專題08導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（核心考點精講精練）1.近幾年真題考點分布導(dǎo)數(shù)的概念、運算及簡單應(yīng)用近幾年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2022年全國乙（理科），第21題,12分求切線方程根據(jù)零點求參分類討論思想2022年全國乙（理科），第16題,5分求切線，根據(jù)極值點求參2022年全國甲（理科），第21題,12分函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)取值范圍雙變量問題、極值點偏移問題2022年全國甲（理科），第6題,5分求某點處的導(dǎo)函數(shù)值已知最值求參2023年全國甲（文科），第8題,5分求切線方程2023年全國乙（文科），第8題,5分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點2023年全國甲（理科），第21題,12分1、判斷函數(shù)的單調(diào)性2、函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)取值范圍三角函數(shù)2023年全國乙（理科），第21題,12分1、求切線方程2、根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求參根據(jù)極值求參數(shù)取值范圍2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.本節(jié)內(nèi)容為高考必考內(nèi)容，各種題型都有涉及，且多年來均出現(xiàn)解答題壓軸位置；2.?？碱}型：求一點處的切線；判斷函數(shù)的單調(diào)性；判斷函數(shù)的極值和最值；通過導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的零點等；解答題常有：函數(shù)不等式恒成立求參、極值點偏移、隱零點、雙變量、數(shù)列不等式、與三角函數(shù)的綜合問題等?！緜淇疾呗浴?.了解導(dǎo)數(shù)的概念,掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2.通過函數(shù)圖象,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡單的復(fù)合函數(shù)(形如f(ax+b))的導(dǎo)數(shù)；4.利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；5.利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的極值與最值；6.利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的零點；7.利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題。【命題預(yù)測】1.求一點處的切線問題；通過導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（含參與不含參）；2.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的極值和最值、通過極值、最值求參；通過導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的零點；3.通過導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的零點問題；4.根據(jù)函數(shù)不等式恒成立問題求參、極值點偏移、隱零點、雙變量、數(shù)列不等式、與三角函數(shù)的綜合問題等知識講解一、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．二、導(dǎo)數(shù)中分離參數(shù)問題分離參數(shù)法基本步驟為：第一步：首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式，第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用導(dǎo)函數(shù)或基本不等式進行求解.第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結(jié)論.三、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題1、導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為.2、本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故.3、對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．四、利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列不等式問題利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).五、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：（1）直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍；（2）分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）；②，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）；③，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）.六、利用導(dǎo)數(shù)研究隱零點問題1、隱零點是指一個函數(shù)在某個區(qū)間上有一個零點，但是這個零點具體等于多少卻無法計算。隱零點問題指的是一個函數(shù)的零點存在但無法直接求解出來的問題。2、隱零點問題的8種解決策略如下

（1）直接觀察

（2）虛設(shè)零點

（3）分類討論

（4）拆分函數(shù)

（5）等價轉(zhuǎn)化

（6）降次代換

（7）巧妙放縮

（8）反客為主

這些解決策略可以幫助我們解決導(dǎo)函數(shù)存在隱零點的情況，其中包括形式上虛設(shè)、運算上代換、數(shù)值上估算、策略上等價轉(zhuǎn)化、方法上分離函數(shù)(參數(shù))、技巧上反客為主等方法。通過這些方法，我們可以更好地解決隱零點問題。七、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題關(guān)于同一函數(shù)中的兩個變量的問題，又可以分成兩類題型，一是求參數(shù)取值范圍類問題，二是沒有參數(shù)的雙變量證明問題，這兩類題型在解法上不同，但是思想上均為構(gòu)造函數(shù)的范疇。

方法一：構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為單調(diào)性問題

在高中數(shù)學基礎(chǔ)概念里面涉及雙變量的有兩個地方，一是函數(shù)專題中關(guān)于單調(diào)性的介紹，而是雙參數(shù)引出導(dǎo)數(shù)的概念，由于導(dǎo)數(shù)概念僅作為理解的參考，因此我們解決很多雙變量問題的時候用到最多的是單調(diào)性：

如果讓證明，我們可以構(gòu)造函數(shù)，并且令，若能判斷出函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，則根據(jù)同增異減原則就可以證明出，這是解決問題最基礎(chǔ)最核心的東西。

若證明，同理我們可以根據(jù)單調(diào)性同增異減，構(gòu)造新函數(shù)，若令，若能證明出是增函數(shù)，則也能得證，因此此類問題的關(guān)鍵在于能夠構(gòu)造出所需要的函數(shù)并且能證明的出來單調(diào)性。

解讀：注意分子正負未定，因此做題之前要人為設(shè)定出兩變量的大小，變成多項式之后就能看出需要構(gòu)造的函數(shù)。

總結(jié)：無論是證明題還是求參數(shù)范圍問題，解題思路均相同，設(shè)定兩個未知量的大小關(guān)系，然后構(gòu)造出所需要的函數(shù)，進而使用單調(diào)性來判斷不等式成立或?qū)握{(diào)性轉(zhuǎn)化為參數(shù)恒成立問題。

方法二：構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題

如果函數(shù)無法用單調(diào)性來求解，則兩個變量顯然不能直接求最值，因此最常見的做法是找兩個變量之間的關(guān)系，然后將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量即可，另外還有一種可以轉(zhuǎn)化為單變量的方法就是雖不知道兩變量之間的關(guān)系，但是可以試著用其中一個變量作為自變量而另外一個變量作為常數(shù)來用，這樣題目也可以轉(zhuǎn)化為單變量問題，另外也可以試著將兩個變量的和或商作為一個新的變量，方法大致有三種，如下：

類型一：可以找到兩個未知量的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為一個變量。

類型二：可將兩變量的和，差，積，商作為一個整體設(shè)為新變量的。

類型三：將雙變量指定主變量

雙變量指定主變量即把其中一個設(shè)為自變量，另外一個看成常數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)就可以將雙變量函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)。

解讀：至于把誰看作自變量都可，題目轉(zhuǎn)化為恒成立問題，即新函數(shù)的最小值大于零即可，這里需要注意將其中一個變量設(shè)為自變量，另外一個設(shè)為常數(shù)之后需要注意新的自變量的取值范圍。八、利用導(dǎo)數(shù)研究極值點偏移問題1、極值點偏移是指函數(shù)在極值點左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)的圖像不具有對稱性。2、極值點偏移問題包括含參數(shù)的和不含參數(shù)的兩種情況。（1）對于含參數(shù)的情況，可以通過消去參數(shù)或構(gòu)造新函數(shù)來轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的問題。常用的解法有換元、構(gòu)造、化齊次、使用對數(shù)平均不等式和構(gòu)造對稱函數(shù)等方法。其中，構(gòu)造對稱函數(shù)是最常用的方法之一，可以從指數(shù)或?qū)?shù)的角度出發(fā)，利用單調(diào)性來解決問題。（2）對于不含參數(shù)的情況，可以通過求導(dǎo)數(shù)方程的根來求得極值點，并判斷其是否在定義域內(nèi)。同時，需要注意端點位置的點，以及比較各值的函數(shù)值的大小來確定最大值和最小值3、證明極值點偏移的相關(guān)問題，一般有以下幾種方法：（1）證明（或）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個零點，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；（2）證明（或）（、都為正數(shù)）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個零點，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；（3）應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到；③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.九、導(dǎo)數(shù)在情景中的運用1、利潤最大問題2、面積、體積最大問題3、成本最小問題4、用料最省問題考點一、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1．已知函數(shù)，證明：.【答案】證明見解析【分析】由得

設(shè)，可證明，從而可得結(jié)論；【詳解】由得：

設(shè)，因為，函數(shù)的定義域為.所以時，，在單調(diào)遞減；時，，在單調(diào)遞增.故，從而

即.2．已知函數(shù)，當時，證明：.【答案】(1)證明見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)求出的最小值，與的最大值比較可證不等式成立；【詳解】（1）當時，，，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，當且僅當時，等號成立，而當時，，當且時，，所以.3．已知函數(shù)，，設(shè)函數(shù)，證明：的圖象在的圖象的上方．【答案】證明見解析【分析】令，，將問題轉(zhuǎn)化為證明對任意的，恒成立，等價于證明當，的最小值大于零，然后利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可.【詳解】令，，證明的圖象在圖象的上方，等價于證明對任意的，恒成立，等價于證明當，的最小值大于零．由，得，，令，則，且當時，．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為，，所以在區(qū)間上存在唯一零點，所以，即．當時，，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．因為，且，所以．因為，所以．故．所以．故對任意的，恒成立，即的圖象在圖象的上方．1．設(shè)函數(shù)，，求證：．【答案】證明見解析【分析】作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可；【詳解】（1）設(shè)，，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，即.2．函數(shù)，，當時，證明：．【答案】證明見解析【分析】當時求出函數(shù)解析式，即可求出導(dǎo)函數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最小值，即可得證；【詳解】當時，則，所以當時，當時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以在處取得極小值即最小值，即，所以恒成立.3．設(shè)函數(shù)，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，若，求證：．【答案】證明見詳解【分析】分析可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點存在性定理以及隱零點問題可得，進而可得結(jié)果.【詳解】因為，，可得，構(gòu)建，可知的定義域為，且，構(gòu)建，可知的定義域為，且，因為在內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一零點，當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞減；當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞增；且，所以在內(nèi)存在兩個零點，且，當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞增；當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞減；且x趨近于0時，趨近于，又因為，即，可得，構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，且，即，所以在內(nèi)恒成立，故，即.

考點二、導(dǎo)數(shù)中的分離參數(shù)1．已知函數(shù)，設(shè)，若在區(qū)間內(nèi)恒成立，求k的最小值．【答案】1【分析】設(shè)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在區(qū)間求解函數(shù)的最值，推出k的最小值．【詳解】設(shè)，若在區(qū)間內(nèi)恒成立，即：，令，可得，當時，，函數(shù)是增函數(shù)，當時，，函數(shù)是減函數(shù)，所以時，函數(shù)取得最大值：，可得，k的最小值為1．2．（2023·山東省德州市名校模擬）任給兩個正數(shù)x，y，使得不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先參變分離為，再構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，即可求解.【詳解】不等式恒成立，整理為恒成立，設(shè)，，，令，得，當，，當，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的最小值，所以，得.3．（2023·北京市名校模擬）已知函數(shù)，若存在，使，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將題意轉(zhuǎn)化為，，令，即，對求導(dǎo)，求出在的最大值即可得出答案.【詳解】若存在，使，即，所以，令，，，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以所以.1．已知，且恒成立，則k的值不可以是（

）A．－2 B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】先對不等式變形得，發(fā)現(xiàn)是與雙變量之間的關(guān)系，然后再根據(jù)已知的等式把雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，從而構(gòu)造新函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最小值即可得出結(jié)果.【詳解】由知，，，令，則，令，則，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以存在使得，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以可取，2．已知函數(shù)，若，求c的取值范圍.【答案】【分析】，求出的最大值即可.【詳解】函數(shù)的定義域為：，，設(shè)，則有，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增.所以當時，函數(shù)有最大值，即，要不等式在上恒成立，只需.3．若在上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將不等式變形為，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，即原不等式可等價于，在任意上恒成立，再利用導(dǎo)函數(shù)求出在上的最小值即可.【詳解】因為，所以，記，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，即原不等式等價于，在任意上恒成立，所以等價于，在任意上恒成立，記，，則，令，解得，當時，，當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，【點睛】易錯點點睛：本題在化簡不等式時，一定注意到在區(qū)間上有意義，必有.考點三、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題1．（2023·江蘇省蘇州名校模擬）已知函數(shù)，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】將恒成立問題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得單調(diào)性，結(jié)合對的討論即可求解.【詳解】即，令，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以，又當時，時，，所以(i)若，不等式恒成立;(ii)若，不等式等價于，因為，所以，故，(iii)若，不等式等價于，因為沒有最大值，所以不存在的值，使得不等式恒成立;綜上，實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2．（2023·甘肅省寧夏回族自治州名校模擬）設(shè)函數(shù)，．若當時，恒成立，求的取值范圍．【答案】.【分析】作差構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后分三種情況①，②，③，討論求解即可得解.【詳解】（2）設(shè)，當時，，即恒成立，，當時，因為，，，所以，在上為增函數(shù)，恒成立，當時，設(shè)，，若，即時，因為，所以，在上為增函數(shù)，，即在上恒成立，故在上為增函數(shù)，所以恒成立，若，即時，令，得，則在上為減函數(shù)，所以當時，，即，在上為減函數(shù)，可得，不符合題意.綜上所述：.3．（2023·河北省石家莊名校模擬）已知函數(shù)，若恒成立，求的取值范圍.【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，對參數(shù)進行分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；【詳解】，可得.令，其中，則.①當時，，合乎題意；②當時，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，所以，，所以，不恒成立，不合乎題意；③當時，，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以可得，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；1．設(shè)，，．證明：當時，恒成立．【答案】證明見解析【分析】構(gòu)造函數(shù)，分類討論實數(shù)的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進而得到函數(shù)在區(qū)間上的最值，只需證明即可.【詳解】設(shè)，若證成立，即證，，，當時，，所以，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以恒成立．當時，，令，則對稱軸為直線，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，取最小值，所以，所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以恒成立，綜上：當時，恒成立．即恒成立．2．已知函數(shù)若不等式對一切恒成立，則正整數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將不等式整理為，由此構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，即恒成立；令，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求得其恒大于0時m的范圍，即得答案.【詳解】由題意不等式對一切恒成立，即對一切恒成立，令，則，當時，；當時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則需恒成立；令，當時，，當時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當時，，取，（），取，即在存在唯一的零點，且，故時，，時，，故正整數(shù)的最大值為7，【點睛】方法點睛：關(guān)于不等式恒成立求參數(shù)的范圍問題，一般解決方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即將不等式整理，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值；另外有時也可以參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解決.3．已知函數(shù)（）．當時，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】【分析】先由時，，得.再驗證當時，不等式在上恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)，得其導(dǎo)函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得解.【詳解】因為當時，不等式恒成立，所以，所以，所以要證，只需證，即證．構(gòu)建函數(shù)，，所以，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減．所以當時，函數(shù)取得極大值．因為，所以，所以當時，，所以當時，不等式恒成立．綜上所述，的取值范圍為．考點四、利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列不等式1．（2023·河南省南陽市名校模擬）已知，證明：時，.【答案】證明見解析【分析】由題知，從而，，，…，，相加即可得證.【詳解】由題意知，的定義域為，，令，解得：令，解得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，所以，當且僅當時等號成立，所以，，，…，，所以.2．已知函數(shù)，對任意的，求證：.【答案】證明見解析.【分析】由題意得，求導(dǎo)后可判斷在上遞增，則，令（），則，（），然后利用累加法可證得結(jié)論.【詳解】，則，當時，，所以在上遞增，所以，所以，所以，令（），則（），即（），所以，（），所以，即，同理得，，…，，所以，所以.【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上遞增，則可得，然后令，轉(zhuǎn)化為，（），再給依次增加1，得到個不等式相加可得結(jié)論，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題.3．（2023·廣東省廣州市名校模擬）已知函數(shù)，證明：對任意的且，都有：.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)得，結(jié)合放縮法和累加法即可證明.【詳解】令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，（當且僅當時等號成立），令，，則，所以，即，所以.【點睛】方法點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性，以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，以及數(shù)列和導(dǎo)數(shù)的綜合，要善于運用轉(zhuǎn)化法，整體代換轉(zhuǎn)化進行放縮證明不等式.1．設(shè)在上恒成立，證明：當時，．【答案】證明見解析【分析】，令，，令，化簡得到，進而證得結(jié)論.【詳解】在上恒成立，當且僅當時，等號成立，因為，令，代入得到，即，且，令，，即，代入化簡得到，所以成立．2．已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求的值；(2)證明：（且）.【答案】(1)1；(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)給定條件可得恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)分類討論求解作答.（2）利用（1）的結(jié)論得當時，，取，利用不等式的性質(zhì)結(jié)合裂項相消法求和作答.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，由于函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則恒成立，令，則，當時，，當時，，不滿足條件；當時，，在R上單調(diào)遞增，又，即，不滿足條件；當時，令，得，則當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，于是當時，取得最小值，于是，即，令，則，當時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，則，由于恒成立，因此，則有，所以單調(diào)遞增時，的值為1.（2）由（1）知，當時，，即有，當且僅當時取等號，即當時，，因此當且時，，而當時，，所以，則，所以，.【點睛】關(guān)鍵點睛：函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，結(jié)合已知，利用換元法構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合的思想推理求解.3．已知函數(shù)，當時，證明：.【答案】證明見解析【分析】時，，結(jié)合，可得，再利用不等式進行適度放縮，結(jié)合裂項求和，即可證明.【詳解】當時，，所以.令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，即，所以.令，得，即，所以.當時，，則，顯然，結(jié)論成立；當時，，結(jié)論成立.因此，當時，成立.【點睛】思路點睛：本題第二小問考查的是證明不等式，綜合了導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的知識，基本方法應(yīng)使用不等式適度放縮，使得左邊的和能求出，進而得出結(jié)果.考點五、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點1．（2023·陜西省榆林市名校模擬）已知函數(shù)的圖象與軸有且僅有兩個交點，則實數(shù)的值是（

）A． B． C．-1 D．0【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性結(jié)合交點個數(shù)列方程求解.【詳解】，，當時，，單調(diào)遞增，至多與軸有一個交點，故不符合題意；當時，由可得，所以或時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以函數(shù)的圖象與軸有且僅有兩個交點，則需要或，如圖，

因為，所以，解得.2．（2023·四川省眉山市名校模擬）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，當時，求函數(shù)零點個數(shù)．【答案】2.【分析】把代入，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)最小值，再借助零點存在性定理求解作答.【詳解】當時，，，求導(dǎo)得，當時，，則，當時，，則，當時，函數(shù)都遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，因此存在，使得，當時，，當時，，從而當時，，當時，，即有函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，而，于是函數(shù)在，各存在一個零點，所以函數(shù)零點個數(shù)是2.【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)零點個數(shù)問題，可以利用導(dǎo)數(shù)分段討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.3．（2023·湖南省名校模擬）已知函數(shù)，若方程有3個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與有三個不同的交點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從而結(jié)合圖象即可求得實數(shù)的范圍；【詳解】令，即得，即方程有三個零點，即直線與曲線有三個不同的交點，可得，所以當或時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，有極小值為，當時，有極大值為，當時，，且當時，，所以作出函數(shù)的圖象如圖所示，所以數(shù)形結(jié)合可知，即實數(shù)的取值范圍為.

1．已知函數(shù)，，當時，判斷的零點個數(shù).【答案】的零點個數(shù)為0【分析】求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，即可由單調(diào)性求解最值，進而可判斷，【詳解】當時，，則，

當，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，

所以的零點個數(shù)為0.2．給定函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)與方程的思想將函數(shù)恰有兩個零點轉(zhuǎn)化成函數(shù)與函數(shù)圖象有兩個交點，畫出圖像數(shù)形結(jié)合即可得.【詳解】若函數(shù)恰有兩個零點，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，即函數(shù)與函數(shù)圖象有兩個交點，易知，令，解得，所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在取得最小值，易知當時，，且時，在同一坐標系下分別畫出兩函數(shù)圖象，如下圖所示：

由圖可知當時，函數(shù)與函數(shù)圖象有兩個交點.3．已知函數(shù)，若存在零點，求a的取值范圍．【答案】．【分析】解法1：令，可得，令函數(shù)，求得，令，求得在上單調(diào)遞增，得到的單調(diào)性，進而求得實數(shù)a的取值范圍；解法2：求得，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有唯一正根，設(shè)的唯一正根為m，求得的單調(diào)性，得到，設(shè)，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.【詳解】解法1：令，可得，令函數(shù)，可得．令函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以當時，；當時，，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．當時，；當時，，因為存在零點，所以，故實數(shù)a的取值范圍為．解法2：由函數(shù)，可得，由，可得，其判別式，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知，關(guān)于x的方程有唯一正根，設(shè)的唯一正根為m，則有，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當時，；當時，．因為存在零點，所以，設(shè)，則，則，所以在上是增函數(shù)，所以，即，由，可得，由，得，故a的取值范圍為．考點六、利用導(dǎo)數(shù)研究隱零點問題1．（2023·河北省滄州市名校模擬）已知函數(shù)，當時，證明：不等式恒成立．【答案】證明見解析【分析】依題意恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，只需證明即可.【詳解】當時，則不等式恒成立，即恒成立，令，，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一實數(shù)使得，所以當時，即，所以在上單調(diào)遞減，當時，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，又，即，所以，則，所以，令，，則,所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以恒成立，即不等式恒成立.2．（2023·貴州省銅仁市名校模擬）已知函數(shù)，若恒成立，求的取值范圍．【答案】【分析】當，取判斷不成立；當時，三次求導(dǎo)結(jié)合隱零點進行判斷不成立；當時，，可得，即.【詳解】（1）當時，，可得.（I），所以在處的切線方程為，即.（II），設(shè)，則單調(diào)遞增，所以，即，所以當時，單調(diào)遞增.（2）設(shè)，由題意恒成立.①當時，不恒成立，不合題意；②當時，設(shè)，，，，，設(shè)，，，單調(diào)遞增，由零點存在定理得，使得.在上，，即，所以在上單調(diào)遞減，，不恒成立，不合題意；③當時，，則，當時，，即，則，所以當時，單調(diào)遞增.可得：，即，所以.綜上，的取值范圍為．3．（2019·新課標Ⅰ高考真題（文科））已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后，設(shè)為進行再次求導(dǎo)，可判斷出當時，，當時，，從而得到單調(diào)性，由零點存在定理可判斷出唯一零點所處的位置，證得結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，通過二次求導(dǎo)可判斷出，；分別在，，和的情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷單調(diào)性，從而確定恒成立時的取值范圍.【詳解】（1）令，則當時，令，解得：當時，；當時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減又，，即當時，，此時無零點，即無零點

，使得又在上單調(diào)遞減

為，即在上的唯一零點綜上所述：在區(qū)間存在唯一零點（2）若時，，即恒成立令，則，由（1）可知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減且，，，①當時，，即在上恒成立在上單調(diào)遞增，即，此時恒成立②當時，，，，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，在上恒成立，即恒成立③當時，，，使得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增時，，可知不恒成立④當時，在上單調(diào)遞減

，

可知不恒成立綜上所述：【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)零點個數(shù)、根據(jù)恒成立的不等式求解參數(shù)范圍的問題.對于此類端點值恰為恒成立不等式取等的值的問題，通常采用構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)變成函數(shù)最值與零之間的比較，進而通過導(dǎo)函數(shù)的正負來確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而得到最值.1．已知函數(shù)，證明：當時，．【答案】證明見解析.【分析】隱零點討論，證得結(jié)果.【詳解】因為，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．設(shè)，當時，，當時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增且，所以．設(shè)，則．所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故，即成立．2．設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間(2)若，k為整數(shù)，且當時，求k的最大值【答案】(1)答案見解析；(2)2【分析】(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于函數(shù)中含有字母，故應(yīng)按照的取值范圍進行分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，給出單調(diào)區(qū)間.(2)由題設(shè)條件結(jié)合(1)，將不等式成立轉(zhuǎn)化為，由此將轉(zhuǎn)化為求在給定區(qū)間的最值問題.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，時，，當，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由于，所以，故當，，等價于令，①，則，由(1)可知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以在存在唯一零點，故在存在唯一零點，設(shè)此零點為，則有，當時，，當時，，所以在上的最小時為，又由，可得，所以，由于①等價于，故整數(shù)的最大值為2.【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．3．設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點的個數(shù)；（Ⅱ）證明：當時.【答案】（Ⅰ）當時，沒有零點；當時，存在唯一零點.（Ⅱ）見解析【詳解】試題分析：（Ⅰ）先求出導(dǎo)函數(shù)，分與考慮的單調(diào)性及性質(zhì)，即可判斷出零點個數(shù)；（Ⅱ）由（Ⅰ）可設(shè)在的唯一零點為，根據(jù)的正負，即可判定函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求出函數(shù)的最小值，即可證明其最小值不小于，即證明了所證不等式.試題解析：（Ⅰ）的定義域為，.當時,，沒有零點；當時，因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當b滿足且時，,故當時，存在唯一零點.（Ⅱ）由（Ⅰ），可設(shè)在的唯一零點為，當時，;當時，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當時，.考點：常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運算法則；函數(shù)的零點；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像與性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；運算求解能力.考點七、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題1．（2023·黑龍江省哈爾濱市名校模擬）已知，函數(shù)，當時，若，求證：.【答案】見解析【分析】首先將函數(shù)零點代入函數(shù)，變形為，不等式轉(zhuǎn)化為，再利用換元，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立，即可證明.【詳解】當時，，由題意可知，，兩式相減得，整理為，要證明，即證明，不妨設(shè)，即證明，即，設(shè)，即證明，設(shè)，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且，即在區(qū)間恒成立，即,即，得證.2．（上海師范大學附屬外國語中學2023屆試題）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個不同的極值點、、，且，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】【分析】首先根據(jù)有個不同的極值點求得的一個范圍，然后化簡不等式，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【詳解】，設(shè)曲線圖象上任意一點，所以曲線在點處的切線方程為，將代入得，故切點為，過的切線方程為，所以直線和曲線相切，并且切點坐標為，所以當且僅當時，方程有兩個不相等的實根，，并且，從而當時，有三個極值點，，，并且，，，取對數(shù)知：，，即，，則．構(gòu)造，在時恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，從而的解為，綜上所述．3．（2023·福建省福州名校模擬）已知函數(shù)，若，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，設(shè)、且，結(jié)合圖象得，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)得，結(jié)合變形、基本不等式，即可判斷各項正誤.【詳解】，則，令，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，在上，且，，，即.綜上，的圖象如下：結(jié)合，，令，如上圖，若且，則，則不一定成立，A錯誤；又，故，則不一定成立，B錯誤；令，則，當時，，得，則；當時，，得，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，所以在R上恒成立，得，即，又，所以，由，且函數(shù)在單調(diào)遞減，得，即，D正確.又，則，即，故，C錯誤.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：先由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式；進而巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值；最后回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.1．已知函數(shù)，對任意，存在，使，則的最小值為（

）．A．1 B．C． D．【答案】D【分析】令，將都用表示，從而可將構(gòu)造出關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】解：由題意，令，則，，所以，，，令，所以，令，得，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，有最小值，即的最小值為.2．已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個不同的零點，，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可得，，，顯然，，令，設(shè)，則，依題意只需證明，即證，即證，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證.【詳解】（1）定義域為，且，當時，，在上單調(diào)遞減．當時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）因為，是函數(shù)的兩個不同的零點，所以，，，顯然，，因為，，所以，，即，，所以．不妨令，設(shè)，則，，所以，．又，所以要證，只需證，即．因為，所以只要證，即，即．令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以．3．已知函數(shù)（a為常數(shù)），設(shè)函數(shù)的兩個極值點分別為，（），求的范圍．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個不相等的極值點得到，故，變形得到函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到的值域為，得到答案.【詳解】若在定義域內(nèi)有兩個極值點，則是方程，即的兩個不相等的實數(shù)根，從而得到，即，又，故，，令，則，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的值域為，所以的范圍是.考點八、利用導(dǎo)數(shù)研究極值點偏移問題1．（2023·廣東省廣州市名校模擬）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實根，求證：；【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)和分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由可得，是方程的兩不等實根，從而可將問題轉(zhuǎn)化為是方程的兩不等實根，即可得到和的范圍，原不等式等價于，即極值點偏移問題，根據(jù)對稱化構(gòu)造（解法1）或?qū)?shù)均值不等式（解法2）等方法即可證出．【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域為.由得：，當時，在上單調(diào)遞增；當時，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因為是方程的兩不等實根，，即是方程的兩不等實根，令，則，即是方程的兩不等實根.令，則，所以在上遞增，在上遞減，，當時，；當時，且.所以0，即0.令，要證，只需證，解法1（對稱化構(gòu)造）：令，則，令，則，所以在上遞增，，所以h，所以，所以，所以，即，所以.解法2（對數(shù)均值不等式）：先證，令，只需證，只需證，令，所以在上單調(diào)遞減，所以.因為，所以，所以，即，所以.【點睛】方法點睛：本題第二問解題關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化，將問題變成熟悉的極值點偏移問題，從而根據(jù)對稱化構(gòu)造及對數(shù)均值不等式等方法證出．2．（新疆維吾爾自治區(qū)名校模擬）已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若有兩個極值點，求的取值范圍；(2)記有兩個極值點為、，試證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）求得，令，分析可知有個變號零點，對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的不等式，解之即可；（2）欲證，即證，由已知條件得出，令，解得，，將所證不等式變形為，然后令，其中，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.【詳解】（1）解：因為，，，設(shè)，則，若有兩個極值點，則有個變號零點．當時，，在上遞增，至多有一個零點，不符合題意，舍去；當時，令，解得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，若使得有個變號零點，則，即，即，解得，此時，，，令，其中，所以，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，故，由零點存在定理可知，函數(shù)在、上各有一個變號的零點，設(shè)函數(shù)在、上的零點分別為、，當或時，；當時，.此時函數(shù)有兩個極值點，合乎題意.綜上所述，.（2）證明：欲證，即證，由于、為的零點，則，可得，令，則，解得，，所以只需證明：，即證：，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，即得證，故.3．（2023·河北省石家莊名校模擬）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點、，證明.【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)證明見解析【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）設(shè)，由（1）可得，先證，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可證得成立；其次證明出，令，則，將所證不等式變形為即證，令，，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可證得，綜合可得結(jié)論.【詳解】（1）解：因為的定義域為，則，令，解得，令，解得，所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（2）證明：不妨設(shè)，由（1）知：必有.要證，即證，即證，又，即證.令，其中，則，令，則在時恒成立，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以；接下來證明，令，則，又，即，所以，要證，即證，有，不等式兩邊取對數(shù)，即證，即證，即證，令，，則，令，其中，則，所以，在上單調(diào)遞增，則當時，，故當時，可得函數(shù)單調(diào)遞增，可得，即，所以，綜上，.1．已知函數(shù)，若，，，證明：．【答案】證明見解析【分析】將已知不等式化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，易知時成立，當時，采用分析法可知只需證得即可，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可說明，由此可得結(jié)論.【詳解】由得：，令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；由得：；，，當時，由得：，；當時，要證，只需證，，，則只需證，又，只需證；令，，則，在上單調(diào)遞減，，，即，即得證，；綜上所述：成立.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題證明不等式的關(guān)鍵是能夠采用同構(gòu)法將所給不等式化為的形式，結(jié)合極值點偏移的分析思想將問題轉(zhuǎn)化為證明，從而通過構(gòu)造函數(shù)來進行證明.2．已知，若存在，，使，求證：．【答案】證明見解析【分析】）由可得（*），通過證明單調(diào)遞增，（*）轉(zhuǎn)化為，接著證明成立，即可求解【詳解】；由知，整理得，（*），不妨令，則，故在上單調(diào)遞增，當時，有，即，那么，因此，（*）即轉(zhuǎn)化為，接下來證明，等價于證明，不妨令（），建構(gòu)新函數(shù)，，則在上單調(diào)遞減，所以，故即得證，由不等式的傳遞性知，即．【點睛】思路點睛：應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到；③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.3．已知函數(shù)，a為實數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在處取得極值，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，證明：．【答案】(1)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負即可確定的單調(diào)區(qū)間，（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得的單調(diào)性，即可證明，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，利用單調(diào)性即可求證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，令，所以，得，當，，當，，故函數(shù)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）因為函數(shù)在處取得極值，所以，得，所以，得，令，因為，當時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且當時,,當時,,故.

先證，需證.因為，下面證明.設(shè),則,故在上為增函數(shù),故,所以,則,所以,即得，下面證明：令，當時，所以成立,所以，所以.當時，記,所以時，所以為減函數(shù)得,所以,即得.所以得證，綜上，.【點睛】思路點睛：求某點處的切線方程較為簡單，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時，如果求導(dǎo)后的正負不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時，常采用兩種思路：求直接求最值和等價轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.考點九、導(dǎo)數(shù)在情景中的應(yīng)用1．現(xiàn)有一個帳篷，它下部分的形狀是高為的正六棱柱，上部分的形狀是側(cè)棱長為的正六棱錐（如圖所示）當帳篷的體積最大時，帳篷的頂點O到底面中心的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)為，則，根據(jù)題意，可得正六邊形的面積為S的表達式，進而可得帳篷的體積為V的表達式，利用導(dǎo)數(shù)，即可求得V的單調(diào)性和極值點，即可求得答案.【詳解】設(shè)為，則，設(shè)底面正六邊形的面積為，帳篷的體積為.則由題設(shè)可得，正六棱錐底面邊長為，于是，所以，則.令，解得或（舍去）.當時，，V單調(diào)遞增；當時，，V單調(diào)遞減.所以當（m）時，V最大.2．（2023·廣東省汕尾市名校模擬）某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，一個瓶子的制造成本是分，其中（單位：）是瓶子的半徑．已知每出售的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為，則使得每瓶飲料的利潤最大時的瓶子的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫出利潤關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出利潤最大時的的取值.【詳解】設(shè)每瓶飲料獲得的利潤為，依題意得，，，于是，遞減；，遞增，所以是極小值點，于是在，只可能使得最大.3．（2023·河南省南陽市名校模擬）給出新定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為的“拐點”，已知函數(shù)的一個拐點是，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】二次求導(dǎo)，根據(jù)拐點定義求得，然后代入函數(shù)可得.【詳解】由題可知，，結(jié)合題意知，即，又，所以，所以．1．已知正三棱錐的高為，且，其各個頂點在同一球面上，且該球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)底面三角形的邊長為a，在中，利用勾股定理得到h和a的關(guān)系，得到三棱錐的體積，再利用導(dǎo)數(shù)法求解最值.【詳解】解：因為外接球的表面積為，所以外接球的半徑為，如圖所示：

設(shè)底面三角形的邊長為a，且為等邊三角形的中心，則，在中，，解得，所以，則，令，得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值為，2．如圖所示，ABCD是邊長為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點．設(shè)，當cm時，包裝盒的容積最大，最大容積為．

【答案】10【分析】利用可分別表示出包裝盒側(cè)面高和底邊長，進而將容積表示出來，通過導(dǎo)數(shù)研究其最大值即可.【詳解】因為，，，所以，包裝盒底邊長為，因為陰影部分為等腰直角三角形，所以包裝盒側(cè)面高為，所以包裝盒容積，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，取得最大值.【點睛】實際問題要善于轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，本題通過將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，進而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最大值，從而得到答案.3．定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“奮斗點”.若函數(shù)，的“奮斗點”分別為，，則，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)，根據(jù)“奮斗點”的定義可得，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)及零點存在定理求出的范圍，由求出的范圍，從而可比較大小.【詳解】函數(shù)，得，由題意可得，，即.設(shè)，，因為，所以，易得在上單調(diào)遞減且，，故.由，，由題意得：，易知，所以，因為，所以.【基礎(chǔ)過關(guān)】1．證明：.【答案】證明見解析【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解最值，即可求證.【詳解】令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，故當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，故當時，取極小值也是最小值，故，因此.2．已知．（1）若對任意，有，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當時，的值域為，求實數(shù)a的取值范圍；（3），，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．（4），使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】（1）方法一：由，分類討論的范圍，求出時的最小值，列出不等式，求解即可；方法二：根據(jù)和，分析得出分子在上恒成立，求解即可；（2）方法一：對求導(dǎo)，分類討論的范圍，求出的最小值，令最小值等于0即可；方法二：將轉(zhuǎn)化為，分類討論的范圍，求出最小值，令最小值等于0即可；（3）設(shè)，，由條件得出在有解，求出在上的最小值，得出，求解不等式即可；（4）設(shè)，，由已知分析出在上恒成立，求出在的最大值，令，求解不等式即可．【詳解】（1）方法一：，當時，由得，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以；當時，令，解得或，則在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增；①當，即時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以；②當，即時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，綜上所述，．方法二：因為，有，所以在上恒成立，因為在上單調(diào)遞增，所以當時，，即，故．（2）方法一：，當時，由得，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，當時，令，解得或，則在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增；①當，即時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，舍去，②當，即時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，無解，綜上所述，．方法二：，當時，，無解；當時，，當，，不合題意，舍去；當時，因為和在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以．（3）設(shè)，，由，，使得成立，則在有解，，因為時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，因為，所以在恒成立，因為在單調(diào)遞增，所以當時，，即，故．（4）設(shè)，，由（3）得，所以在上單調(diào)遞增，所以，因為，使得成立，所以在恒成立，所以，即，所以當時，，所以在恒成立，因為在上單調(diào)遞增，所以當時，，即，故．3．設(shè)實數(shù)，若對不等式恒成立，則m的取值范圍為．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)判定其單調(diào)性得，分離參數(shù)根據(jù)恒成立求即可.【詳解】由，構(gòu)造函數(shù)，在為增函數(shù)，則即對不等式恒成立，則，構(gòu)造函數(shù)令，得；令，得；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即.4．若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，排除，當時得到函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的取值范圍，再列不等式組求解即可.【詳解】因為所以若時恒成立，在上單調(diào)遞增，函數(shù)不可能有兩個不同的零點，不合題意；所以，只有時，，函數(shù)遞減，此時時，，函數(shù)遞增，此時，因為函數(shù)有兩個不同的零點，所以解得5．已知，如圖是一張邊長為的正方形硬紙板，先在它的四個角上裁去邊長為的四個小正方形，再折疊成無蓋紙盒．

(1)試把無蓋紙盒的容積表示成裁去邊長的函數(shù)；(2)當取何值時，容積最大？最大值是多少？（紙板厚度忽略不計）【答案】(1)(2)當時，容積最大，最大值為【分析】（1）根據(jù)長方體的體積公式即可得解；（2）求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而可得出答案.【詳解】（1）由題意，長方體的高為，底面是正方形，正方形的邊長為，則，所以，則；（2）由（1）得，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，容積最大，最大值為.6．（2023·浙江省麗水市名校模擬）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若函數(shù)有三個零點，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）對函數(shù)直接求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系直接求解即可；（2）根據(jù)（1）中單調(diào)性得到函數(shù)極大值與極小值，通過變化趨勢列出不等式組求解即可.【詳解】（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當時，；當時，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）得：當時，取得極大值；當時，取得極小值.由三次函數(shù)性質(zhì)知：當時，；當時，.所以若有三個零點，則，解得.所以的取值范圍為.7．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，若存在使得，則稱是的一個“巧值點”，下列選項中沒有“巧值點”的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用新定義：存在使得，則稱是的一個“巧點”，對四個選項中的函數(shù)進行一一的判斷即可．【詳解】對于A：，則，令，則，故有“巧值點”；對于B，，則，令，故方程有解，故有“巧值點”；對于C，，則，令，則.∴方程有解，故函數(shù)有“巧值點”．對于D：定義域為，則，而，顯然無根，故沒有“巧值點”.8．已知函數(shù)，．當，時，求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)要證，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究在上單調(diào)性，證明所以，即可得出結(jié)論.【詳解】證明：要證，即證，只需證，因為，也就是要證，令，因為，所以，所以在上為減函數(shù)，所以，所以得證．9．已知函數(shù)．(1)若是函數(shù)的極值點，求的值；(2)若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值.（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、圖象，根據(jù)函數(shù)有兩個零點求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，因為，所以，若是函數(shù)的極值點，則，所以．當時，若則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，若則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點，此時.（2）由（1）知，若，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點，，當時，，當時，，所以若函數(shù)有兩個零點，則僅需，所以．10．（2023·安徽省名校模擬）已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)，存在，證明：．【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)證明見解析【分析】（1）運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可.（2）由可得，結(jié)合（1）可得，聯(lián)立兩者可得，運用比值代換法，設(shè)，轉(zhuǎn)化為求證,即可證明.【詳解】（1）的定義域為，，令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又因為，所以，，即：，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）由（1），得，又，即，所以．不妨設(shè)，所以．由（1）得當，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故，所以，所以，故．下證．即證：，設(shè)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故，即，所以，即，所以，得證．11．（2023·河南省洛陽市名校模擬）已知函數(shù)（a為常數(shù)）．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)的兩個極值點分別為，（），求的范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，（2）根據(jù)函數(shù)有兩個不相等的極值點得到，故，變形得到函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到的值域，得到答案.【詳解】（1）當時，，，所以，，故曲線在點處的切線方程為．（2）若在定義域內(nèi)有兩個極值點，則是方程即的兩個不相等的正根，從而得到，即，又，故，且令，則，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即的值域為，所以的范圍是.【能力提升】1．已知正三棱錐的外接球半徑R為1，則該正三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)該正三棱錐的高為，底面外接圓的半徑為，根據(jù)球的截面圓的性質(zhì)，求得，得到，進而得到錐體的體積為，設(shè)，求得，得出函數(shù)單調(diào)性與最大值，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)該正三棱錐的高為，底面外接圓的半徑為，底面面積為，由球的截面圓的性質(zhì)，可得，即，解得，即，解得，由錐體的體積公式，正四棱錐的體積為：，設(shè)，可得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以正三棱錐體積的最大值為.

2．（2023·四川省自貢市名校模擬）已知函數(shù)，，，恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，其中，分析可知，存在，使得，可得出，由題意可得出，可得出，由此可得出，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即為的最大值.【詳解】令，其中，則，令，其中，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，①當時，，，則，所以，，所以，存在，使得；②當時，，則，，所以，存在，使得；③當時，令，則，令，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即，當且僅當時，等號成立，所以，，所以存在，使得，即.由上可知，對任意的，存在，使得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，則，所以，，令，其中，所以，，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，即的最大值為.故選：A.【點睛】方法點睛：求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個為最大值，另一個為最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點，則這個極值點就是最大（最?。┲迭c，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到.3．（2023·陜西省咸陽市名校模擬）已知函數(shù)，若方程恰有四個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】運用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性及圖象趨近，進而畫出其圖象觀察即可.【詳解】因為當時，，則，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，當時，，當時，，則在上單調(diào)遞增，，當時，，綜上，的圖象如圖所示，

因為，所以或，又因為恰有4個不等的實根，且，所以恰有3個不等的實根，即恰有3個不同的交點，所以由圖象可知，.4．若關(guān)于的方程有兩個解，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先變形構(gòu)造函數(shù)，討論和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的最值，并結(jié)合零點存在性定理，求實數(shù)的取值范圍.【詳解】依題意，有，令，則.當時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，故至多只有1個零點；當時，令，設(shè)為該方程的解，故當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，則函數(shù)的最大值為；而，故，故，故，解得，可知，故，所以在上僅有1個零點，當時，，故在上也有1個零點，故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)和零點問題，涉及構(gòu)造函數(shù)，分類討論，以及隱零點問題，本題的一個關(guān)鍵是根據(jù)，變形求，再結(jié)合函數(shù)零點存在性定理說明存在兩個零點.5．在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成了一般不動點定理的基石.簡單來說就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合“不動點”函數(shù)的概念，轉(zhuǎn)化為方程有根的問題，對于選項A、C，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值，即可判斷，對于選項B，利用零點存在性定理判斷，對于選項D，直接根據(jù)方程無根判斷.【詳解】對于A：令，即，令，則，令，得，當時，，在單調(diào)遞增，當時，，在單調(diào)遞減，所以，所以方程無根，所以函數(shù)不是“不動點”函數(shù)，故A不正確；對于B：令，即，令，函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，且，由零點存在性定理知，函數(shù)在上有零點，即有根，所以函數(shù)是“不動點”函數(shù)，故B正確；對于C：令，即，令，則，得，當時，，在單調(diào)遞減，當時，，在單調(diào)遞增，所以，所以方程無根，所以函數(shù)不是“不動點”函數(shù)，故C不正確；對于D：令，即，而，所以方程無根，所以函數(shù)不是“不動點”函數(shù)，故D不正確；【點睛】思路點睛：方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可直接求方程的根，或者利用零點存在性定理判斷，也可構(gòu)造新函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)的零點問題，有時還可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點問題.6．已知函數(shù)有兩個零點，且，(1)求的取值范圍；(2)證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合零點的存在性定理，確定兩個零點所在的區(qū)間范圍，再結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，，求出最值即可求解的取值范圍；（2）根據(jù)函數(shù)的零點可得，設(shè)，，進一步解得，，從而可得，進一步得到，利用基本不等式即可證明原不等式.【詳解】（1）因為的定義域為，所以.當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故不可能有兩個零點，故舍去；當時，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，要使有兩個零點，則，解得，又，設(shè)，，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，所以,所以當時，在和上各有一個零點,且，所以，由單調(diào)性知：當時，；當時，；因為，所以，即，所以，而，所以，所以，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.（2）只需證，由題意：，設(shè)，.所以，即，所以，，即，所以∴，令，，令，，設(shè)，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，，∴在單調(diào)遞增，∴，∴在單調(diào)遞增，∴.∴，∴，∴，（由于，此處無法取得等號），得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵在于列出方程組，并假設(shè)，，進一步解出，從而可得，巧妙地將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，進而利用導(dǎo)數(shù)與最值的關(guān)系可得，進一步利用不等式即可證明原命題.7.（2023·河南省開封市名校模擬）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點，證明：.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)證明見解析【分析】（1）將代入后得，對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）由題意得，從而利用分析法將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，由此得證.【詳解】（1）當時，的定義域為，則，因為，則，所以，當時，，則單調(diào)遞增；當時，，則單調(diào)遞減；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）若函數(shù)有兩個零點，則，即，兩式相減，可得，兩式相加得，要證，只要證，即證，即證，只須證，即證，即證，令，則由得，故須證，令，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，即成立，故原不等式成立.【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理．8．（2023·廣西邕衡名校模擬）已知函數(shù)．(1)若，求在處的切線方程；(2)若有兩個不同零點，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）求出切線斜率，根據(jù)點斜式可得.（2）由得，故考慮構(gòu)造函數(shù)，先證，利用的單調(diào)性去證明即可.【詳解】（1）當時，，故，，故在處的切線方程為，即.（2）證明：不妨設(shè)，設(shè)，則，

當時，，當時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

可知，也是的兩個零點，且，，于是，

設(shè)，因為．

設(shè)，當時，，故在單調(diào)遞增，所以，從而，因此在單調(diào)遞增，又，故，故，于是．

又在單調(diào)遞減，故

即，故【點睛】關(guān)鍵點點睛：第一個關(guān)鍵點是從結(jié)論分析，由得，故構(gòu)造函數(shù)；第二個關(guān)鍵點是能利用函數(shù)的最值得到，進而證明.9．已知函數(shù)；(1)若無零點，求a的取值范圍；(2)若有兩個相異零點，證明：．【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）在定義域內(nèi)，根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，找出定義域內(nèi)最小值，當滿足時即可求的取值范圍.（2）根據(jù)（1）中求導(dǎo)結(jié)果得出零點的取值范圍，根據(jù)零點性質(zhì)可知，據(jù)此利用函數(shù)單調(diào)性定義得出和的大小關(guān)系，從而證明出.【詳解】（1），，，得，當時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值是，因為函數(shù)無零點，，得，所以的取值范圍是；（2）證明：不妨設(shè)，由（1）得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故，，，設(shè)，，因為，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，且，所以在區(qū)間上恒成立，故，即，又在上單調(diào)遞減，，.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的形狀，以及雙變量問題，綜合性較強，本題第二問的關(guān)鍵是利用，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷的正負.10．（2023·甘肅省酒泉市名校模擬）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個極值點，且，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進而根據(jù)點斜式即可得出結(jié)果；（2）求出，可得，化簡，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性即可求得答案.【詳解】（1），曲線在點處的切線方程為，即.（2），則函數(shù)的定義域為，若函數(shù)有兩個極值點，且．則方程的判別式，且，．．設(shè)，則在上恒成立．故在單調(diào)遞減，從而．因此，的取值范圍是．11．（2023·湖南省常德市名校模擬）已知函數(shù)（）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若兩個極值點，，且，求的取值范圍.【答案】(1)當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，先對函數(shù)求導(dǎo)得（），再結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)分類討論，，時，的符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）和韋達定理得到，，結(jié)合化簡得到，，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的值域，即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，，令，得，當時，時，，所以在單調(diào)遞增；當時，方程的，①當時，，則，所以在單調(diào)遞增；②當時，，令，得，，當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；（2）由（1）得，若有兩個極值點，，則，且，，即，；故，，令，則，所以在上單調(diào)遞減；即，故，綜上所述：的取值范圍為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：破解含雙參不等式證明題的3個關(guān)鍵點（1）轉(zhuǎn)化：即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式；（2）巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值或值域；（3）回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.12．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若在定義域內(nèi)有兩個極值點，求證：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論的值，由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性；（2）由極值點的性質(zhì)以及韋達定理得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.【詳解】（1）由題意得：的定義域為，令，，當，即時，恒成立，即：，在上單調(diào)遞減，當，即時，令，解得：，當時，，即；當時，，即，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，（2）在定義域上有兩個極值點由（1）知且是方程的兩個不等實根，則，，設(shè)，則，，，，則在上為減函數(shù)，，則成立.【點睛】關(guān)鍵點睛：在問題二中，關(guān)鍵在于由極值點的性質(zhì)結(jié)合韋達定理將雙變量問題，轉(zhuǎn)化為單變量問題，從而由導(dǎo)數(shù)證明不等式.13．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若恒成立，求的最大值；(3)已知，證明：.【答案】(1)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；(2)(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，解導(dǎo)數(shù)不等式既得單調(diào)區(qū)間；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究含的單調(diào)性，找到函數(shù)的極值點，從而得到最小值，然后利用導(dǎo)數(shù)研究最值函數(shù)的范圍即可求解；（3）由（1）可得，變形得.借助數(shù)列的裂項求和的方法和對數(shù)的運算性質(zhì)即可證明.【詳解】（1）因為，所以，當，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增.所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增為；（2），則，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，故存在唯一的實數(shù)，使得即成立.故時；時.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，其中，令，，因為，，所以在上單調(diào)遞減，所以即，故，故所求的最大值為（3）由（1）可得，則，可得，即，即，令，所以，所以，即，所以，，令，則，且不恒為零，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則，所以，，所以.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式；（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù)，一般思路為利用條件將所求問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).【真題感知】1．（2023年全國甲卷理數(shù)）已知函數(shù)(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2)【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.【詳解】（1）令,則則當當,即.當,即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當,符合題意.若當,所以..所以,使得,即,使得.當,即當單調(diào)遞增.所以當,不合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當,對應(yīng)當.2．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞減；(2)【分析】（1）代入后，再對求導(dǎo)，同時利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負情況，從而得解；（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；法二：先化簡并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點存在定理與隱零點的知識判斷得時不滿足題意，從而得解.【詳解】（1）因為，所以，則，令，由于，所以，所以，因為，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當時，因為，又，所以，，則，所以，滿足題意；當時，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價于，所以的取值范圍為.法二：因為，因為，所以，，故在上恒成立，所以當時，，滿足題意；當時，由于，顯然，所以，滿足題意；當時，因為，令，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點，使得，此時在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題方法二第2小問討論這種情況的關(guān)鍵是，注意到，從而分類討論在上的正負情況，得到總存在靠近處的一個區(qū)間，使得，從而推得存在，由此得解.3．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見解析；(3).【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)的值，進一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可得關(guān)于實數(shù)的方程，解方程可得實數(shù)的值，最后檢驗所得的是否正確即可；(3)原問題等價于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，和三中情況即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得，由對稱性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點，則在區(qū)間上存在變號