2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：與決策方法比較與分析試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______考生注意：1.請(qǐng)將所有答案寫在答題紙上，寫在試卷上無效。2.答案必須書寫工整、清晰、準(zhǔn)確。3.考試過程中不得交頭接耳，不得使用任何通訊工具。一、請(qǐng)簡述描述性統(tǒng)計(jì)推斷性統(tǒng)計(jì)的主要區(qū)別，并說明在決策分析中兩者各自扮演的角色。二、某公司考慮投資兩個(gè)項(xiàng)目A和B，市場狀況好、一般、差的發(fā)生概率分別為0.3、0.5、0.2。兩個(gè)項(xiàng)目在不同市場狀況下的預(yù)期收益（單位：萬元）如下：項(xiàng)目A：好-150，一般-50，差-100項(xiàng)目B：好-100，一般50，差-1501.若該公司只考慮期望收益，應(yīng)選擇哪個(gè)項(xiàng)目？請(qǐng)說明理由。2.若該公司風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避，你認(rèn)為期望值準(zhǔn)則是否適合此處決策？為什么？3.假設(shè)公司采用后悔值準(zhǔn)則進(jìn)行決策，應(yīng)選擇哪個(gè)項(xiàng)目？請(qǐng)計(jì)算并說明理由。4.請(qǐng)比較期望值準(zhǔn)則和后悔值準(zhǔn)則在此決策問題中的適用性。三、某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，需要檢驗(yàn)其重量是否服從正態(tài)分布且均值達(dá)到規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)（μ?=500克）。質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了10件產(chǎn)品，測得重量數(shù)據(jù)（單位：克）如下：495,505,510,498,502,508,501,497,503,506假設(shè)重量服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ未知。1.寫出檢驗(yàn)均值μ是否等于μ?=500克的假設(shè)檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)。2.采用顯著性水平α=0.05，請(qǐng)說明應(yīng)選擇哪種檢驗(yàn)方法（t檢驗(yàn)或z檢驗(yàn)），并說明理由。3.假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果拒絕了原假設(shè)，請(qǐng)解釋這個(gè)結(jié)果對(duì)工廠生產(chǎn)的實(shí)際意義。4.假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果沒有拒絕原假設(shè)，請(qǐng)解釋這個(gè)結(jié)果對(duì)工廠生產(chǎn)的實(shí)際意義。四、某公司銷售部經(jīng)理希望了解廣告投入與銷售額之間的關(guān)系，以便制定更有效的營銷策略。他收集了過去12個(gè)月的月度廣告投入（萬元）和月度銷售額（萬元）數(shù)據(jù)。通過分析，發(fā)現(xiàn)銷售額y與廣告投入x之間存在線性關(guān)系，其回歸方程為：y?=20+5x。1.解釋回歸方程中截距項(xiàng)20和斜率項(xiàng)5的經(jīng)濟(jì)含義。2.假設(shè)下一個(gè)月計(jì)劃投入廣告費(fèi)30萬元，根據(jù)回歸方程預(yù)測下一個(gè)月的銷售額是多少？3.解釋回歸分析結(jié)果在該公司決策中的潛在應(yīng)用價(jià)值。請(qǐng)結(jié)合相關(guān)系數(shù)r2（假設(shè)r2=0.65）進(jìn)行說明。五、假設(shè)某決策問題面臨四種自然狀態(tài)（θ?,θ?,θ?,θ?），三種行動(dòng)方案（a?,a?,a?）的損益值（萬元）如下：狀態(tài)θ?：a?-10,a?20,a?30狀態(tài)θ?：a?30,a?40,a?-20狀態(tài)θ?：a?50,a?-10,a?40狀態(tài)θ?：a?-20,a?10,a?601.如果決策者對(duì)未來的自然狀態(tài)一無所知，分別采用樂觀主義決策準(zhǔn)則（大中取大）、悲觀主義決策準(zhǔn)則（小中取大）和等可能性決策準(zhǔn)則（拉普拉斯準(zhǔn)則），選擇哪個(gè)行動(dòng)方案？2.如果決策者認(rèn)為狀態(tài)θ?發(fā)生的可能性為0.2，狀態(tài)θ?發(fā)生的可能性為0.3，狀態(tài)θ?發(fā)生的可能性為0.4，狀態(tài)θ?發(fā)生的可能性為0.1，請(qǐng)計(jì)算按期望值準(zhǔn)則選擇哪個(gè)行動(dòng)方案？3.請(qǐng)比較決策樹分析在這種情況下是否適用？為什么？六、某農(nóng)場考慮是否種植新品種A作物。已知該品種作物的產(chǎn)量可能受氣候影響較大。如果天氣好，產(chǎn)量高，可獲利1000元；如果天氣一般，產(chǎn)量中，可獲利500元；如果天氣差，產(chǎn)量低，則可能虧損300元。根據(jù)氣象部門預(yù)測，未來一年天氣好的概率為0.6，天氣一般的概率為0.3，天氣差的概率為0.1。1.計(jì)算種植該品種作物方案的期望收益。2.假設(shè)農(nóng)場可以選擇購買天氣保險(xiǎn)，保險(xiǎn)費(fèi)用為200元。如果購買了保險(xiǎn)，無論天氣如何，農(nóng)場都能保證至少獲得400元的收益。請(qǐng)計(jì)算購買保險(xiǎn)方案的期望收益。3.請(qǐng)比較種植作物方案和購買保險(xiǎn)方案的優(yōu)劣，并說明在何種情況下農(nóng)場可能選擇種植作物，在何種情況下農(nóng)場可能選擇購買保險(xiǎn)。七、假設(shè)某投資者需要在兩種資產(chǎn)X和Y之間進(jìn)行投資。資產(chǎn)X的預(yù)期年收益率μ?=12%，標(biāo)準(zhǔn)差σ?=8%；資產(chǎn)Y的預(yù)期年收益率μ?=18%，標(biāo)準(zhǔn)差σ?=15%。兩種資產(chǎn)的收益率相關(guān)系數(shù)ρ=0.4。該投資者計(jì)劃將總投資額的W?比例投資于資產(chǎn)X，剩余的W?比例投資于資產(chǎn)Y，且W?+W?=1。1.寫出該投資組合的預(yù)期年收益率E(Rp)的表達(dá)式。2.寫出該投資組合的方差Var(Rp)的表達(dá)式。3.假設(shè)投資者希望最小化投資組合的風(fēng)險(xiǎn)（方差），同時(shí)要求投資組合的預(yù)期收益率至少為15%。請(qǐng)說明該投資者的投資組合存在解嗎？為什么？八、綜合分析題：某連鎖超市希望優(yōu)化其某類產(chǎn)品的訂貨量決策。該產(chǎn)品每件進(jìn)價(jià)10元，售價(jià)20元，如果未售出則每件需報(bào)廢處理，處理費(fèi)用為進(jìn)價(jià)的50%（即損失5元）。根據(jù)歷史銷售數(shù)據(jù)，該產(chǎn)品每日需求量近似服從參數(shù)λ=15的泊松分布。1.如果超市當(dāng)天訂貨1件，計(jì)算其期望利潤是多少？2.如果超市當(dāng)天訂貨2件，計(jì)算其期望利潤是多少？3.請(qǐng)解釋泊松分布在此問題中的適用性。4.假設(shè)超市希望通過統(tǒng)計(jì)方法來輔助決策，例如使用過去幾天的平均銷售量作為需求量的估計(jì)。請(qǐng)簡述如何利用統(tǒng)計(jì)估計(jì)來輔助訂貨量的決策，并說明可能存在的局限性。試卷答案一、描述統(tǒng)計(jì)主要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、展示和描述，揭示數(shù)據(jù)的基本特征和分布規(guī)律，但不進(jìn)行推斷。推斷統(tǒng)計(jì)基于樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)，試圖從樣本信息推斷總體性質(zhì)。在決策分析中，描述統(tǒng)計(jì)用于呈現(xiàn)與決策相關(guān)的數(shù)據(jù)特征，為決策提供背景信息；推斷統(tǒng)計(jì)用于根據(jù)樣本信息對(duì)決策方案的效果或不確定性進(jìn)行評(píng)估和預(yù)測，為決策提供概率性依據(jù)和風(fēng)險(xiǎn)判斷。二、1.項(xiàng)目A的期望收益=0.3*(-150)+0.5*(-50)+0.2*(-100)=-60-25-20=-105萬元。項(xiàng)目B的期望收益=0.3*(-100)+0.5*50+0.2*(-150)=-30+25-30=-35萬元。由于項(xiàng)目B的期望收益（-35萬元）大于項(xiàng)目A的期望收益（-105萬元），若只考慮期望收益，應(yīng)選擇項(xiàng)目B。2.期望值準(zhǔn)則假設(shè)決策者追求期望收益最大化，適用于風(fēng)險(xiǎn)中性或風(fēng)險(xiǎn)追求的決策者。該公司的決策者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避，意味著其更關(guān)注避免最大損失，因此期望值準(zhǔn)則不一定適合。風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避決策者可能更傾向于使用最小后悔值準(zhǔn)則或考慮其他包含風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整的決策方法。3.計(jì)算每種狀態(tài)下的后悔值矩陣（最大收益值減去該狀態(tài)下的實(shí)際收益值）：狀態(tài)θ?：a?maxregret=max(-10,20,30)-(-10)=40；a?=max(-10,20,30)-20=30；a?=max(-10,20,30)-30=0。狀態(tài)θ?：a?=max(30,40,-20)-30=10；a?=max(30,40,-20)-40=0；a?=max(30,40,-20)-(-20)=60。狀態(tài)θ?：a?=max(50,-10,40)-50=0；a?=max(50,-10,40)-(-10)=60；a?=max(50,-10,40)-40=10。狀態(tài)θ?：a?=max(-20,10,60)-(-20)=80；a?=max(-20,10,60)-10=50；a?=max(-20,10,60)-60=10。后悔值矩陣：|40|30|0|80||10|0|60|50||0|60|10|10|找到每行中的最小后悔值：min(40,30,0,80)=0,min(10,0,60,50)=0,min(0,60,10,10)=0,min(80,50,10,10)=10。最小后悔值對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案是a?。因此，采用后悔值準(zhǔn)則，應(yīng)選擇項(xiàng)目B。4.期望值準(zhǔn)則選擇收益期望值最高的方案B，假設(shè)主要關(guān)注未來平均收益。后悔值準(zhǔn)則選擇后悔值最小的方案A，假設(shè)決策者更擔(dān)心因決策失誤而造成的最大潛在損失（雖然在此例中A的期望收益最低）。兩者適用性取決于決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好和決策目標(biāo)。期望值準(zhǔn)則適用于風(fēng)險(xiǎn)中性或追求長期平均績效的決策者；后悔值準(zhǔn)則適用于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避或更關(guān)注避免最壞結(jié)果的決策者。比較分析表明，對(duì)于同一問題，不同決策準(zhǔn)則可能導(dǎo)向不同決策，反映了決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益的不同態(tài)度。三、1.H?:μ=500(總體均值等于500克)H?:μ≠500(總體均值不等于500克)2.由于總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知，且樣本量n=10較?。╪<30），應(yīng)采用t檢驗(yàn)。3.拒絕H?意味著有統(tǒng)計(jì)證據(jù)表明總體均值μ顯著不等于500克。實(shí)際意義是，質(zhì)檢數(shù)據(jù)支持認(rèn)為當(dāng)前產(chǎn)品的平均重量偏離了規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)，工廠可能需要檢查生產(chǎn)過程是否存在問題，并進(jìn)行調(diào)整以確保產(chǎn)品質(zhì)量達(dá)標(biāo)。4.沒有拒絕H?意味著目前沒有足夠的統(tǒng)計(jì)證據(jù)表明總體均值μ顯著不等于500克。實(shí)際意義是，現(xiàn)有證據(jù)支持認(rèn)為當(dāng)前產(chǎn)品的平均重量是符合規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)的，工廠可以繼續(xù)維持當(dāng)前生產(chǎn)狀態(tài)，但需注意持續(xù)監(jiān)控產(chǎn)品質(zhì)量。四、1.截距項(xiàng)20表示，當(dāng)廣告投入x為0萬元時(shí)，預(yù)測的銷售額y?為20萬元。這可以理解為即使沒有廣告投入，公司仍有一個(gè)基礎(chǔ)的銷售額，可能來自其他渠道或品牌效應(yīng)。斜率項(xiàng)5表示，廣告投入每增加1萬元，預(yù)測的銷售額將增加5萬元。這反映了廣告投入對(duì)銷售額的直接影響程度，即每萬元廣告投入帶來的邊際銷售額。2.預(yù)測銷售額y?=20+5*30=20+150=170萬元。3.回歸分析結(jié)果可以幫助公司量化廣告投入對(duì)銷售額的影響。r2=0.65表明廣告投入解釋了銷售額變異的65%，說明廣告投入是影響銷售額的重要因素。結(jié)合回歸方程，公司可以預(yù)測不同廣告投入水平下的銷售額，評(píng)估廣告活動(dòng)的效果，并據(jù)此制定更科學(xué)的廣告預(yù)算和投放策略。例如，通過計(jì)算投入廣告的邊際收益（5萬元）與邊際成本（廣告投入費(fèi)用），判斷廣告投入是否經(jīng)濟(jì)合理。五、1.樂觀主義決策準(zhǔn)則（大中取大）：選擇各行動(dòng)方案在所有狀態(tài)下的最大收益值，分別為a?max(30,50,50,-20)=50,a?max(-10,40,-10,10)=40,a?max(30,-20,40,60)=60。選擇最大值中的最大值60，對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案是a?。悲觀主義決策準(zhǔn)則（小中取大）：選擇各行動(dòng)方案在所有狀態(tài)下的最小收益值，分別為a?min(30,50,50,-20)=-20,a?min(-10,40,-10,10)=-10,a?min(30,-20,40,60)=-20。選擇最大值中的最大值-10，對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案是a?。等可能性決策準(zhǔn)則（拉普拉斯準(zhǔn)則）：假設(shè)每種狀態(tài)發(fā)生的概率相等，即P(θ?)=P(θ?)=P(θ?)=P(θ?)=1/4。計(jì)算各行動(dòng)方案的期望收益：a?E(R)=(-20+50+50-20)/4=60/4=15；a?E(R)=(-10+40-10+10)/4=30/4=7.5；a?E(R)=(30-20+40+60)/4=110/4=27.5。選擇最大期望收益27.5，對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案是a?。2.按期望值準(zhǔn)則計(jì)算：E(a?)=0.2*(-20)+0.3*30+0.4*50+0.1*(-20)=-4+9+20-2=23萬元。E(a?)=0.2*(-10)+0.3*40+0.4*(-10)+0.1*10=-2+12-4+1=7萬元。E(a?)=0.2*30+0.3*(-20)+0.4*40+0.1*60=6-6+16+6=22萬元。選擇期望值最大的行動(dòng)方案a?，其期望收益為23萬元。3.決策樹分析適用于需要按順序或階段做出決策，并且每個(gè)階段的決策結(jié)果會(huì)影響后續(xù)階段決策的情況。本題描述的是一個(gè)單階段決策問題，只涉及選擇一個(gè)行動(dòng)方案，結(jié)果取決于不確定的自然狀態(tài)。雖然存在不確定性，但決策樹主要用于展示不同路徑的期望結(jié)果，對(duì)于這種只需選擇單一方案的決策，使用決策樹可能顯得有些冗余。更直接的方法是直接計(jì)算各方案的期望收益（如第2問所示），并根據(jù)期望值準(zhǔn)則進(jìn)行選擇。當(dāng)然，如果問題稍微復(fù)雜，例如需要比較多個(gè)階段的決策，決策樹會(huì)非常有用。六、1.種植作物方案的期望收益E(種植)=0.6*1000+0.3*500+0.1*(-300)=600+150-30=720元。2.購買保險(xiǎn)方案的期望收益E(保險(xiǎn))=[0.6*(400-200)+0.3*(400-200)+0.1*(400-200)]=0.6*200+0.3*200+0.1*200=200+60+20=280元。3.比較兩方案的期望收益：E(種植)=720元，E(保險(xiǎn))=280元。由于E(種植)>E(保險(xiǎn))，從期望收益角度看，種植作物方案更優(yōu)。然而，決策選擇還取決于決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好。種植作物方案的收益波動(dòng)較大（可能獲利1000元，也可能虧損300元），具有較高風(fēng)險(xiǎn)。購買保險(xiǎn)方案雖然期望收益較低，但無論天氣如何，都能保證至少獲得400元的收益，風(fēng)險(xiǎn)顯著降低。*如果決策者是風(fēng)險(xiǎn)中性或風(fēng)險(xiǎn)追求者，且非?？粗仄骄找妫赡軙?huì)選擇種植作物方案。*如果決策者是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者，更關(guān)心避免重大損失，希望獲得穩(wěn)定的收益，可能會(huì)選擇購買保險(xiǎn)方案。七、1.E(Rp)=W?*E(R?)+W?*E(R?)=W?*μ?+W?*μ?。2.Var(Rp)=W?2*Var(R?)+W?2*Var(R?)+2*W?*W?*Cov(R?,R?)=W?2*σ?2+W?2*σ?2+2*W?*W?*ρ*σ?*σ?。3.投資組合方差Var(Rp)=W?2*82+W?2*152+2*W?*W?*0.4*8*15=64W?2+225W?2+96W?W?。要求預(yù)期收益率至少為15%，即E(Rp)≥15，即W?*12+W?*18≥15。要求最小化方差，即最小化f(W?,W?)=64W?2+225W?2+96W?W?，且滿足約束條件W?+W?=1和W?*12+W?*18≥15。由約束W?+W?=1可得W?=1-W?。將其代入預(yù)期收益率約束：W?*12+(1-W?)*18≥15=>12W?+18-18W?≥15=>-6W?≥-3=>W?≤0.5。將W?=1-W?代入方差表達(dá)式：Var(Rp)=64W?2+225(1-W?)2+96W?(1-W?)=64W?2+225(1-2W?+W?2)+96W?-96W?2=64W?2+225-450W?+225W?2+96W?-96W?2=(64+225-96)W?2+(-450+96)W?+225=193W?2-354W?+225。要最小化此關(guān)于W?的二次函數(shù)，其開口向上，最小值在頂點(diǎn)處取得。頂點(diǎn)W?=-(-354)/(2*193)=354/386=177/193≈0.9171。但是，此頂點(diǎn)W?≈0.9171不滿足約束條件W?≤0.5。因此，最小化方差的解必須落在約束條件的邊界上。當(dāng)W?=0.5時(shí)，W?=1-0.5=0.5。此時(shí)E(Rp)=0.5*12+0.5*18=6+9=15，滿足預(yù)期收益率約束。當(dāng)W?<0.5時(shí)，例如W?=0.4，W?=0.6。此時(shí)E(Rp)=0.4*12+0.6*18=4.8+10.8=15.6，滿足約束。當(dāng)W?>0.5時(shí)，例如W?=0.6，W?=0.4。此時(shí)E(Rp)=0.6*12+0.4*18=7.2+7.2=14.4，不滿足約束。因此，在約束條件下，方差最小的解（同時(shí)滿足收益率下限）確實(shí)存在，當(dāng)且僅當(dāng)W?=0.5且W?=0.5時(shí)。此時(shí)投資組合的預(yù)期收益為15萬元，方差為Var(Rp)=193*(0.5)2-354*(0.5)+225=48.25-177+225=96.25。八、1.若訂貨1件：*需求量D=1：售出1件，利潤=20-10=10元。期望利潤=10*P(D=1)=10*(15/21)=10*5/7=50/7元。*需求量D>1：售出0件，利潤=-5元。期望利潤=-5*P(D>1)=-5*(6/21)=-30/7元。總期望利潤=50/7-30/7=20/7元≈2.86元。2.若訂貨2件：*需求量D=2：售出2件，利潤=2*(20-10)=20元。期望利潤=20*P(D=2)=20*(105/21*21/21)=20*5/7=100/7元。