第一篇熱點、難點突破篇專題14空間幾何體的結(jié)構(gòu)、面積與體積（講）真題體驗感悟高考A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.設(shè)重疊后的EG與交點為故選：D.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：先證明當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為，進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當該四棱錐的體積最大時其高的值.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對角線夾角為，（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為故選：C[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式故選：C．[方法三]：利用導數(shù)求最值故選：C.【整體點評】方法一：思維嚴謹，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；方法二：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法．【答案】(1)證明詳見解析(2)（2）[方法一]：判別幾何關(guān)系[方法二]：等體積轉(zhuǎn)換連接總結(jié)規(guī)律預測考向（一）規(guī)律與預測（1）以幾何體的結(jié)構(gòu)特征為基礎(chǔ)，考查幾何體的面積體積計算為主，題型基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下；也有幾何體的面積或體積在解答題中與平行關(guān)系、垂直關(guān)系等相結(jié)合考查的情況.（2）與立體幾何相關(guān)的“數(shù)學文化”、實際問題等相結(jié)合，考查數(shù)學應用.（3）幾何體的表面積與體積是主要命題形式.有時作為解答題的一個構(gòu)成部分考查幾何體的表面積與體積，有時結(jié)合面積、體積的計算考查等積變換等轉(zhuǎn)化思想．（4）以選擇題、填空題的形式考查線線、線面、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理，對命題的真假進行判斷，屬于基礎(chǔ)題.空間中的平行、垂直關(guān)系的證明也是高考必考內(nèi)容，多出現(xiàn)在立體幾何解答題中的第（1）問，第（2）問則考查幾何體面積、體積的計算.（二）本專題考向展示考點突破典例分析考向一幾何體的面積計算【核心知識】柱體、錐體、臺體的側(cè)面積，就是各個側(cè)面面積之和；表面積是各個面的面積之和，即側(cè)面積與底面積之和.把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形，稱為它的展開圖，圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形它的表面積就是展開圖的面積.【典例分析】【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．故選：A．【答案】B故選：B..典例3.（2021·全國·高考真題）已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為________.【答案】【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進一步求出母線長，最終利用側(cè)面積公式求出答案.故答案為：.【規(guī)律方法】1.幾類空間幾何體表面積的求法(1)多面體：其表面積是各個面的面積之和．(2)旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和．(3)簡單組合體：應搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補．2.計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法.考向二幾何體的體積計算【核心知識】【典例分析】【答案】C【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出．故選：C．A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點，故選：B.【答案】BCD關(guān)于選項A:故選項A錯誤;關(guān)于選項B:故選項B正確;關(guān)于選項C:故選項C正確;關(guān)于選項D:故選項D正確.故選:BCD【總結(jié)提升】求空間幾何體體積的常用方法（1）公式法:對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進行求解.（2）割補法:若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.（3）等體積法:一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的.當一個幾何體的底面積和高較難求解時，我們可以采用等體積法進行求解.等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化法或等積變形法，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積.

考向三多面體與球相關(guān)面積、體積計算【核心知識】(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.【典例分析】A． B． C． D．【答案】A故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關(guān)系求解.A． B． C． D．【答案】B故選：B【點睛】方法點睛：確定幾何體外接球球心的依據(jù)主要有:（1）球的截面的性質(zhì),球心與截面圓圓心的連線與截面垂直，所以球心在過裁面圓圓心且與截面垂直的直線上；（2）球心在幾何體的棱的垂直平分線上，因為球心到幾何體的頂點的距離都等于球的半徑，所以球心與棱中點的連線與棱垂直.【答案】C【分析】將該四棱錐的外接球放在一個長方體內(nèi)，畫出圖形，利用已知條件找出球心，建立相應的關(guān)系式，求出外接球的半徑，利用球體表面積公式計算即可.【詳解】由題意將該四棱錐放在一個長方體的中，如圖①所示：所以它的外接圓的圓心為對角線的交點，所以，在圖①中連接，故選：C.【規(guī)律方法】1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題．2．若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題．3.幾何體的外接球一個多面體的頂點都在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.4.幾何體的內(nèi)切球求解多面體的內(nèi)切球問題，一般是將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點，多面體的各側(cè)面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑.考向四面積、體積計算的最值、范圍問題【核心知識】圖形中的最大（?。┪恢?、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性、導數(shù)．【典例分析】【答案】C【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.[方法一]：導數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，所以正四棱錐的體積的最小值為，故選：C.[方法二]：基本不等式法典例11.（2022秋·湖南長沙·高三雅禮中學?？茧A段練習）邊長為2的正方形，經(jīng)如圖所示的方式裁剪后，可圍成一個正四棱錐，則此正四棱錐的外接球的表面積的最小值為（

）【答案】B故選：B典例12.（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.【詳解】易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：考向五根據(jù)幾何體的面積、體積確定其它幾何量【核心知識】幾何體結(jié)構(gòu)特征、面積公式、體積公式．【典例分析】典例13.（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【詳解】故選：C.【點睛】本題考查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.A．2 B．4 C． D．【答案】C故選：C．A． B． C． D．【答案】B【分析】用直角三角形的一條直角邊長和面積，表示出另一條直角邊長和斜邊長，以旋轉(zhuǎn)形成的圓錐的側(cè)面積和體積的數(shù)值之比建立方程，將選項中的值代入方程，判斷解出的，，是否為有理數(shù)即可.【詳解】故選：B.考向六面積、體積計算中的實踐與數(shù)學文化問題【核心知識】數(shù)學文化問題是近年來高考命題的亮點，此類問題把數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學語言、數(shù)學思維及數(shù)學方法結(jié)合起來，可有效考查學生在新情境中對數(shù)學文化的鑒賞、對數(shù)學知識的理解、對數(shù)學方法的遷移，因此備受命題者青睞.在我國浩瀚的傳統(tǒng)文化中，有豐富的與幾何體有關(guān)的數(shù)學文化背景知識，故也成為近年高考命題的熱點.

【典例分析】【答案】C【分析】根據(jù)圓柱和圓臺的體積公式計算可得結(jié)果.故選：CA． B． C． D．【答案】A連接并延長，交球于點，連接，因為球的直徑，設(shè)球的半徑為，故選：A.【點睛】本題是立體幾何中外接球問題，要畫圖，找到球心的位置，結(jié)合解三角形等知識進行求出半徑，再求解球的表面積，其中如何求出半徑是難點；本題屬于較難題.【詳解】設(shè)球的半徑為，因為位于三角垛頂?shù)那蚺c三面都相切，所以邊上三個球的球心在該面的投影與該邊和兩個頂點形成等腰梯形，底角為，上底為，高為，【規(guī)律方法】對于數(shù)學文化、現(xiàn)實生活中所涉及的幾何模型，解題時應認真審題，從問題背景中提取相關(guān)信息并分析歸納，利用立體幾何的有關(guān)知識進行解答，最后對實際問題作出解釋，必要時要進行檢驗.考向7幾何體截面問題【核心知識】確定截面的主要依據(jù)有(1)平面的四個公理及推論．(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì)．(3)兩個平面平行的性質(zhì)．(4)球的截面的性質(zhì)．【典例分析】典例19.(2018·全國Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（）A.334B.233【答案】A【解析】分析：首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個頂點出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個正六邊形，且邊長是面的對角線的一半，應用面積公式求得結(jié)果.詳解：根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1與線AA1,A1B1,點睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問題，首要任務是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過六條棱的中點的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應用相關(guān)的公式求得結(jié)果.A． B． C． D．【答案】A【分析