相似三角形是初中幾何的核心內(nèi)容之一，它不僅是全等三角形知識的延伸與拓展，更是解決復(fù)雜幾何問題、培養(yǎng)邏輯推理能力和空間想象能力的重要載體。掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，能幫助我們更深刻地理解圖形之間的關(guān)系，高效地解決與比例線段、面積計算、實際應(yīng)用相關(guān)的各類問題。本專題將通過知識梳理、例題精析與鞏固練習(xí)，幫助同學(xué)們系統(tǒng)掌握相似三角形的解題思路與技巧。一、知識梳理：相似三角形的“基石”在進入解題之前，我們先來回顧一下相似三角形的基本概念和重要結(jié)論，這是解決一切相似問題的前提。1.相似三角形的定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）。2.相似三角形的判定定理：*判定定理1（AA）：如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。*判定定理2（SAS）：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。*判定定理3（SSS）：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似。*直角三角形相似的特殊判定：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。3.相似三角形的性質(zhì)定理：*相似三角形的對應(yīng)角相等。*相似三角形的對應(yīng)邊成比例。*相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。*相似三角形周長的比等于相似比。*相似三角形面積的比等于相似比的平方。二、例題精析：從基礎(chǔ)到進階（一）基礎(chǔ)鞏固型例1：如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，DE∥BC。若AD=3，DB=2，AE=6，求EC的長。思路點撥：本題考查的是“平行線分線段成比例定理”的推論，即“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例”。因為DE∥BC，所以可以直接得到AD/DB=AE/EC的比例關(guān)系。解答：∵DE∥BC∴AD/DB=AE/EC（平行線分線段成比例定理推論）∵AD=3，DB=2，AE=6∴3/2=6/EC解得：EC=(2×6)/3=4故EC的長為4。反思：這類題目相對直接，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識別平行線所截得的對應(yīng)線段，并正確列出比例式。注意比例式中各項的對應(yīng)順序。（二）判定與性質(zhì)綜合型例2：已知：如圖，在△ABC與△A'B'C'中，∠A=∠A'，AB/A'B'=AC/A'C'=3/2。若BC=9，求B'C'的長；若△ABC的面積為18，求△A'B'C'的面積。思路點撥：本題先給出了一組對應(yīng)角相等（∠A=∠A'）和兩組對應(yīng)邊成比例（AB/A'B'=AC/A'C'=3/2），根據(jù)相似三角形的判定定理SAS，可以判定△ABC∽△A'B'C'。然后利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例（相似比為3/2），面積比等于相似比的平方（9/4）來求解。解答：∵在△ABC與△A'B'C'中，∠A=∠A'，AB/A'B'=AC/A'C'=3/2∴△ABC∽△A'B'C'（相似三角形判定定理2：SAS）∴BC/B'C'=AB/A'B'=3/2（相似三角形對應(yīng)邊成比例）∵BC=9∴9/B'C'=3/2解得：B'C'=(9×2)/3=6∵相似比為3/2∴S△ABC/S△A'B'C'=(3/2)2=9/4（相似三角形面積比等于相似比的平方）∵S△ABC=18∴18/S△A'B'C'=9/4解得：S△A'B'C'=(18×4)/9=8故B'C'的長為6，△A'B'C'的面積為8。反思：在運用判定定理時，要注意“夾角”相等的條件。在運用性質(zhì)時，要區(qū)分是對應(yīng)邊的比、周長的比，還是面積的比，面積比是相似比的平方，這是一個常見的易錯點。（三）構(gòu)造輔助線型例3：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，且BD=2DC，過點D作DE⊥AB于E，連接CE，求S△BDE:S△CDE:S△ACE。思路點撥：題目要求三個三角形的面積比。已知AB=AC，說明△ABC是等腰三角形。BD=2DC，給出了底邊BC上的線段比例關(guān)系。DE⊥AB，是一條高。直接求面積可能比較困難，考慮通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形或者利用等高三角形面積比等于底之比的性質(zhì)。考慮到DE⊥AB，我們可以過點C作CF⊥AB于F，這樣DE和CF就都垂直于AB，從而DE∥CF，得到△BDE∽△BCF。或者，連接AD，利用BD:DC=2:1，將△ABD與△ADC的面積關(guān)系先確定下來。這里我們嘗試后者，并結(jié)合前者。解答：連接AD。設(shè)點A到BC的距離為h，△ABC的面積為S。∵BD=2DC，∴BD/BC=2/3，DC/BC=1/3。∴S△ABD=(2/3)S，S△ADC=(1/3)S（等高三角形面積比等于底之比）過點C作CF⊥AB于F。∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE∥CF。∴△BDE∽△BCF（AA，都有直角，且∠B公共）∴DE/CF=BD/BC=2/3。設(shè)S△BDE=x，S△ADE=y?！摺鰾DE和△ADE同高（DE），底分別為BE和AE?！鰾CE和△ACE同高（CF），底分別為BE和AE?！郤△BDE/S△ADE=BE/AE=x/y。S△BCE/S△ACE=BE/AE=(x+S△CDE)/S△ACE。又∵S△ABD=S△BDE+S△ADE=x+y=(2/3)S。S△ADC=S△ADE+S△CDE+S△ACE=y+S△CDE+S△ACE=(1/3)S。（此式稍復(fù)雜，換個角度）∵DE/CF=2/3，且△BDE和△BCE分別以DE和CF為高，同底BE?！郤△BDE/S△BCE=DE/CF=2/3。即x/(x+S△CDE)=2/3，解得3x=2x+2S△CDE，∴x=2S△CDE，即S△CDE=x/2。又∵△CDE和△BDE同高（點E到BC的距離），底分別為DC和BD。BD=2DC，∴S△BDE/S△CDE=BD/DC=2/1，即x/(x/2)=2/1，符合上述結(jié)論。現(xiàn)在看△ACE和△ADE：S△ACE=(1/2)AE·CF，S△ADE=(1/2)AE·DE?！郤△ADE/S△ACE=DE/CF=2/3，即y/S△ACE=2/3，∴S△ACE=(3/2)y?！逽△ABD=x+y=(2/3)S。S△ADC=S△ADE+S△CDE+S△ACE=y+(x/2)+(3/2)y=y+(3/2)y+x/2=(5/2)y+x/2=(1/3)S。將x+y=(2/3)S變形為S=(3/2)(x+y)，代入上式：(5/2)y+x/2=(1/3)×(3/2)(x+y)=(1/2)(x+y)兩邊同乘2：5y+x=x+y→4y=0？這顯然不對，說明前面設(shè)未知數(shù)和推導(dǎo)過程中出現(xiàn)了邏輯混亂。換一種更簡潔的方法：設(shè)DC=a，則BD=2a，BC=3a。設(shè)AB=AC=b，∠B=∠ACB=θ。則DE=BD·sinθ=2asinθ。BE=BD·cosθ=2acosθ。AE=AB-BE=b-2acosθ。S△BDE=(1/2)·BE·DE=(1/2)·2acosθ·2asinθ=2a2sinθcosθ。S△CDE：以DC為底，點E到BC的距離為高h_E。h_E=BE·sinθ=2acosθ·sinθ。S△CDE=(1/2)·DC·h_E=(1/2)·a·2acosθsinθ=a2sinθcosθ?！郤△BDE:S△CDE=2:1。S△ACE：以AE為底，高為AC·sinθ=bsinθ。S△ACE=(1/2)·AE·AC·sinθ=(1/2)(b-2acosθ)·bsinθ。S△ABE=S△BDE+S△ADE=(1/2)·AB·DE=(1/2)·b·2asinθ=absinθ。而S△ABE=S△BDE+S△ADE=2a2sinθcosθ+S△ADE=absinθ→S△ADE=absinθ-2a2sinθcosθ。S△ADC=(1/2)·DC·AB·sinθ（AB邊上的高可表示為AC·sinθ，但這里以DC為底，AB為另一條邊？不，更直接的是以DC為底，A到BC的高h。）∵AB=AC=b，BC=3a，∴由余弦定理：cosθ=(a)/(b)（在Rt△中，底的一半是(3a/2)，高h=√(b2-(9a2/4))，但可能不需要這么復(fù)雜）換個思路，設(shè)S△CDE=k，則S△BDE=2k。設(shè)點E到BC的距離為h，則S△BDE=(1/2)·BD·h=(1/2)·2a·h=ah=2k→ah=2k→h=2k/a。S△CDE=(1/2)·a·h=(1/2)·a·(2k/a)=k，consistent。∵DE⊥AB，∴S△BDE=(1/2)·BE·DE=2k。S△ADE=(1/2)·AE·DE=m（設(shè)為m）。則(BE/AE)=(2k)/m→BE=(2k/m)AE。AB=BE+AE=AE(2k/m+1)。S△ABD=2k+m=(1/2)·BD·(A到BC的距離H)=(1/2)·2a·H=aH。S△ADC=(1/2)·a·H=(aH)/2=(2k+m)/2。S△ADC=S△ADE+S△CDE+S△ACE=m+k+S△ACE=(2k+m)/2→m+k+S△ACE=k+m/2→S△ACE=-k+m/2-m？這顯然不對，說明我將△ADC的組成部分劃分錯了?！鰽DC是由△ADE和△DEC以及△AEC組成的嗎？不，連接AD后，△ADC就是△ADC，點E在AB上，所以△ADC的面積與E無關(guān)。我之前錯誤地引入了E到△ADC的劃分。正確的是：S△ADC=(1/3)S△ABC。S△ABC=S△ABE+S△CBE=(S△BDE+S△ADE)+(S△BDE+S△CDE)=(2k+m)+(2k+k)=2k+m+3k=5k+m。所以S△ADC=(1/3)(5k+m)=(2k+m)/2（因為S△ABD=2k+m=(2/3)S△ABC=(2/3)(5k+m)）即(2/3)(5k+m)=2k+m→10k+2m=6k+3m→4k=m→m=4k。則S△ADE=m=4k。S△ACE=S△ADC-S△ADE-S△CDE？不，S△ADC=(1/2)·DC·H=(aH)/2=(2k+m)/2=(2k+4k)/2=3k。而S△ADC=S△AEC+S△DEC嗎？不是，因為E不在AD上。S△AEC的面積應(yīng)該通過與其他三角形的關(guān)系來求。注意到△AEC和△BEC分別以AE和BE為底，同高CF。S△BEC=S△BDE+S△CDE=3k。S△AEC/S△BEC=AE/BE=m/2k=4k/2k=2/1。∴S△AEC=2S△BEC=2×3k=6k?！郤△BDE:S△CDE:S△ACE=2k:k:6k=2:1:6。反思：這道題綜合性較強，涉及到了等高（同高）三角形面積比、相似三角形的判定與性質(zhì)、比例線段的轉(zhuǎn)換等多個知識點。輔助線的添加（連接AD，作CF⊥AB）是解題的關(guān)鍵。在解題過程中，靈活設(shè)未知數(shù)，通過比例關(guān)系建立方程，逐步推導(dǎo)，是解決復(fù)雜面積比問題的常用方法。要耐心細致，注意各三角形之間的包含關(guān)系和面積聯(lián)系。三、鞏固練習(xí)練習(xí)1：如圖，△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD=DF=FB。若BC=12，則DE+FG的長度為多少？練習(xí)2：已知△ABC∽△DEF，相似比為2:3，△ABC的周長為16，面積為12，求△DEF的周長和面積。練習(xí)3：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。點P從點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為1單位/秒；同時點Q從點C出發(fā)沿CB方向向點B勻速運動，速度為2單位/秒。設(shè)運動時間為t秒（0<t<4）。連接PQ，當(dāng)t為何值時，△PCQ與△ACB相似？練習(xí)4：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC。求證：AC2=AB·AD。四、總結(jié)與提升相似三角形的學(xué)習(xí)，關(guān)鍵在于理解“對應(yīng)”的含義——對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。在解決具體問題時，我們要善于：1