數(shù)列（3）(類似于一次函數(shù));（4）(類似于常數(shù)項為零的二次函數(shù)).七、等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列是等差數(shù)列,是其前項和.1.下標(biāo)和與項的和的關(guān)系:若，則.

特別地,若,則.2.任意兩項的關(guān)系.(1)在等差數(shù)列中,,,則.(2)在等差數(shù)列中,等距離取出若干項也構(gòu)成一個等差數(shù)列,即,,,…為等差數(shù)列,公差為.

(3)等差數(shù)列依次每項和也構(gòu)成一個等差數(shù)列,即,,,…為等差數(shù)列,公差為.

3.設(shè)等差數(shù)列的公差為,那么(1)是遞增數(shù)列,有最小值;是遞減數(shù)列,有最大值;是常數(shù)列.(2)數(shù)列仍為等差數(shù)列,公差為.

(3)若,都是等差數(shù)列,則仍為等差數(shù)列.(1)關(guān)于非零等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質(zhì)①若項數(shù)為,則,.②若項數(shù)為,則,,,.(2)若兩個等差數(shù)列,的前項和分別為,,則.等差數(shù)列的基本量為首項和公差,通常利用已知條件及通項公式或前項和公式列方程(組)求解,等差數(shù)列中包含,,,,五個量,可“知三求二”.涉及等差數(shù)列基本量的運算問題其關(guān)鍵是建立首項和公差的等量關(guān)系.若運用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程.判定數(shù)列是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法:證明對任意正整數(shù)都有等于同一個常數(shù).(2)等差中項法:證明對任意正整數(shù)都有.(3)通項公式法:得出后,再根據(jù)定義判定數(shù)列為等差數(shù)列.(4)前項和公式法:得出后,再使用定義法證明數(shù)列為等差數(shù)列.若為等差數(shù)列,,則.因此,若出現(xiàn),,等項,可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與(或其他項)有關(guān)的條件;若求項,可由轉(zhuǎn)化為求,或的值.要注意等差數(shù)列通項公式及前項和公式的靈活應(yīng)用.等差數(shù)列前項和的性質(zhì)常結(jié)合等差數(shù)列項的性質(zhì)求解,此外,當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)時,;當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)時,,∶∶.求等差數(shù)列前項和最值的方法(1)函數(shù)法:利用等差數(shù)列前項和的函數(shù)表達(dá)式,通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解.(2)鄰項變號法:當(dāng)時,滿足的項數(shù)使得取得最大值為;當(dāng)時,滿足的項數(shù)使得取得最小值為.遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時,可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系,建立數(shù)列模型,具體解決時要注意以下兩點:(1)抓住實際問題的特征,明確是什么類型的數(shù)列模型;(2)深入分析題意,確定是求通項公式,或是求前項和,還是求項數(shù).八、等比數(shù)列的有關(guān)概念1.等比數(shù)列一個數(shù)列從第項起,每一項與它的前一項的比等于(不為零),那么這個數(shù)列就叫作等比數(shù)列.這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的,通常用字母表示,定義的表達(dá)式為.

2.等比中項如果成等比數(shù)列,那么叫作與的等比中項.即是與的等比中項成等比數(shù)列?.

由并不能立即斷言為等比數(shù)列，還要驗證.九、等比數(shù)列的有關(guān)公式1.通項公式:.

2.前項和公式:.在運用等比數(shù)列的前項和公式時,要注意對與分類討論,防止因忽略這一特殊情形而導(dǎo)致解題出錯.十、等比數(shù)列的常用性質(zhì)1.通項公式的推廣:.2.若,則.

3.若數(shù)列,(項數(shù)相同)是等比數(shù)列,則,,,,依然是等比數(shù)列.4.在等比數(shù)列中,等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列,即,,,,…為等比數(shù)列,公比為.

5.若公比不為-1的等比數(shù)列的前項和為,則,,仍成等比數(shù)列,其公比為.

6.(單調(diào)性)等比數(shù)列滿足時,是數(shù)列;滿足時,是數(shù)列.等比數(shù)列基本量運算的解題策略(1)等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列知識中的一類基本問題,等比數(shù)列中有五個量,,,,,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解.(2)等比數(shù)列的前項和公式涉及對公比的分類討論:當(dāng)時,的前項和;當(dāng)時,的前項和.等比數(shù)列的判定方法定義法若(為非零常數(shù),)或(為非零常數(shù)且),則是等比數(shù)列中項公式法若數(shù)列中,且,則是等比數(shù)列通項公式法若數(shù)列的通項公式可寫成(,均為非零常數(shù),),則是等比數(shù)列前n項和公式法若數(shù)列的前項和(為非零常數(shù),且),則是等比數(shù)列1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時,要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是“若,則”,可以減少運算量,提高解題速度.2.在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時,要注意性質(zhì)成立的前提條件,有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形.此外,解題時注意設(shè)而不求思想的運用.1.在等比數(shù)列中,設(shè)公比為,所有奇數(shù)項的和與所有偶數(shù)項的和具有如下的性質(zhì):(1)若共有項,則;(2)若共有項,.2.在等比數(shù)列中,表示它的前項和.當(dāng)時,有,,,…也成等比數(shù)列,公比為.本題要討論分別為奇數(shù)和偶數(shù)時,的最值情況,即可求出的最大值,從而確定的最小值.解數(shù)列應(yīng)用題的具體方法步驟(1)認(rèn)真審題,準(zhǔn)確理解題意,理清思路:①明確問題屬于哪類應(yīng)用問題,即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題;是求,還是求;是否為含有遞推關(guān)系的數(shù)列問題.特別要注意項數(shù)是多少.②弄清題目中主要的已知事項.(2)抓住數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法,恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量,將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言,將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá).(3)將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,將已知與所求聯(lián)系起來,列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式.考點一、找規(guī)律求數(shù)列的項或通項1．?dāng)?shù)列，，，，……的通項公式可能是（

）A． B． C． D．2．（2023年江西省模擬數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列1，，2，，4，…，根據(jù)該數(shù)列的規(guī)律，16是該數(shù)列的（

）A．第7項 B．第8項C．第9項 D．第10項3．?dāng)?shù)列的通項公式不能是（

）A． B．C． D．4．根據(jù)下列數(shù)列的前幾項，寫出它的一個通項公式：(1)；(2)．5．如圖所示，第個圖形是由正邊形“擴(kuò)展”而來，其中第1個圖形中共有12個頂點，第2個圖形中共有20個頂點，則第個圖形中共有個頂點．

數(shù)列的一個通項公式為.2．?dāng)?shù)列的第11項是（

）A． B． C． D．3．根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項，寫出該數(shù)列的一個通項公式：①.②1，3，6，10，15，…，.③1，3，3，5，5，7，7，9，9，…，.4．寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)9，99，999，9999.5．根據(jù)下列5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)的變化規(guī)律，可以得出第8個圖有個點.

考點二、由遞推公式求數(shù)列的項或通項1．（2023年江西省質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（文）試題）已知數(shù)列滿足，，則=（

）A．80 B．100 C．120 D．1432．（2023年廣東茂名模擬）設(shè)數(shù)列滿足,且,則（）.A． B．C． D．3．（2023年安徽蚌埠三模）若數(shù)列滿足,且則（）.A．19 B．22 C．43 D．46周期性4．（2023年甘肅省模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，則=（

）A．3 B． C． D．1．（2023年沈陽模擬試題）設(shè)數(shù)列的前項和為,已知,則（）A． B． C． D．2．在數(shù)列中，已知，，則.考點三、根據(jù)與的關(guān)系求通項1．（2023年貴州省文化水平測試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則（

）A．16 B．18 C．20 D．252．（2023年江蘇省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）若是數(shù)列的前n項和，已知，,且，則（

）A． B． C． D．3．（2023年湖北省質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，設(shè)，則數(shù)列的前2023項和為（

）A． B． C． D．（2023年江蘇省模擬數(shù)學(xué)試題）數(shù)列的前項和記為，若，則.2．已知數(shù)列的前項和為，若滿足，則（

）A． B． C． D．3．已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項和為，若恒成立，則實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．考點四、數(shù)列的性質(zhì)1．（2023年海南省學(xué)業(yè)水平診斷數(shù)學(xué)試題）在正項數(shù)列中，，，則（

）A．為遞減數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減2．（2023年上海模擬數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列，下列說法正確的是（

）A．有最大項，但沒有最小項 B．沒有最大項，但有最小項C．既有最大項，又有最小項 D．既沒有最大項，也沒有最小項3．（2023年北京市模擬考試數(shù)學(xué)試題）數(shù)列的通項公式為，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．1．（2023年上海市模擬數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的通項公式為，且為遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．若數(shù)列的前項積，則的最大值與最小值的和為（

）A． B． C．2 D．33．已知數(shù)列滿足，，若對于任意都有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．

考點五、等差數(shù)列的基本量的計算1．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．152．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷））設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，則（）A． B． C． D．3．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ））記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則（）A． B． C． D．1．（2005年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（山東卷））是首項，公差的等差數(shù)列，如果，則序號n等于（

）A．667 B．668 C．669 D．6702．等差數(shù)列的首項為1，公差不為0，若成等比數(shù)列，則前6項的和為（

）A．

B．

C．3

D．83．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷））記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為（）A．1B．2C．4 D．8考點六、判斷等差數(shù)列1．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．2．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3．（2023年廣西聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）已知數(shù)列滿足，其中，則（

）A．1 B． C．2 D．4．已知數(shù)列的前n項和為，滿足，則（

）A．4043 B．4042 C．4041 D．40401．（2023年廣東省二模數(shù)學(xué)試題）記數(shù)列的前項和為，則“”是“為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知數(shù)列滿足，且，，則（

）A． B． C． D．3．已知各項為正的數(shù)列的前n項和為，滿足，則的最小值為（）A．4 B．3 C．22 D．4．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的前10項和（

）A． B． C． D．2考點七、等差數(shù)列的性質(zhì)1．（2020年北京市高考數(shù)學(xué)試卷）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項2．（2022年北京市高考數(shù)學(xué)試題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（

）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．4．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．28 B．32 C．16 D．245．兩個等差數(shù)列和的前項和分別為、，且，則等于（

）A． B． C． D．6．（2023年云南適應(yīng)性月考卷數(shù)學(xué)試題）已知為等差數(shù)列，為的前項和．若，則當(dāng)取最大值時，的值為（

）A． B．4 C． D．1．（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）已知是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．122．已知是等差數(shù)列的前n項和，若a1＝﹣2018，，則S2020等于（

）A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．40403．（2023年廣東省二模數(shù)學(xué)試題）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．0 B． C． D．4．設(shè)等差數(shù)列，的前n項和分別是，，若，則（

）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的前項和為，并且，，若對恒成立，則正整數(shù)的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7考點八、等差數(shù)列的實際應(yīng)用1．（2022年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.92．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊3．（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則（）A．64 B．96 C．128 D．1604．（2023年湖北省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于同余的問題．現(xiàn)有這樣一個問題：將正整數(shù)中能被3除余1且被2除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．55 B．49 C．43 D．371．中國古代的武成王廟是專門祭祀姜太公以及歷代良臣名將的廟宇，這類廟宇的頂部構(gòu)造頗有講究.如圖是某武成王廟頂部的剖面直觀圖，其中，，，且數(shù)列是第二項為的等差數(shù)列.若以為坐標(biāo)原點，以，分別為，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則直線的斜率為（

）A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.552．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則芒種日影長為（

）A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺3．（2023年河北省教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）中國古代許多著名數(shù)學(xué)家對推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，展現(xiàn)了聰明才智.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，所討論的二階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是后項減前項之差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列.現(xiàn)有一個“堆垛”，共50層，第一層2個小球，第二層5個小球，第三層10個小球，第四層17個小球，...，按此規(guī)律，則第50層小球的個數(shù)為（

）A．2400 B．2401 C．2500 D．2501考點九、等比數(shù)列的基本量的計算1．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．402．（2023年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為（

）A．3 B．18 C．54 D．1523．（2022年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．34．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（

）A．12 B．24 C．30 D．321．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（全國Ⅱ卷））等差數(shù)列的公差是2，若成等比數(shù)列，則的前項和（）A． B． C． D．3．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ））已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則（）A．16 B．8 C．4 D．24．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（

）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1考點十、判斷等比數(shù)列1．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ））數(shù)列中，，對任意，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023年河南省聯(lián)考數(shù)學(xué)（文科）試題）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．3．已知數(shù)列的前項和為，則（

）A． B． C． D．4．（2023年貴州省教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前項和（為常數(shù)），則“為等比數(shù)列”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件1．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷））記為數(shù)列的前項和，若，則．2．（2024屆湖北省摸底考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知，，則（

）A．80 B．160 C．121 D．2423．（2023年遼寧省模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列，則“”是“為等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023年上海市模擬數(shù)學(xué)試題）若嚴(yán)格遞增數(shù)列滿足，則首項的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023年廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）已知等比數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．考點十一、等比數(shù)列的性質(zhì)1．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（北京卷））設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2022年北京市高考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結(jié)論：①的第2項小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項．其中所有正確結(jié)論的序號是．3．（2023年貴州省模擬數(shù)學(xué)試題）已知等比數(shù)列的前n項和為．若，則（

）A．13 B．16 C．9 D．121．（2023年北京市模擬數(shù)學(xué)試題）已知是等比數(shù)列，則“，”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知等比數(shù)列的公比為q，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023年上海市模擬數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足：，若對任意的，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.4．（2023年河南省模擬數(shù)學(xué)試題）記等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．6 B．7 C．9 D．10考點十二、等比數(shù)列的實際應(yīng)用1．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（北京卷））“十二平均律”

是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A． B．C． D．2．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷））幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A．440 B．330C．220 D．1103．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)2卷））我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞B．3盞C．5盞 D．9盞4．（2023年西藏質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）試題）分形的數(shù)學(xué)之美，是以簡單的基本圖形，凝聚擴(kuò)散，重復(fù)累加，以迭代的方式而形成的美麗的圖案.自然界中存在著許多令人震撼的天然分形圖案，如鸚鵡螺的殼、蕨類植物的葉子、孔雀的羽毛、菠蘿等.如圖所示，為正方形經(jīng)過多次自相似迭代形成的分形圖形，且相鄰的兩個正方形的對應(yīng)邊所成的角為15°.若從外往里最大的正方形邊長為9，則第3個正方形的邊長為（

）

A．4 B． C．6 D．1．（2023年廣西教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）小華分期付款購買了一款5000元的手機(jī)，每期付款金額相同，每期為一月，購買后每月付款一次，共付6次，購買手機(jī)時不需付款，從下個月這天開始付款.已知月利率為，按復(fù)利計算，則小華每期付款金額約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．764元 B．875元 C．883元 D．1050元2．（2023年四川省模擬理科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，若方程有三個不同的實數(shù)根，且三個根從小到大依次成等比數(shù)列，則實數(shù)的值可能是（

）A． B． C． D．3．（2023年重慶市模擬數(shù)學(xué)試題）斐波那切是意大利13世紀(jì)的數(shù)學(xué)家，其傳世名作為《算盤書》，書中有一個著名的問題：一個人經(jīng)過七道門進(jìn)人果園，摘了若干蘋果．他離開果園時，給第一個守門人一半加1個；給第二個守門人，是余下的一半加1個；對其他五個守門人，也如此這般，最后他帶著1個蘋果離開果園．請問：當(dāng)初他一共摘了（

）A．1522 B．762 C．382 D．1924．（2023年遼寧省模擬數(shù)學(xué)試題）中國古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾.七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢.每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，則該馬第六天走的里程數(shù)約為（

）A．5.51 B．11.02 C．22.05 D．44.095．（2023年遼寧省模擬數(shù)學(xué)試題）康托（Cantor）是十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初德國偉大的數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)立的集合論奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間［0，1］均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，當(dāng)記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作：…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”．若使“康托三分集”的各區(qū)間長度之和小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．6 B．8 C．10 D．12考點十三、斐波那契數(shù)列1．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，…，該數(shù)列的特點是前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．2．（2023年貴州省模擬數(shù)學(xué)試題）“斐波那契數(shù)列”由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多－斐波那契發(fā)現(xiàn)，因為斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱該數(shù)列為“兔子數(shù)列”．已知數(shù)列為“斐波那契數(shù)列”且滿足：，，，則（

）A．12 B．16 C．24 D．393．（2024屆浙江省名校適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）意大利著名數(shù)學(xué)家萊昂納多．斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它的前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)稱為“斐波那契數(shù)列”．同時，隨著趨于無窮大，其前一項與后一項的比值越來越逼近黃金分割，因此又稱“黃金分割數(shù)列”，記斐波那契數(shù)列為，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．1．（2023年河南省模擬數(shù)學(xué)試題）“斐波那契”數(shù)列由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，．已知數(shù)列為“斐波那契”數(shù)列，為數(shù)列前項的和，若，則（

）A． B． C． D．2．（2023年遼寧省模擬數(shù)學(xué)試題）若數(shù)列滿足，，，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用.則下列結(jié)論不成立的是（

）A． B．C． D．3．“斐波那契數(shù)列”由意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契（LeonardoFibonacci，約-）在《算盤全書》中提出，它在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、生物、交通、化學(xué)等領(lǐng)域都有直接的應(yīng)用．已知斐波那契數(shù)列滿足：，，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．考點十四、數(shù)列在實際情景中的應(yīng)用1．（2023年上海模擬數(shù)學(xué)試題）平面螺旋是以一個固定點開始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖（1）.它的畫法是這樣的：正方形的邊長為4，取正方形各邊的四等分點作第二個正方形，然后再取正方形各邊的四等分點作第三個正方形，以此方法一直循環(huán)下去，就可得到陰影部分圖案，設(shè)正方形邊長為，后續(xù)各正方形邊長依次為；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，.則下列判斷中不正確的是（

）

A．?dāng)?shù)列是以4為首項，為公比的等比數(shù)列B．從正方形開始，連續(xù)3個正方形的面積之和為32C．使得不等式成立的的最大值為D．?dāng)?shù)列的前項和2．（2023年廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，…，我國宋元時期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”錐垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示，頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球…），若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛球的總個數(shù)為（

）（參考公式：）A．1450 B．1490 C．1540 D．15801．（2024屆山西省學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題）分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，按照如圖1的分形規(guī)律可得知圖2的一個樹形圖，記圖2中第行黑圈的個數(shù)為，白圈的個數(shù)為，若，則（

）

A．34 B．35 C．88 D．892．如圖，作一個白色的正三角形，第一次操作為：挖去正三角形的“中心三角形”（即以原三角形各邊中點為頂點的三角形），這樣就得到了三個更小的白色三角形；第二次操作為：挖去第一次操作后得到的所有白色三角形的“中心三角形”；以此類推，第次操作為：挖去第次操作后得到的所有白色三角形的“中心三角形”，得到一系列更小的白色三角形．這些白色三角形構(gòu)成的圖案在“分形幾何學(xué)”中被稱為“謝賓斯基三角形”，記第次操作后，“謝賓斯基三角形”所包含的白色小三角形的數(shù)目為，“謝賓斯基三角形”的面積（所有白色小三角形的面積和）為，周長（所有白色小三角形的周長和）為．

(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若最初的白色正三角形的周長為1，求數(shù)列和的通項公式．3．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖（a）~（d）為她們的刺繡中最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)量越多，刺繡越漂亮．現(xiàn)按相同的規(guī)律刺繡（小正方形擺放的規(guī)律相同），設(shè)第n個圖形包含個小正方形．則；的表達(dá)式為．

【基礎(chǔ)過關(guān)】1．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．63 B．36 C．45 D．272．（2015年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅱ））設(shè)是等差數(shù)列的前項和,若,則（）A． B． C． D．3．（2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷））設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）A．3 B．4 C．5 D．64．已知數(shù)列、都是等差數(shù)列，設(shè)的前項和為，的前項和為.若，則（

）A． B． C． D．5．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，是方程的兩根，則數(shù)列的前20項和為（

）A． B． C．15 D．306．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值是（

）A． B．1 C．2 D．47．設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，且滿足，.則當(dāng)取得最小值時，n的值為（

）A．3 B．6 C．9 D．128．（2023年安徽省模擬測試數(shù)學(xué)試題）設(shè)等差數(shù)列{}的前n項和為，若，則當(dāng)取得最大值時，＝（

）A．8 B．9 C．10 D．119．《九章算術(shù)》是我國秦漢時期一部杰出的數(shù)學(xué)著作，書中第三章“衰分”有如下問題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何?”意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增等差數(shù)列，這5個人各出多少錢?”在這個問題中，若不更出17錢，則公士出的錢數(shù)為（

）A．10 B．14 C．23 D．2610．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．11．（2015年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅱ））已知等比數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．12．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若，則S5=