幾何垂直分線重點(diǎn)練習(xí)題解在平面幾何的學(xué)習(xí)旅程中，垂直平分線是一個(gè)基礎(chǔ)而重要的概念。它不僅自身具有獨(dú)特的性質(zhì)，更是解決許多復(fù)雜幾何問題的關(guān)鍵橋梁。理解并熟練運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)，對(duì)于提升幾何推理能力至關(guān)重要。本文將結(jié)合一些重點(diǎn)練習(xí)題，深入剖析垂直平分線的應(yīng)用技巧與解題思路，希望能為同學(xué)們的學(xué)習(xí)提供有益的參考。一、核心概念與性質(zhì)回顧在進(jìn)入習(xí)題之前，我們有必要簡(jiǎn)要回顧一下垂直平分線的核心內(nèi)容，這是解題的基石。垂直平分線的定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）。垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。垂直平分線的逆定理（判定定理）：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。這兩個(gè)定理是我們解決垂直平分線相關(guān)問題的主要依據(jù)，必須深刻理解并能靈活運(yùn)用。二、重點(diǎn)練習(xí)題解（一）基礎(chǔ)作圖與性質(zhì)應(yīng)用例題1：已知線段AB，用尺規(guī)作圖法作出線段AB的垂直平分線，并說明作圖依據(jù)。解析：這是最基本的作圖題，旨在考察對(duì)垂直平分線定義和尺規(guī)作圖方法的掌握。作法如下：1.分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，以大于AB長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧（確保兩弧能夠相交）。兩弧分別在線段AB的上方和下方各交于一點(diǎn)，記為點(diǎn)C和點(diǎn)D。2.連接點(diǎn)C和點(diǎn)D，直線CD即為線段AB的垂直平分線。作圖依據(jù)：由作圖過程可知，AC=BC，AD=BD（均為所作圓弧的半徑）。根據(jù)垂直平分線的逆定理，點(diǎn)C和點(diǎn)D均在線段AB的垂直平分線上。由于兩點(diǎn)確定一條直線，故直線CD就是線段AB的垂直平分線。同時(shí)，此作圖過程也確保了CD垂直于AB且平分AB。（二）利用性質(zhì)證明線段相等例題2：如圖，在△ABC中，AB=AC，邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E。求證：EB=EC。分析：題目中明確提到了“垂直平分線”，這自然讓我們聯(lián)想到其性質(zhì)定理——垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等。這里，點(diǎn)E在AB的垂直平分線上，所以EA=EB。如果能將EB與EC聯(lián)系起來，問題即可得證。已知AB=AC，若能證明EA=EC，或者通過其他方式建立EB與EC的關(guān)系？證明：∵DE是AB的垂直平分線（已知），∴EA=EB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）。∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB（等邊對(duì)等角）。（思考：是否需要證明∠EBC=∠ECB？或者，更直接的，因?yàn)镋A=EB，所以我們只需證明EB=EC，即證明EA=EC？如何證明EA=EC？）（換個(gè)思路）∵EA=EB（已證），∴∠A=∠ABE（等邊對(duì)等角）。設(shè)∠A=x，則∠ABE=x?！逜B=AC，∴∠ABC=∠ACB=(180°-x)/2?！唷螮BC=∠ABC-∠ABE=(180°-x)/2-x=90°-(3x)/2。在△AEC中，∠A=x，∠ACE=∠ACB=(180°-x)/2，∴∠AEC=180°-∠A-∠ACE=180°-x-(180°-x)/2=(180°-x)/2。∴∠AEC=∠ACE，∴EA=EC（等角對(duì)等邊）。又∵EA=EB，∴EB=EC（等量代換）。證畢。點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了垂直平分線的性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定。解題的關(guān)鍵在于抓住“垂直平分線”這個(gè)核心條件，從而得出EA=EB，再通過角度的計(jì)算和等腰三角形的判定得出EA=EC，最終完成證明。這要求我們對(duì)基本定理的綜合應(yīng)用能力要熟練。（三）綜合應(yīng)用與幾何計(jì)算例題3：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。AB的垂直平分線DE交AB于D，交AC于E。求AE的長(zhǎng)。分析：這是一道結(jié)合了勾股定理、垂直平分線性質(zhì)和方程思想的計(jì)算題。首先，Rt△ABC的兩條直角邊已知，可以求出斜邊AB的長(zhǎng)度。DE是AB的垂直平分線，所以AE=BE。我們要求AE的長(zhǎng)，可以設(shè)AE=x，那么BE=x，而EC=AC-AE=6-x。在Rt△BCE中，BC=8，EC=6-x，BE=x，根據(jù)勾股定理可以列出關(guān)于x的方程，解方程即可求出AE的長(zhǎng)。解答：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，根據(jù)勾股定理，AB=√(AC2+BC2)=√(62+82)=√(36+64)=√100=10?！逥E是AB的垂直平分線，∴AE=BE（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）。設(shè)AE=x，則BE=x，EC=AC-AE=6-x。在Rt△BCE中，∠C=90°，根據(jù)勾股定理，得BC2+EC2=BE2，即82+(6-x)2=x2。展開得：64+36-12x+x2=x2，化簡(jiǎn)得：100-12x=0，解得：12x=100，x=100/12=25/3?！郃E的長(zhǎng)為25/3。點(diǎn)評(píng)：本題的解題思路非常典型，通過設(shè)未知數(shù)，利用垂直平分線的性質(zhì)將未知線段與已知條件通過勾股定理聯(lián)系起來，建立方程求解。這種代數(shù)方法在幾何計(jì)算中經(jīng)常用到，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解題意，找到等量關(guān)系。三、總結(jié)與提示垂直平分線的知識(shí)點(diǎn)雖然基礎(chǔ)，但在復(fù)雜的幾何問題中經(jīng)常扮演著“橋梁”的角色。通過以上例題的解析，我們可以看出：1.緊扣定義與定理：無論是作圖、證明還是計(jì)算，都必須以垂直平分線的定義、性質(zhì)定理和逆定理為根本依據(jù)。2.注重輔助線添加：有時(shí)題目中沒有直接給出垂直平分線，但可能隱含了到線段兩端距離相等的點(diǎn)，此時(shí)可以考慮作出垂直平分線這條輔助線。3.學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化與聯(lián)想：看到垂直平分線，要立刻聯(lián)想到線段相等；看到線段相等（且可能在某線段兩側(cè)），要聯(lián)想到垂直平分線的逆定理。4.綜合運(yùn)用知識(shí)：幾何問題往往不是孤立的，要善于將垂直平分線的知識(shí)與等腰三角形、直角三角形（勾股定理）等知識(shí)結(jié)合起來，