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2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)與STEAM教育試卷項(xiàng)目一:校園雨水花園設(shè)計(jì)與優(yōu)化(40分)背景:為響應(yīng)“海綿城市”建設(shè),學(xué)校計(jì)劃在操場(chǎng)東側(cè)修建一個(gè)雨水花園,用于收集雨水、凈化水質(zhì)并美化環(huán)境。請(qǐng)你作為項(xiàng)目小組核心成員,完成以下任務(wù)。任務(wù)1:場(chǎng)地測(cè)量與幾何計(jì)算(10分)(1)雨水花園規(guī)劃區(qū)域?yàn)橹苯侨切?,兩條直角邊分別為8米和15米。若要在花園外圍鋪設(shè)寬度為1米的鵝卵石步道(步道面積不計(jì)入花園面積),求步道的周長(zhǎng)和面積。(4分)(2)花園中心需設(shè)計(jì)一個(gè)直徑為4米的圓形花壇,花壇邊緣每隔0.5米種植一株鳶尾花,計(jì)算共需多少株花苗(π取3.14,結(jié)果四舍五入)。(3分)(3)為增強(qiáng)觀賞性,計(jì)劃在三角形花園的三個(gè)頂點(diǎn)處分別修建邊長(zhǎng)為1.5米的正方形休息平臺(tái),求剩余種植區(qū)域的面積。(3分)任務(wù)2:雨水收集與數(shù)據(jù)分析(12分)(1)科學(xué)組收集到本地近5年每月平均降雨量(單位:毫米):45,50,82,120,180,210,160,140,95,60,55,40。繪制降雨量折線圖,并計(jì)算年平均降雨量。(4分)(2)技術(shù)組使用Excel對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,發(fā)現(xiàn)降雨量與月份存在二次函數(shù)關(guān)系。若以x=1代表1月,x=12代表12月,且函數(shù)圖像過點(diǎn)(6,210)和(7,160),求該二次函數(shù)的解析式。(4分)(3)工程要求雨水花園的年蓄水量需達(dá)到年降雨量的30%,已知花園面積為60平方米,雨水滲透深度為0.8米,判斷該花園是否滿足蓄水需求(1立方米=1000升,忽略蒸發(fā)損耗)。(4分)任務(wù)3:生態(tài)設(shè)計(jì)與藝術(shù)融合(10分)(1)藝術(shù)組提出兩種花壇布局方案:方案A為同心圓結(jié)構(gòu),方案B為螺旋線結(jié)構(gòu)。從對(duì)稱性、觀賞性和施工難度三個(gè)維度進(jìn)行評(píng)估,用加權(quán)評(píng)分法(權(quán)重分別為40%、40%、20%)選擇最優(yōu)方案,并說明理由。(5分)(2)為減少水土流失,工程組計(jì)劃在花園邊緣種植灌木帶,每株灌木的根系可固土0.5平方米。若花園周長(zhǎng)為36米,灌木帶寬度為0.8米,計(jì)算至少需種植多少株灌木。(5分)任務(wù)4:成本預(yù)算與優(yōu)化(8分)(1)花園建設(shè)預(yù)算為12000元,具體項(xiàng)目及單價(jià)如下:鵝卵石步道:80元/平方米圓形花壇:120元/平方米灌木種植:50元/株土工布(防滲漏):30元/平方米根據(jù)前三題數(shù)據(jù),計(jì)算總費(fèi)用并判斷是否超支。若超支,提出至少兩種節(jié)約成本的調(diào)整方案。(8分)項(xiàng)目二:校園智慧圖書館借閱系統(tǒng)優(yōu)化(35分)背景:學(xué)校圖書館計(jì)劃引入智能借閱系統(tǒng),需通過數(shù)據(jù)分析優(yōu)化圖書采購(gòu)方案和書架布局。任務(wù)1:借閱數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與概率分析(10分)(1)技術(shù)組采集到2024年秋季學(xué)期借閱數(shù)據(jù):文學(xué)類320冊(cè),科學(xué)類280冊(cè),歷史類180冊(cè),藝術(shù)類120冊(cè),其他100冊(cè)。繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖,并計(jì)算“科學(xué)類”圖書的圓心角度數(shù)。(4分)(2)隨機(jī)抽取100本圖書,發(fā)現(xiàn)平均借閱時(shí)長(zhǎng)為14天,方差為9天2。若借閱時(shí)長(zhǎng)服從正態(tài)分布,估計(jì)全校8000冊(cè)圖書中,借閱時(shí)長(zhǎng)超過20天的數(shù)量(精確到整數(shù))。(3分)(3)為提高借閱效率,計(jì)劃新增自助借還機(jī)。經(jīng)測(cè)試,機(jī)器平均每小時(shí)可處理30人次,高峰期(12:00-14:00)每小時(shí)有45人借閱,計(jì)算排隊(duì)等待時(shí)間超過5分鐘的概率(假設(shè)每人操作時(shí)間服從均勻分布)。(3分)任務(wù)2:書架設(shè)計(jì)與幾何應(yīng)用(12分)(1)工程組設(shè)計(jì)的書架為長(zhǎng)方體結(jié)構(gòu),長(zhǎng)2.4米,寬0.4米,高1.8米。若每層隔板承重不超過50千克,每本書平均重0.3千克,計(jì)算每層最多可放多少本書(忽略隔板厚度)。(4分)(2)為節(jié)省空間,藝術(shù)組提出“黃金矩形”書架截面設(shè)計(jì)(長(zhǎng):寬≈1.618:1)。若書架總高度為2米,計(jì)算最優(yōu)寬度(精確到0.01米)。(4分)(3)幾何組發(fā)現(xiàn)書架側(cè)面三角形支架為直角三角形,斜邊長(zhǎng)1.5米,一條直角邊比另一條長(zhǎng)0.3米,求兩條直角邊的長(zhǎng)度。(4分)任務(wù)3:系統(tǒng)優(yōu)化與編程實(shí)現(xiàn)(13分)(1)科學(xué)組通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),圖書受歡迎程度與“借閱頻率×豆瓣評(píng)分”正相關(guān)。已知《數(shù)學(xué)之美》借閱頻率為0.8,評(píng)分8.9;《時(shí)間簡(jiǎn)史》借閱頻率為0.6,評(píng)分9.2。用加權(quán)公式S=0.6×頻率+0.4×評(píng)分計(jì)算兩本書的綜合得分,并排序。(5分)(2)技術(shù)組計(jì)劃用Python編寫借閱預(yù)測(cè)程序,核心算法為:若某圖書當(dāng)前借閱量為N,下周預(yù)測(cè)值N'=N×(1+增長(zhǎng)率),增長(zhǎng)率r與庫(kù)存余量x的關(guān)系為r=0.1-0.02x。當(dāng)x=3時(shí),計(jì)算未來兩周的預(yù)測(cè)借閱量。(4分)(3)工程組需為系統(tǒng)設(shè)計(jì)供電方案,太陽(yáng)能電池板日均發(fā)電量為1.2千瓦時(shí),系統(tǒng)待機(jī)功率5瓦,工作功率20瓦,每天工作8小時(shí)。判斷僅靠太陽(yáng)能能否滿足供電需求(1千瓦時(shí)=1000瓦·時(shí))。(4分)項(xiàng)目三:傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧(25分)背景:某校開展“晉商文化”研學(xué)活動(dòng),需運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解讀古建筑和商業(yè)中的智慧。任務(wù)1:晉祠圣母殿斗拱結(jié)構(gòu)分析(10分)(1)圣母殿廊柱采用“側(cè)腳”設(shè)計(jì)(柱身微傾),若柱高6米,頂端向內(nèi)側(cè)傾斜0.12米,計(jì)算傾斜角度α的正切值(精確到0.001)。(3分)(2)斗拱為榫卯結(jié)構(gòu),上、下構(gòu)件的水平距離與垂直高度之比為3:2。若上部構(gòu)件長(zhǎng)45厘米,求垂直高度及斜向總長(zhǎng)(精確到1厘米)。(4分)(3)藝術(shù)組發(fā)現(xiàn)斗拱排列呈等比數(shù)列,若第1層有8個(gè)斗拱,公比為1.5,求前5層斗拱總數(shù)。(3分)任務(wù)2:平遙古城城墻防御系統(tǒng)(15分)(1)古城墻為矩形,周長(zhǎng)7200米,長(zhǎng)與寬之比為5:4。計(jì)算城墻圍成的面積(單位:公頃)。(4分)(2)城墻上每隔120米設(shè)一座敵樓,每個(gè)敵樓可監(jiān)控180米范圍。判斷城墻是否實(shí)現(xiàn)無(wú)死角監(jiān)控,并說明理由。(3分)(3)晉商票號(hào)使用“密押”防偽,如用“千字文”中字的順序編號(hào)(天1、地2、玄3……)。若某匯票密碼為“秋露白”,對(duì)應(yīng)的三個(gè)字在“千字文”中分別排第108、215、320位,計(jì)算這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。(4分)(4)工程組模擬城墻夯土施工,已知每立方米夯土需300千克黃土,含沙量20%。若要修建長(zhǎng)10米、寬2米、高3米的城墻段,計(jì)算需純黃土和沙子各多少噸(1噸=1000千克)。(4分)項(xiàng)目四:家庭能源優(yōu)化方案(附加題20分)任務(wù):為家庭設(shè)計(jì)“光伏+儲(chǔ)能”能源系統(tǒng),需完成以下計(jì)算:(1)統(tǒng)計(jì)家庭日均用電量:空調(diào)(1.5kW×4h)、冰箱(0.1kW×24h)、照明(0.05kW×6h),計(jì)算總耗電量(單位:千瓦時(shí))。(2)若安裝20塊光伏板(每塊功率300W,轉(zhuǎn)換效率18%),平均每天有效光照4小時(shí)

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