專題11三角恒等與解三角形綜合必刷大題100題任務(wù)一:善良模式(基礎(chǔ))140題【分析】（1）利用等差數(shù)列以及三角形內(nèi)角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的最值求解即可．【詳解】（1）由角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，得2B＝A＋C．【分析】【詳解】（1）由題意，（1）求角A；【分析】【詳解】（2）求的長(zhǎng).【分析】【詳解】由余弦定理，得（1）求角C的值；【分析】（1）根據(jù)正弦定理，將角化為邊的表達(dá)形式；結(jié)合余弦定理即可求得角C的值．（2）由余弦定理求得與的關(guān)系，結(jié)合不等式即可求得c的最小值，即可得到的值，進(jìn)而求得三角形面積．【詳解】又∵C是三角形的內(nèi)角，∴c的最小值為2，【分析】【詳解】（1）求的大?。弧敬鸢浮浚?）；（2）8.【分析】（1）利用三角形ABC的面積相等，求出的大?。弧驹斀狻俊痉治觥俊驹斀狻浚á瘢┣蠼堑拇笮?；【分析】【詳解】【分析】【詳解】【分析】【詳解】（1）求角的值；【分析】【詳解】【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）6【分析】【詳解】（1）求B；（2）若△ABC的面積等于，求△ABC的周長(zhǎng)的最小值．【分析】（2）因?yàn)锽已知，所以求面積的最小值即為求ac的最小值，結(jié)合余弦定理和基本不等式可以求得．【詳解】（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；【分析】【詳解】（1）求的長(zhǎng)；【答案】（1）1；（2）5.【分析】【詳解】（1）求B；【分析】【詳解】【分析】【詳解】（1）求角；【分析】（2）由向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)及基本不等式可求的范圍，進(jìn)而可求面積的最大值．【詳解】∴為的中點(diǎn)，【答案】（1）；（2）1【分析】【詳解】（1）求內(nèi)角的大??；【分析】【詳解】(1)求角的大小;【答案】（1）；（2）【分析】【詳解】【分析】【詳解】（1）求角的大?。弧痉治觥浚?）根據(jù)正弦定理和余弦定理求出角的大??；【詳解】(1)求角C；【答案】(1)(2)【分析】(1)利用二倍角的余弦公式、三角形內(nèi)角和定理、對(duì)已知聽(tīng)等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后通過(guò)解方程可以得到角C的余弦值，結(jié)合三角形的性質(zhì)求出；【詳解】（1）求角的大?。弧痉治觥俊驹斀狻俊痉治觥俊驹斀狻浚?）求的最小正周期；【分析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式的平方和關(guān)系、降冪公式、輔助角公式把函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)解析形式,最后根據(jù)最小正周期公式求出函數(shù)的最小正周期；【詳解】【另解】接（＊）式（1）求；【分析】【詳解】又其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，【分析】【詳解】【解析】【分析】【詳解】（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降冪公式、以及輔助角公式可以函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式的形式，最后利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；【詳解】（Ⅰ）求角的大小；【分析】（Ⅰ）運(yùn)用正弦定理實(shí)現(xiàn)角邊轉(zhuǎn)化，然后利用余弦定理，求出角的大小；【詳解】（II）方法1：由（I）及，得【答案】見(jiàn)解析【分析】選擇①：利用三角形面積公式和余弦定理可以求接求出的長(zhǎng)；【詳解】解：選擇①：由余弦定理可得選擇②（1）求；【答案】（2）【分析】（1）選①，利用正弦定理的邊角互化以及誘導(dǎo)公式可求解；選②，利用正弦定理的邊角互化即可求解；選③，利用正弦定理的邊角互化以及兩角差的正弦公式即可求解.（1）（2）由余弦定理可得所以的最小值為.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，已知___．（1）求角C的值；【答案】（1）答案不唯一，見(jiàn)解析（2）2【分析】（1）可得：sin（C+）＝1，因?yàn)镃∈（0，π），C+∈（，），所以C+＝，可得C＝．（2）（1）求角；注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【分析】（1）選條件①：利用正弦定理的邊角互化即可求解；選條件②：利用正弦定理的邊角互化以及余弦定理即可求解；選條件③：利用正弦定理的邊角互化以及三角形的內(nèi)角和性質(zhì)即可求解.【詳解】解：（1）方案一：選條件①方案二：選條件②方案三：選條件③【分析】【詳解】【答案】3【分析】【詳解】【分析】【詳解】任務(wù)二:中立模式(中檔)140題（1）求角A的大??；【答案】【分析】（1）（2）（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；【答案】（2）【分析】（1）由二倍角公式、兩角和的正弦公式化函數(shù)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，由對(duì)稱軸求得，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解；（1）（2）（1）求角的大小；【答案】【分析】（1）由正弦定理化邊為角，然后由誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式展開(kāi)后可求得角；（1）（2）（1）求A的值；【答案】（1）【分析】（2）利用正弦定理結(jié)合已知條件將問(wèn)題中的邊化為角，再根據(jù)三角恒等變換及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后結(jié)合角的范圍即可求解.（1）（2）【答案】（1）【分析】（1）（2）【答案】【分析】（1）（2）（1）求角的大?。弧敬鸢浮俊痉治觥浚?）根據(jù)正弦定理邊角互化，并結(jié)合余弦定理和恒等變換公式計(jì)算，求出角的大??；（1）（2）【答案】（1）2【分析】（1）①②聯(lián)立得，（2）（1）求；【答案】（2）【分析】（1）（2）【答案】（1）證明見(jiàn)解析【分析】（1）方案一：選條件①方案二：選條件②（2）方案一：選條件①方案二：選條件②（1）求角；【答案】（1）；（2）.【分析】（1）若選條件①，利用正弦定理邊化角公式以及兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求出的值；（1）（2）【答案】答案見(jiàn)解析.【分析】【詳解】若選擇條件①若選擇條件②【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）（2）（1）求；【答案】【分析】（1）先用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而用正弦定理進(jìn)行角化邊，最后用余弦定理解得答案；（2）用面積公式，結(jié)合正弦定理即可得到答案.（1）（2）（1）求角的大??；【答案】【分析】（1）（2）為銳角【答案】（2）【分析】（1）（2）17．在平面四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝2，AD＝3．（1）證明：3cosA－4cosC＝1；（2）記△ABD與△BCD的面積分別為S1，S2，求S12＋S22的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）（2）（1）求角A的大??；【答案】【分析】（1）（2）【分析】【詳解】如圖，設(shè)邊上的中垂線垂足為點(diǎn)，如圖，設(shè)邊上的中垂線垂足為點(diǎn)，如圖，設(shè)邊上的中垂線垂足為點(diǎn)，（1）求角A的大?。弧敬鸢浮俊痉治觥浚?）利用余弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可的解；（2）利用正弦定理求得邊，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.（1）（2）（1）求角的大?。弧敬鸢浮浚?）【分析】（1）（2）（1）求角的大??；【答案】（2）或1【分析】（1）（2）所以的值為或1．【答案】（1）（2）不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（2）先假設(shè)存在，結(jié)合已知條件求出和，然后即可判斷是否存在.（1）（2）即不可能是的中點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式及其減區(qū)間；【答案】【分析】（1）由二倍角公式，兩角差的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后由對(duì)稱軸間距離求得周期得，由奇函數(shù)性質(zhì)得，從而得解析式，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得減區(qū)間；（1）（2）【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）（2）【答案】（1）【分析】（1）（2）【答案】【分析】（1）（2）（1）求角的大?。弧敬鸢浮浚?）【分析】（1）（2）【答案】（1）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由正弦定理和余弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式，可得證明；（2）由余弦定理可得的范圍，再由三角形的面積公式可得關(guān)于的函數(shù)，由二次函數(shù)的值域可得的范圍，再由不等式恒成立思想可得所求范圍．（1）（2）（1）求；注：如果選擇不同的條件分別解答，按照第一種選擇的解答計(jì)分．【分析】（1）選定條件分別使用正弦定理和余弦定理求得.【詳解】解：（1）若選條件①：若選條件②：【答案】9【分析】【詳解】【分析】【詳解】【分析】【詳解】（1）求的大小；【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】【分析】（1）由余弦定理求出BC，由此能求出△ABC的面積．【詳解】【分析】選①，利用正弦定理邊化角，得出角，再結(jié)合基本不等式即可求出取值范圍；選②，利用正弦定理角化邊，得出角，再結(jié)合基本不等式即可求出取值范圍；選③，將三角形面積公式和數(shù)量積公式代入化簡(jiǎn)得出角，再結(jié)合基本不等式即可求出取值范圍.【詳解】（1）求的大??；【分析】【詳解】（1）求的長(zhǎng)；【分析】【詳解】設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，________．（1）求角B的大小；（2）若b＝2，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．【分析】（1）選①：利用正弦定理邊化角，同時(shí)結(jié)合三角形內(nèi)的隱含條件及變名的誘導(dǎo)公式即可求出sin＝，從而求出Β＝；選②：利用余弦定理角化邊，同時(shí)結(jié)合三角形內(nèi)的隱含條件即可求出；【詳解】所以cos＝2sincos，所以sin＝，又因?yàn)?＜＜，所以＝，即Β＝.若選③，由正弦定理，得2sinC－sinA＝2sinBcosA，（2）由(1)可得B＝，若b＝2，又a＋c＞b＝2，所以2＜a＋c≤4，即4＜a＋b＋c≤6，所以△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為(4，6].（1）求出山高BE（結(jié)果保留整數(shù)）；【分析】【詳解】任務(wù)三:邪惡模式(困難)120題【答案】（1）【分析】（1）（2）∴BD的長(zhǎng)為，AC的長(zhǎng)為1．∴BD的長(zhǎng)為，AC的長(zhǎng)為1．【答案】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)求解即可；（1）（2）解：存在．（1）求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；【答案】（2）【分析】（1）利用恒等變換化簡(jiǎn)后，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）利用圖象變換法則求得g(x)的函數(shù)表達(dá)式，解方程求得g(x)的值，利用換元思想，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析求得.（1）圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，（2）【答案】【分析】（1）（2）（1）求的長(zhǎng)；【分析】（1）在三角形ABD中，利用余弦定理求出的長(zhǎng)；【詳解】∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓如圖所示：在AC上取點(diǎn)E，使得∠CBE=∠DBA，又∵∠BCE=∠BDA①+②得：當(dāng)AC為圓的直徑時(shí)，最大【分析】【詳解】（1）求的大??；【分析】【詳解】（2）若要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條由線段，，和組成的觀光道路，則當(dāng)為何值時(shí)，觀光道路的總長(zhǎng)l最長(zhǎng)，并求出l的最大值.【分析】【詳解】（1）當(dāng)，重合時(shí)，求路燈在路面的照明寬度；（2）求此路燈在路面上的照明寬度的最小值．【分析】【詳解】（1）當(dāng)，重合時(shí)，（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；【分析】【詳解】【答案】（1）；（2）12【分析】【詳解】【分析】【詳解】綜上所述，存在實(shí)數(shù)和滿足題設(shè)條件：13．如圖，在半徑為，圓心角為60°的扇形的弧上任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)N，M在OB上，設(shè)矩形PNMQ的面積為y.（1）按下列要求寫(xiě)出函數(shù)的關(guān)系式：①設(shè)PN＝x，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)∠POB＝θ，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求出y的最大值.【分析】【詳解】（1）①因?yàn)镻N＝QM=x，因?yàn)辄c(diǎn)P在扇形的弧上，②因?yàn)椤螾OB＝θ，因?yàn)辄c(diǎn)P在扇形的弧上，【分析】【詳解】（i）求角C，（ii）求的值；（2）求的取值范圍.【分析】【詳解】(2)問(wèn)取何值時(shí)，污水凈化效果最