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文檔簡介
第五節(jié)復(fù)數(shù)高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求1.
通過方程的解,認(rèn)識復(fù)數(shù).2.
理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義,理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義.3.
掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的四則運(yùn)算,了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.目錄CONTENTS知識·逐點(diǎn)夯實(shí)01.考點(diǎn)·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點(diǎn)夯實(shí)必備知識|課前自修
1.
復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念:形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中i叫做虛
數(shù)單位,a,b分別是它的
和
.當(dāng)且僅當(dāng)b=0時,a+bi
為實(shí)數(shù);當(dāng)b≠0時,a+bi為虛數(shù);當(dāng)a=0且b≠0時,a+bi為純虛數(shù);(2)復(fù)數(shù)相等:a+bi=c+di?
(a,b,c,
d∈R);實(shí)部
虛部
a=c且b=d
(3)共軛復(fù)數(shù):a+bi與c+di共軛?
(a,b,
c,d∈R);
a=c,b=-d
2.
復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi
復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b);
提醒復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,
b),而不是(a,bi).(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,
b,c,d∈R).3.
復(fù)數(shù)的運(yùn)算(3)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律:設(shè)z1,z2,z3∈C,則復(fù)數(shù)乘法滿足以下運(yùn)算
律:①交換律:z1z2=
?;②結(jié)合律:(z1z2)z3=
?;③乘法對加法的分配律:z1(z2+z3)=
?.z2z1
z1(z2z3)
z1z2+z1z3
(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律:設(shè)z1,z2,z3∈C,則復(fù)數(shù)加法滿足以下運(yùn)算
律:①交換律:z1+z2=
?;②結(jié)合律:(z1+z2)+z3=
?.z2+z1
z1+(z2+z3)
2.
i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0
(n∈N*).
4.
設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的
點(diǎn)分別是A(a,b),B(c,d)則
(2)設(shè)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)是Z,①若|z-z1|=r,r>0,則點(diǎn)Z的軌跡為圓;②若r1<|z-z1|<r2(0<r1<r2),則點(diǎn)Z的軌跡為圓環(huán),但不包括
邊界;③若|z-z1|=|z-z2|,則點(diǎn)Z的軌跡為線段AB的垂直平分線;④若|z-z1|+|z-z2|=常數(shù),則當(dāng)常數(shù)大于|AB|時,點(diǎn)Z的軌跡
為橢圓;當(dāng)常數(shù)等于|AB|時,點(diǎn)Z的軌跡為線段;當(dāng)常數(shù)小于|AB|
時,點(diǎn)Z的軌跡不存在;⑤若|z-z1|-|z-z2|=常數(shù),則當(dāng)常數(shù)大于|AB|時,點(diǎn)Z的軌跡
不存在;當(dāng)常數(shù)等于|AB|時,點(diǎn)Z的軌跡為一條射線;當(dāng)常數(shù)小于|
AB|時,點(diǎn)Z的軌跡為雙曲線的一支.
1.
判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)若a∈C,則a2≥0.
(
×
)(2)已知z=a+bi(a,b∈R),當(dāng)a=0時,復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).
(
×
)(3)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的虛部為bi.
(
×
)(4)方程x2+x+1=0沒有解.
(
×
)××××
A.2-2iB.2+i
√
A.1-2iB.
-1+2iC.3+4iD.
-3-4i
√
A.1+iB.1-iC.
-1+iD.
-1-i
√5.
(人A必修二P81習(xí)題7題改編)已知2i-3是關(guān)于x的方程2x2+px+q=
0的一個根,則實(shí)數(shù)p,q的值分別為
,
?.
12
26
PART02考點(diǎn)·分類突破精選考點(diǎn)|課堂演練
復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān))1.
若復(fù)數(shù)(m2-5m+6)+(m2-3m)i>0,則實(shí)數(shù)m=(
)A.0B.2C.3D.0或2或3
√2.
(2025·湖南師大附中模擬)已知z是虛數(shù),z2+2z是實(shí)數(shù),則z的
(
)A.
實(shí)部為1B.
實(shí)部為-1C.
虛部為1D.
虛部為-1解析:
設(shè)虛數(shù)z=a+bi(a,b∈R,b≠0),則z2+2z=(a+
bi)2+2(a+bi)=a2-b2+2a+2b(a+1)i,由z2+2z是實(shí)數(shù),得
2b(a+1)=0,得a=-1,故選B.
√3.
(2024·徐州模擬)若純虛數(shù)z滿足(z+m)i=2-i(其中i為虛數(shù)單
位,m為實(shí)數(shù)),則m=(
)A.
-2B.
-1C.1D.2解析:
由題意可設(shè)z=bi(b≠0),則(z+m)i=(bi+m)i=-
b+mi=2-i,所以m=-1,故選B.
√
練后悟通解決復(fù)數(shù)概念問題的兩個注意事項(xiàng)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān))
√
A.
-1-iB.
-1+iC.1-iD.1+i
√
A.1B.iC.
-1D.
-i
√
A.iC.1√
練后悟通復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算的策略復(fù)數(shù)的幾何意義(師生共研過關(guān))
(1)若復(fù)數(shù)(2+i)·(a-i)(i是虛數(shù)單位,a∈R)在復(fù)平面內(nèi)
對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(
C
)C
解題技法對復(fù)數(shù)幾何意義的再理解
(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、
向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,使問題的解
決更加直觀.
B.2
√2.
設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1,Z2,|z1|=2,z2=3i,
則Z1,Z2兩點(diǎn)之間距離的最大值為(
)A.1B.3C.5D.7√
復(fù)數(shù)與方程(師生共研過關(guān))
已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一個根.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,猜測方程的另一個根,并給予證明.解:
由(1)知方程為x2+2x+2=0.設(shè)另一個根為x2,由根與系數(shù)的關(guān)系,得-1+i+x2=-2,∴x2=-1-i.把x2=-1-i代入方程x2+2x+2=0,則左邊=(-1-i)2+2(-1-i)+2=0=右邊,∴x2=-1-i是方程的另一個根.解題技法1.
對實(shí)系數(shù)一元二次方程來說,求根公式、根與系數(shù)的關(guān)系、判別式的功
能沒有變化,仍然適用.2.
對復(fù)系數(shù)(至少有一個系數(shù)為虛數(shù))方程,判別式判斷根的功能失去
了,其他仍適用.
〔多選〕在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+px+2=0的兩
根為x1,x2,其中x1=1+i,則(
)A.
p=2B.
x2=1-i√√
PART03課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)
A.10iB.2iC.10D.2
12345678910111213141516171819202022232425√
A.
-iB.i
√3.
已知復(fù)數(shù)z=(a2-4)+(a-3)i(a∈R),則“a=2”是“z為純
虛數(shù)”的(
)A.
充分不必要條件B.
必要不充分條件C.
充要條件D.
既不充分也不必要條件
√
A.1-3iB.1+3iC.
-1+3iD.
-1-3i
√5.
復(fù)數(shù)z滿足|z-(5+5i)|=2,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限
為(
)A.
第一象限B.
第二象限C.
第三象限D(zhuǎn).
第四象限解析:
設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),則z-(5+5i)=a-5+(b
-5)i,∵|z-(5+5i)|=2,∴(a-5)2+(b-5)2=4,∴復(fù)數(shù)
z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z在以(5,5)為圓心,2為半徑的圓上,故z在復(fù)
平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第一象限.故選A.
√
A.1B.2C.4D.5√
B.
復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限√√√
-i
9.
已知復(fù)數(shù)z=(a+cos
θ)+(2a-sin
θ)i的模不超過2.(1)若對于一切θ∈R滿足上述條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若存在θ∈R滿足上述條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
10.
已知復(fù)數(shù)數(shù)列{an}滿足a1=2i,an+1=ian+i+1,n∈N*,i為虛數(shù)單
位,則a10=(
)A.2iB.
-1+iC.1+iD.
-2i解析:
因?yàn)閍1=2i,an+1=ian+i+1,所以a2=2i·i+i+1=-1+i,a3
=(-1+i)i+i+1=0,a4=0·i+i+1=1+i,a5=(1+i)i+i+1=
2i,…,所以復(fù)數(shù)數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列,所以a10=a4×2+2=
a2=-1+i,故選B.
√11.
(2024·南京模擬)若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|≤2,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對
應(yīng)點(diǎn)組成圖形的面積為(
)A
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