數(shù)列的概念選擇題專項訓練單元專題強化試卷檢測試題一、數(shù)列的概念選擇題1．數(shù)列中，，則數(shù)列的前8項和等于（）A．32 B．36 C．38 D．40答案：B解析：B【分析】根據(jù)所給數(shù)列表達式，遞推后可得.并將原式兩邊同時乘以后與變形后的式子相加，即可求得，即隔項和的形式.進而取n的值，代入即可求解.【詳解】由已知，①得，②由得，取及，易得，，，故.故選：B.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，對數(shù)列表達式進行合理變形的解決此題的關(guān)鍵，屬于中檔題.2．公元13世紀意大利數(shù)學家斐波那契在自己的著作《算盤書》中記載著這樣一個數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…滿足那么=（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式即可求解.【詳解】由則.故選：A3．數(shù)列成為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，該數(shù)列從第三項開始，每項等于其前兩相鄰兩項之和，記該數(shù)的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．答案：B解析：B【分析】利用迭代法可得，可得，代入即可求解.【詳解】由題意可得該數(shù)列從第三項開始，每項等于其前兩相鄰兩項之和，則，所以，令，可得，故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是理解數(shù)列新定義的含義得出，利用迭代法得出，進而得出.4．已知數(shù)列滿足：，，則（）A． B．C． D．答案：D解析：D【分析】取特殊值即可求解.【詳解】當時，，顯然AC不正確，當時，，顯然B不符合，D符合故選：D5．已知在數(shù)列中，，則的值為（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】由累乘法可求得，即可求出.【詳解】，即，，.故選：C.6．已知數(shù)列的前n項和為，若，則（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】令得，令得可解得.【詳解】因為，所以，因為，所以.故選：A7．歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價值的數(shù)學思想方法，對時代的進步起了重要的作用.比如意大利數(shù)學家列昂納多—斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即，當n≥3時，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列的各項依次被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為，則的值為（）A．24 B．26 C．28 D．30答案：B解析：B【分析】先寫出新數(shù)列的各項，找到數(shù)列的周期，即得解.【詳解】由題意可知“斐波那契數(shù)列”的各項依次被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新的數(shù)列，此數(shù)列的各項求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，則其周期為6，其中1+1+2+3+1+0=8，則，故選：B.8．已知數(shù)列{an}滿足若a1=,則a2019=(

)A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，得到數(shù)列的取值具備周期性，即可得到結(jié)論．【詳解】∵，又∵a1，∴a2＝2a1﹣1＝21，a3＝2a2，a4＝2a3＝2，a5＝2a4﹣1＝21，故數(shù)列的取值具備周期性，周期數(shù)是4，則＝＝，故選B．【點睛】本題主要考查數(shù)列項的計算，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列的取值具備周期性是解決本題的突破口．9．已知數(shù)列的通項公式為，則（）A．35 B． C． D．11答案：A解析：A【分析】直接將代入通項公式可得結(jié)果.【詳解】因為，所以.故選：A【點睛】本題考查了根據(jù)通項公式求數(shù)列的項，屬于基礎(chǔ)題.10．已知數(shù)列中，，，則等于（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式逐項可計算出的值.【詳解】在數(shù)列中，，，則，，，.故選：B.【點睛】本題考查利用遞推公式寫出數(shù)列中的項，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.11．數(shù)列的前項和記為，，，，則（）A．2016 B．2017 C．2018 D．2019答案：A解析：A【分析】根據(jù)題意，由數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的前8項，分析可得數(shù)列是周期為6的數(shù)列，且，進而可得，計算即可得答案．【詳解】解：因為，，，則，，，，，，…，所以數(shù)列是周期數(shù)列，周期為6，因為，所以．故選：A．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是分析數(shù)列各項變化的規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．12．在數(shù)列中，，對于任意自然數(shù)，都有，則（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】在數(shù)列的遞推公式中依次取，得個等式，累加后再利用錯位相減法求.【詳解】，，，，，以上個等式，累加得①又②①②得，，，故選：D【點睛】本題主要考查了累加法求數(shù)列通項，乘公比錯位相減法求數(shù)列的和，由通項公式求數(shù)列中的項，屬于中檔題.13．已知數(shù)列滿足，，且，則數(shù)列的前項和為（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】將題干中的等式化簡變形得，利用累乘法可求得數(shù)列的通項公式，由此計算出，進而可得出數(shù)列的前項和.【詳解】，將此等式變形得，由累乘法得，，，，因此，數(shù)列的前項和為.故選：B.【點睛】本題考查并項求和法，同時也涉及了利用累乘法求數(shù)列的通項，求出是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.14．已知數(shù)列中，，且對，總有，則（）A．1 B．3 C．2 D．答案：C解析：C【分析】根據(jù)數(shù)列的前兩項及遞推公式,可求得數(shù)列的前幾項,判斷出數(shù)列為周期數(shù)列,即可求得的值.【詳解】數(shù)列中,,且對,總有當時,當時,當時,當時,當時,當時,由以上可知,數(shù)列為周期數(shù)列,周期為而所以故選:C【點睛】本題考查了數(shù)列遞推公式的簡單應(yīng)用,周期數(shù)列的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15．已知數(shù)列，3，，，…，，…，則是它的（）A．第8項 B．第9項 C．第10項 D．第11項答案：D解析：D【解析】【分析】根據(jù)根號下的數(shù)字規(guī)律,可知為等差數(shù)列.利用等差數(shù)列性質(zhì)求得通項公式,即可判斷為第幾項.【詳解】根據(jù)數(shù)列中的項,都改成根式形式為,,,,…,,由前幾項可知,根式下的數(shù)列是以5為首項,4為公差的等差數(shù)列則根式下的數(shù)字組成的等差數(shù)列通項公式為而所以解得故選:D【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式的求法及簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、數(shù)列多選題16．設(shè)數(shù)列滿足，對任意的恒成立，則下列說法正確的是（）A． B．是遞增數(shù)列C． D．答案：ABD【分析】構(gòu)造函數(shù)，再利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】由，設(shè)，則，所以當時，，即在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，即，即，所以，解析：ABD【分析】構(gòu)造函數(shù)，再利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】由，設(shè)，則，所以當時，，即在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，即，即，所以，即，所以，，故A正確；C不正確；由在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，所以是遞增數(shù)列，故B正確；,所以因此，故D正確故選：ABD【點睛】本題考查了數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于難題.17．已知數(shù)列滿足，()，數(shù)列的前項和為，則（）A． B．C． D．答案：BC【分析】根據(jù)遞推公式，得到，令，得到，可判斷A錯，B正確；根據(jù)求和公式，得到，求出，可得C正確，D錯.【詳解】由可知，即，當時，則，即得到，故選項B正確；無法計算，故A錯；，所以，則解析：BC【分析】根據(jù)遞推公式，得到，令，得到，可判斷A錯，B正確；根據(jù)求和公式，得到，求出，可得C正確，D錯.【詳解】由可知，即，當時，則，即得到，故選項B正確；無法計算，故A錯；，所以，則，故選項C正確，選項D錯誤.故選：BC.【點睛】方法點睛：由遞推公式求通項公式的常用方法：（1）累加法，形如的數(shù)列，求通項時，常用累加法求解；（2）累乘法，形如的數(shù)列，求通項時，常用累乘法求解；（3）構(gòu)造法，形如（且，，）的數(shù)列，求通項時，常需要構(gòu)造成等比數(shù)列求解；（4）已知與的關(guān)系求通項時，一般可根據(jù)求解.18．(多選題)已知數(shù)列中，前n項和為，且，則的值不可能為（）A．2 B．5 C．3 D．4答案：BD【分析】利用遞推關(guān)系可得，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出答案．【詳解】解：∵，∴時，，化為：，由于數(shù)列單調(diào)遞減，可得：時，取得最大值2．∴的最大值為3．故選：BD．【點睛】本解析：BD【分析】利用遞推關(guān)系可得，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出答案．【詳解】解：∵，∴時，，化為：，由于數(shù)列單調(diào)遞減，可得：時，取得最大值2．∴的最大值為3．故選：BD．【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則下列說法正確的是（）A．數(shù)列的前n項和為 B．數(shù)列的通項公式為C．數(shù)列為遞增數(shù)列 D．數(shù)列為遞增數(shù)列答案：AD【分析】先根據(jù)和項與通項關(guān)系化簡條件，再構(gòu)造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列定義與通項公式求，最后根據(jù)和項與通項關(guān)系得.【詳解】因此數(shù)列為以為首項，為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，即D正確；解析：AD【分析】先根據(jù)和項與通項關(guān)系化簡條件，再構(gòu)造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列定義與通項公式求，最后根據(jù)和項與通項關(guān)系得.【詳解】因此數(shù)列為以為首項，為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，即D正確；所以，即A正確；當時所以，即B，C不正確；故選：AD【點睛】本題考查由和項求通項、等差數(shù)列定義與通項公式以及數(shù)列單調(diào)性，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.20．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．當且僅當時，取得最大值答案：AC【分析】先根據(jù)題意得等差數(shù)列的公差，進而計算即可得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.所以，，，所以當且僅當或時，取得最大值.故選：AC【點睛】本題考查等差數(shù)列的解析：AC【分析】先根據(jù)題意得等差數(shù)列的公差，進而計算即可得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.所以，，，所以當且僅當或時，取得最大值.故選：AC【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本計算，前項和的最值問題，是中檔題.等差數(shù)列前項和的最值得求解常見一下兩種情況：（1）當時，有最大值，可以通過的二次函數(shù)性質(zhì)求解，也可以通過求滿足且的的取值范圍確定；（2）當時，有最小值，可以通過的二次函數(shù)性質(zhì)求解，也可以通過求滿足且的的取值范圍確定；21．已知數(shù)列的前項和為，前項積為，且，則（）A．當數(shù)列為等差數(shù)列時，B．當數(shù)列為等差數(shù)列時，C．當數(shù)列為等比數(shù)列時，D．當數(shù)列為等比數(shù)列時，答案：AC【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，再結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)即可判斷正確選項【詳解】由，可得，令，，所以是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以，所以當數(shù)列為等差數(shù)列時，；解析：AC【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，再結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)即可判斷正確選項【詳解】由，可得，令，，所以是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以，所以當數(shù)列為等差數(shù)列時，；當數(shù)列為等比數(shù)列時，且，，同號，所以，，均大于零，故.故選：AC【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，考查邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，屬于中檔題22．數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（）A．數(shù)列是等差數(shù)列 B．數(shù)列的前n項和C．數(shù)列的通項公式為 D．數(shù)列為遞減數(shù)列答案：ABD【分析】首項根據(jù)得到，從而得到是以首項為，公差為的等差數(shù)列，再依次判斷選項即可.【詳解】對選項A，因為，，所以，即所以是以首項為，公差為的等差數(shù)列，故A正確.對選項B，由A知：解析：ABD【分析】首項根據(jù)得到，從而得到是以首項為，公差為的等差數(shù)列，再依次判斷選項即可.【詳解】對選項A，因為，，所以，即所以是以首項為，公差為的等差數(shù)列，故A正確.對選項B，由A知：數(shù)列的前n項和，故B正確.對選項C，因為，所以，故C錯誤.對選項D，因為，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故D正確.故選：ABD【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和前n項和，同時考查了遞推公式，屬于中檔題.23．首項為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前項和為，現(xiàn)有下列4個命題中正確的有（）A．若，則；B．若，則使的最大的n為15C．若，，則中最大D．若，則答案：BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的求和公式，逐項判斷，即可得答案.【詳解】A選項，若，則，那么.故A不正確；B選項，若，則，又因為，所以前8項為正，從第9項開始為負，因為解析：BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的求和公式，逐項判斷，即可得答案.【詳解】A選項，若，則，那么.故A不正確；B選項，若，則，又因為，所以前8項為正，從第9項開始為負，因為，所以使的最大的為15.故B正確；C選項，若，，則，，則中最大.故C正確；D選項，若，則，而，不能判斷正負情況.故D不正確.故選：BC.【點睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的求和公式，屬于?？碱}型.24．公差為的等差數(shù)列，其前項和為，，，下列說法正確的有（）A． B． C．中最大 D．答案：AD【分析】先根據(jù)題意得，，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得，，，中最大，，即：.進而得答案.【詳解】解：根據(jù)等差數(shù)列前項和公式得：，所以，，由于，，所以，，所以，中最大，由于，所以，即：解析：AD【分析】先根據(jù)題意得，，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得，，，中最大，，即：.進而得答案.【詳解】解：根據(jù)等差數(shù)列前項和公式得：，所以，，由于，，所以，，所以，中最大，由于，所以，即：.故AD正確，BC錯誤.故選：AD.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前項和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題.25．等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)