滬教版相似三角形綜合練習(xí)題相似三角形作為平面幾何的核心內(nèi)容之一，不僅是全等三角形知識的延伸與拓展，更是后續(xù)學(xué)習(xí)圓、解直角三角形等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)。其綜合性強(qiáng)，應(yīng)用廣泛，常常與圖形的變換、函數(shù)、動點(diǎn)問題等相結(jié)合，對同學(xué)們的邏輯思維能力、空間想象能力以及綜合運(yùn)用知識的能力都提出了較高要求。本文旨在通過一系列具有代表性的綜合練習(xí)題，幫助同學(xué)們鞏固相似三角形的判定與性質(zhì)，提升解題技巧與應(yīng)變能力。一、核心知識回顧在解決相似三角形的綜合問題前，我們先來簡要回顧一下其核心知識點(diǎn)，這是我們解題的“利器”。1.相似三角形的判定定理：*（AA）如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。*（SAS）如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。*（SSS）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似。*（直角三角形）斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似。2.相似三角形的性質(zhì)：*對應(yīng)角相等。*對應(yīng)邊成比例（相似比）。*對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。*周長的比等于相似比。*面積的比等于相似比的平方。這些基礎(chǔ)知識是解決一切相似三角形綜合題目的前提，必須熟練掌握，靈活運(yùn)用。二、綜合練習(xí)題相似三角形的綜合題往往不會直接考察單一的判定或性質(zhì)，而是需要我們結(jié)合圖形的特點(diǎn)，綜合運(yùn)用多種知識進(jìn)行分析和推理。請看下面的例題：（一）基礎(chǔ)綜合與判定例題1：已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點(diǎn)F在邊BC上，且∠DFB=∠AED。求證：（1）△ADE∽△ABC；（2）△BDF∽△ABC。分析與提示：（1）題中明確給出了“DE∥BC”，這是一個非常直接的信號，聯(lián)想到相似三角形的判定定理，平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。因此，第一問可直接得證。（2）要證明△BDF∽△ABC，我們已經(jīng)知道∠B是公共角。根據(jù)AA判定定理，只需再證明另一個角相等即可。由（1）的結(jié)論△ADE∽△ABC，可得∠AED=∠C。又已知∠DFB=∠AED，通過等量代換可得到∠DFB=∠C。至此，在△BDF和△ABC中，有兩組角對應(yīng)相等，相似得證。解題關(guān)鍵：熟練運(yùn)用平行線帶來的相似關(guān)系，并能進(jìn)行角的等量代換，尋找判定所需的條件。（二）相似與動態(tài)幾何例題2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，速度為2cm/s。設(shè)運(yùn)動時間為t秒（0<t<4）。連接PQ。（1）用含t的代數(shù)式表示線段PC和CQ的長度。（2）當(dāng)t為何值時，△PCQ與△ACB相似？分析與提示：（1）這一問主要考察路程、速度與時間的關(guān)系。點(diǎn)P從A出發(fā)，速度為1cm/s，運(yùn)動時間為t秒，所以AP=tcm。因為AC=6cm，所以PC=AC-AP=(6-t)cm。點(diǎn)Q從C出發(fā)，速度為2cm/s，所以CQ=2tcm。（2）這是一個動態(tài)問題，△PCQ與△ACB都是直角三角形（∠C為公共直角）。要使它們相似，根據(jù)相似三角形的判定，兩組直角邊對應(yīng)成比例即可。但要注意，對應(yīng)邊的比例關(guān)系可能有兩種情況：情況一：PC/AC=CQ/CB情況二：PC/CB=CQ/AC將（1）中得到的PC和CQ的表達(dá)式代入這兩個比例式中，即可求出t的值。需要注意t的取值范圍（0<t<4），對求出的結(jié)果進(jìn)行檢驗。解題關(guān)鍵：動態(tài)問題中，要抓住不變的量和關(guān)系（如公共角、直角），并考慮到相似三角形對應(yīng)邊的不確定性，可能需要分類討論。（三）相似與四邊形綜合例題3：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥AD，分別交AB于E，交CD于F。（1）求證：OE=OF。（2）若AD=3，BC=6，求EF的長。分析與提示：（1）要證明OE=OF，觀察圖形，EF∥AD∥BC。由AD∥BC，易知△AOD∽△COB，從而得到AO/OC=AD/BC。再由EF∥AD，可得△AEO∽△ABD，△DFO∽△DCD，從而有OE/AD=AO/AC，OF/AD=CO/AC。這里需要注意線段的比例轉(zhuǎn)換，AC=AO+OC。通過代數(shù)變形，可以證明OE=OF?；蛘撸部煞謩e表示出OE與BC的關(guān)系，OF與BC的關(guān)系，再進(jìn)行比較。（2）要求EF的長，EF=OE+OF，由（1）知OE=OF，所以只需求出OE即可。利用（1）中得到的比例關(guān)系，例如OE/BC=AE/AB，以及AE/AB=AO/AC。由△AOD∽△COB，AD/BC=AO/OC=3/6=1/2，可設(shè)AO=k，OC=2k，則AC=3k。因此AO/AC=k/(3k)=1/3，所以O(shè)E/BC=1/3，BC=6，可得OE=2，從而EF=4。解題關(guān)鍵：在復(fù)雜圖形中，準(zhǔn)確識別出相似三角形，并能靈活運(yùn)用比例的性質(zhì)進(jìn)行線段長度的計算和轉(zhuǎn)換。梯形中，上下底平行，對角線相交，常出現(xiàn)多對相似三角形，要注意它們之間的聯(lián)系。（四）相似與實際應(yīng)用例題4：某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想利用樹影測量一棵大樹的高度。他們在同一時刻測得一根長為1m的直立竹竿的影長為1.5m，同時測得這棵大樹的影長有一部分落在地面上，另一部分落在墻上（如圖所示）。地面上的影長為BC=6m，墻上的影高為CD=2m。求這棵大樹的高度AB。分析與提示：這是一個相似三角形在實際生活中的應(yīng)用問題，核心思想是“在同一時刻，物高與影長成正比”。但本題中大樹的影子不完整，一部分落在了墻上。我們可以通過構(gòu)造相似三角形來解決。方法一（平移法）：將墻上的影子CD看作是一棵“小竹竿”，它的影長應(yīng)該是從墻根C處水平延伸出去的一段。假設(shè)光線經(jīng)過D點(diǎn)到達(dá)地面上的某點(diǎn)E，那么DE的長度可以通過竹竿的比例關(guān)系求出。因為1m竹竿影長1.5m，所以CD=2m的影長CE=2×1.5=3m。那么大樹AB的總影長就應(yīng)該是BE=BC+CE=6+3=9m。設(shè)大樹高度AB為xm，則x/9=1/1.5，解得x=6m。方法二（作輔助線法）：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，則四邊形BCDE是矩形，所以AE=AB-CD=AB-2，ED=BC=6m。在△AED中，AE的影長就是ED，根據(jù)相似關(guān)系A(chǔ)E/ED=1/1.5，即(AB-2)/6=1/1.5，同樣可解得AB=6m。解題關(guān)鍵：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，通過構(gòu)造輔助線或合理轉(zhuǎn)化，將不完整的影子問題轉(zhuǎn)化為可利用相似三角形性質(zhì)求解的常規(guī)問題。三、總結(jié)與建議解決相似三角形綜合題，需要我們做到以下幾點(diǎn)：1.仔細(xì)審題，標(biāo)注條件：將題目中的已知條件、隱含條件（如公共角、對頂角、平行線、垂直關(guān)系等）在圖形上清晰標(biāo)注出來，有助于快速找到解題突破口。2.熟悉定理，靈活選用：熟練掌握相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS、HL）和性質(zhì)，并能根據(jù)題目條件靈活選擇最合適的判定方法和性質(zhì)進(jìn)行應(yīng)用。3.善于構(gòu)造，轉(zhuǎn)化圖形：對于一些復(fù)雜或不明顯的圖形，要學(xué)會通過添加輔助線（如作平行線、垂線、延長線等）構(gòu)造出相似三角形，或?qū)栴}轉(zhuǎn)化為我們熟悉的模型。4.注重轉(zhuǎn)化，方程思想：在涉及線段長度計算時，要善于利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)建立比例式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程求解，這是解決幾何計算問題的常用方法。5.多思多練，總結(jié)規(guī)律：相似三角形的題目千變?nèi)f化，但很多題目都有其內(nèi)在的規(guī)律和常見的模型（如“A”型相似、“X”型相似、母子型相似等