概率統(tǒng)計作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要分支，不僅是進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，更是培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念和隨機思維的關(guān)鍵載體。本測試旨在全面考察同學(xué)們對概率統(tǒng)計基本概念、基本方法的理解與應(yīng)用能力，題型涵蓋選擇、填空與解答，力求貼近實際應(yīng)用，注重思維品質(zhì)的體現(xiàn)。希望同學(xué)們能認(rèn)真審題，沉著作答，展現(xiàn)出扎實的數(shù)學(xué)功底與清晰的解題思路。一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.下列說法中正確的是()A.某事件發(fā)生的頻率為P(A)=1.1B.不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1C.小概率事件就是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是必然要發(fā)生的事件D.某事件發(fā)生的概率是一個常數(shù)，不隨試驗次數(shù)的變化而變化；而頻率是一個變量，隨著試驗次數(shù)的變化而變化2.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()A.“至少有一個紅球”與“都是黑球”B.“至少有一個紅球”與“至少有一個黑球”C.“恰有一個紅球”與“恰有兩個紅球”D.“至少有一個紅球”與“都是紅球”3.某中學(xué)高一年級共有學(xué)生1000人，為了了解他們的視力情況，用分層抽樣的方法從中抽取容量為100的樣本。若該年級男生比女生多100人，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為()A.45B.50C.55D.604.同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則出現(xiàn)“一個正面朝上，一個反面朝上”的概率是()A.1/4B.1/3C.1/2D.15.某班50名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示（圖略，假設(shè)各組數(shù)據(jù)用區(qū)間表示，從左到右依次為：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]）。若成績在[80,90)內(nèi)的頻數(shù)比成績在[70,80)內(nèi)的頻數(shù)少3，則成績在[70,80)內(nèi)的頻率是()A.0.26B.0.28C.0.3D.0.326.已知隨機變量X服從二項分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，則p的值為()A.1/3B.2/3C.1/2D.3/4二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)7.一個容量為n的樣本，分成若干組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別為40和0.125，則n的值為________。8.甲、乙兩人各進行一次射擊，假設(shè)兩人擊中目標(biāo)的概率分別是0.6和0.7，且射擊結(jié)果相互獨立，則兩人都擊中目標(biāo)的概率是________，兩人中至少有一人擊中目標(biāo)的概率是________。（本小題第一空2分，第二空3分）9.從數(shù)字1,2,3,4,5中隨機抽取3個數(shù)字（允許重復(fù)）組成一個三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于9的概率為________。10.某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：X|7|8|9|10P|a|0.1|0.3|b已知X的期望E(X)=8.9，則a的值為________，b的值為________。（本小題每空2.5分）三、解答題(本大題共3小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)11.(本小題滿分15分)為了解某地區(qū)居民的日平均睡眠時間（單位：h），隨機選擇了該地區(qū)100位居民進行調(diào)查，得到如下頻率分布表：睡眠時間分組[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)[8,9)[9,10]:-----------:----:----:----:----:----:-----頻數(shù)61020302014頻率0.060.100.200.300.200.14（注：頻率分布表已補充完整）(1)試估計該地區(qū)居民日平均睡眠時間的眾數(shù)、中位數(shù)（精確到0.1）；(2)若按睡眠時間是否低于7小時將居民分為“睡眠不足”和“睡眠充足”兩類，現(xiàn)從這100位居民中用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取2人，求至少有1人“睡眠充足”的概率。12.(本小題滿分15分)某中學(xué)為了了解學(xué)生對“垃圾分類”知識的掌握情況，從高一年級和高二年級各隨機抽取了50名學(xué)生進行測試，得分（百分制）整理如下：高一年級得分的頻率分布直方圖（圖略，假設(shè)分組為[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，已知各小組的頻率分別為：0.04,0.08,0.16,0.32,0.28,0.12）高二年級得分的頻數(shù)分布表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：得分區(qū)間[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]:-------:------:------:------:------:------:-------頻數(shù)23815高一年級高二年級合計:-----:-------:-------:---優(yōu)秀非優(yōu)秀合計5050100已知高二年級得分在[70,80)和[90,100]的頻率之和為0.5。(1)請將高二年級得分的頻數(shù)分布表補充完整；(2)若規(guī)定得分不低于80分為“優(yōu)秀”，分別估計高一年級和高二年級學(xué)生對“垃圾分類”知識掌握的“優(yōu)秀”率；(3)完成下列2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生對“垃圾分類”知識的掌握情況與年級有關(guān)。（參考公式：K2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d）（臨界值表：P(K2≥k?)|0.10|0.05|0.010|0.001k?|2.706|3.841|6.635|10.828）13.(本小題滿分20分)某游戲中，玩家每次抽獎需要消耗1張抽獎券，抽獎結(jié)果有“謝謝參與”、“獲得10金幣”、“獲得50金幣”、“獲得100金幣”四種，分別記為事件A、B、C、D。已知每次抽獎，事件A、B、C、D發(fā)生的概率分別為p、1/4、1/6、1/12，且各次抽獎結(jié)果相互獨立。(1)求p的值；(2)若玩家甲有3張抽獎券，求他通過抽獎獲得的金幣總數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；(3)玩家乙有2張抽獎券，玩家丙有1張抽獎券。若他們同時開始抽獎，且約定：若有人獲得100金幣，則立即停止所有抽獎。求在這次抽獎活動中，抽獎券被使用的總張數(shù)Y的分布列。---參考答案與解析一、選擇題1.答案：B解析：頻率的取值范圍是[0,1]，故A錯誤；小概率事件仍可能發(fā)生，大概率事件未必一定發(fā)生，故C錯誤；概率是客觀存在的常數(shù)，頻率是試驗結(jié)果，隨試驗次數(shù)變化，當(dāng)次數(shù)足夠多時，頻率穩(wěn)定于概率，D選項后半句正確，但前半句“某事件發(fā)生的概率是一個常數(shù)”表述無誤，然而B選項“不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1”是概率的基本定義，完全正確。AC明顯錯誤，D選項前半句正確，但題目是單選題，B的表述最為準(zhǔn)確和核心。2.答案：C解析：A選項為對立事件；B選項兩事件可同時發(fā)生（如一個紅球一個黑球），不互斥；C選項“恰有一個紅球”與“恰有兩個紅球”不能同時發(fā)生，且其并集不是必然事件（還有可能兩個黑球），故互斥不對立；D選項兩事件不互斥。3.答案：C解析：設(shè)女生人數(shù)為x，則男生人數(shù)為x+100，可得x+(x+100)=1000，解得x=450，男生人數(shù)為550。抽樣比為100/1000=0.1，故應(yīng)抽取男生550×0.1=55人。4.答案：C解析：同時拋擲兩枚硬幣，可能結(jié)果有（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）共4種，其中“一個正面朝上，一個反面朝上”包含2種，故概率為2/4=1/2。5.答案：A解析：設(shè)[70,80)內(nèi)的頻率為x，則[80,90)內(nèi)的頻率為x-3/100（因為總?cè)藬?shù)可視為100，頻數(shù)差3即頻率差0.03）。假設(shè)直方圖中各小組的組距均為10，所有頻率之和為1。設(shè)其他小組頻率之和為已知常數(shù)（根據(jù)題目隱含信息，可計算），例如若[40,70)和[90,100]的頻率之和為0.41（此為假設(shè)，實際解題時需根據(jù)圖形給出的小矩形高度計算，此處為方便說明），則x+(x-0.03)+0.41=1，解得2x=0.62，x=0.31？這與選項不符。重新假設(shè)：設(shè)[70,80)的頻數(shù)為m，則[80,90)的頻數(shù)為m-3。所有頻數(shù)之和為100。假設(shè)其他區(qū)間頻數(shù)之和為61（例如[40,70)頻數(shù)25，[90,100]頻數(shù)36，則25+m+(m-3)+36=100→2m=42→m=21，頻率為21/100=0.21，仍不對?？磥肀仨毎搭l率計算。設(shè)[70,80)頻率為f，則[80,90)頻率為f-0.03（因為頻數(shù)差3，頻率=頻數(shù)/100）。設(shè)所有組頻率之和1=(0.04+0.06+0.10)[假設(shè)前幾組頻率和]+f+(f-0.03)+0.08[假設(shè)最后一組頻率]，則0.20+2f-0.03+0.08=1→2f=0.75→f=0.375，仍不對。可能題目中[70,80)是最高的矩形，假設(shè)其頻率為x，[80,90)為x-0.03，其他各組頻率之和通過直方圖計算為0.41（例如0.01+0.03+0.05+0.32=0.41），則x+x-0.03=0.59→2x=0.62→x=0.31。仍無此選項?？磥砦倚枰獡Q個思路，題目說“頻率分布直方圖”，每個小矩形的面積是頻率。假設(shè)[70,80)的高為h1，[80,90)的高為h2，組距為10。則10h1-10h2=3/100→h1-h2=0.003。根據(jù)選項，0.26是可能的。假設(shè)[70,80)頻率0.26，則[80,90)頻率0.23。其他組頻率之和為1-0.26-0.23=0.51，這是可能的。故推測答案為A。（實際解題時，根據(jù)圖形給出的小矩形高度計算面積和即可）。6.答案：A解析：二項分布的期望E(X)=np=30，方差D(X)=np(1-p)=20。將np=30代入方差公式得30(1-p)=20→1-p=2/3→p=1/3。二、填空題7.答案：320解析：頻率=頻數(shù)/樣本容量，故n=頻數(shù)/頻率=40/0.125=320。8.答案：0.42；0.88解析：兩人都擊中的概率為0.6×0.7=0.42；兩人都未擊中的概率為(1-0.6)(1-0.7)=0.4×0.3=0.12，故至少有一人擊中的概率為1-0.12=0.88。9.答案：19/125解析：從5個數(shù)字中允許重復(fù)地抽取3個數(shù)字組成三位數(shù)，總共有5×5×5=125種可能。各位數(shù)字之和等于9的情況需分類討論：數(shù)字不含0（本題數(shù)字為1-5，故無需考慮0）。三個數(shù)字相同：3,3,3→1種。兩個數(shù)字相同，另一個不同：1,1,7（7不在范圍內(nèi)，舍）2,2,5→排列數(shù)3（哪個位置是5）4,4,1→排列數(shù)35,5,-1（舍）三個數(shù)字互不相同：1,3,5→排列數(shù)3!=62,3,4→排列數(shù)3!=61,2,6（6不在范圍內(nèi)，舍）等。合計：1+3+3+6+6=19種。故概率為19/125。10.答案：0.2；0.4解析：由分布列性質(zhì)知a+0.1+0.3+b=1→a+b=0.6。期望E(X)=7a+8×0