高考數(shù)學專項研究：導數(shù)（15）經(jīng)典例題三、恰成立問題1.fx=aex?12x解:由f′xg′x=1?xex由aex1=又由x2x1≥2得綜上,a2.fx=a?使得fx1=解:由已知得fx≤0,又∵g即x=t,lnx=mt,故m=x調(diào)遞增,故四、任意存在的綜合性問題1.(類型一:存在性為主的綜合性問題)fxa∈1,2,?解:f由于a2?22a=由x0∈12設g故ga>0要在當k=0時,當k<0時,g′a若12k?1>1當k>0,1同源練習:fx=ln12+fx0>解:f′x=2axx?afxmax=令g當m≥0時,g′當當?1≤0即m≤?18從而g′a>當?1>0即?18從而g′a<綜上,m2.(類型二:恒成立為主的綜合性問題)fx得對任意x∈0,ln2,都有解:由已知得fx在0f′x①當a≤0時,f′x在R上單調(diào)遞減,且f′②當a>0時,f′′x=故f′′x在?∞,ln2(I)當0<a≤1時,又f′x>f′(II)當a>1當1<a<2ln2時,且f′0>0且在0,t上,f′當2ln2≤a<在ln2a,ln2單調(diào)遞增,且f′當a≥2時,ln2a故在0,ln2上f3.(類型三:參數(shù)存在自變量恒成立)已知函數(shù)fx=e?aex?ma解:f′x=e?ae若a>e時,由f′x=0得當x>ln1af令當m≥0時,取a?e當m<0時,令g′a=0得當a>e?所以g所以me+ln?1m≥所以?m≥??4.(類型四:自變量恒成立與存在性)fx=x?1x+1,解:fx單調(diào)遞增,所以fx【同源練習】fx=lnx?x4+1?解:fx1當b<1時,當b∈1,當b>2第四章經(jīng)典題型第四節(jié)任意存在型一、類型一:fx定義:①?x1∈a,b,?集.②?x1∈a,b,?非空.(一)任意存在1.x∈0,1,fx=x解:由題意得gx0的值域包含由fx∈【同源練習】①已知函數(shù)fx=ex?A.2?2C.1,3解:函數(shù)fx的值域是?1,+∞,要使得fx2?4x②已知fx=x總存在x2∈0,4使得③fx=lnx?12x求b的取值范圍.(提示:答案為b∈2.設a≥1,x0∈0,1解:fx在0,12gx在0,由題意得1?2a【同源練習】①fx=2x2x成立,求a的取值范圍.(提示:答案為52②fx=x2?5x+10x?3,g3.fx=x2?23解:設fx在0,1a單調(diào)遞增,在由f0=f3設集合A={f由題意得等價于A當32a>2即0<a<34時,由f3當1≤32a≤且fx在2,+∞單調(diào)遞減,故A=?∞,有fx在1,+∞上包含?∞,0則當32a<1即a>32時,有故B=1f1,綜上,a(二)存在存在1.fx=ex?解:fx=由存在fa=gb得g2.fx=ex,gx解:由題意知fx1∈由Δ=36(三)唯一一個1.fx0=ax0?lnx0解:由題意得gx在0,1單調(diào)遞增,且fx0在?∞,1當1a≥e即a≤1e時,fe當1e<a<e4時,則fe?4>2.x≥0,qx=k2x2+解:當x<0當x≥0時,q下面討論k≠0當x1>0時,q′x只能x2<0且當x1<0時,q′x只能x2>0且綜上,k當k=5時,A=B,則?x因為q′x在0,+∞同理,?x1要使得q′x(四)存在兩個1.fx=2?axii=1,解:由題意知fxi的值域包含g當a≥2時,當a<2時,fx在0,故fxi由a?2【同源練習】①fx=1?ax?1?lnx+解:g當a≤0時,當a≥1?當0<a<1?1ef所以對任意x0∈(0,e]當且僅當fe≥1,設?當a≤1?1所以?a≤0②已知fx=2ax3總存在兩個不同的xii=1,2,使得2.fx=exex,gx=ax?解:求導易知fx∈(0,1當a≠0時,g此時gx在0,2其中g(shù)2a=2?存在兩個不同的x1、則g2a【同源練習】①fx=sinxx,gx=②fx=lnx,gx=ax+3?③fx=1+lnxx?1,gx解:f′x=?1+x因此fx在0,1和1,+∞上分別單調(diào)遞減,gx=k部分之間,也即?即?設?x=二、類型二:fx?g①恒成立時,fxmin②存在性時,fxmin1.fx=x?2sinx解:f′x=1?2cosf所以M的最小值為2π【同源練習】①fx=ax+x2解:a若a>1時,則a若0<a<1又2x≥0,所以無論a為何值,f′所以fxmax②設函數(shù)fx=emx+x2解:對任意的m,fx在?1,0單調(diào)遞減,在值.所以對于任意x1f設函數(shù)gt=e當t<0時,g′t<故gt在?∞,0單調(diào)遞減,在又g1=0,g當m∈?1當m>1時,由gt得單調(diào)性