2025年教師數(shù)學招考試題及答案

一、單項選擇題1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.\(y=x+1\)B.\(y=-x^3\)C.\(y=x|x|\)D.\(y=\frac{1}{x}\)答案：C2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(m,-4)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則實數(shù)\(m\)的值為（）A.-2B.2C.-8D.8答案：A3.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(a_3=5\)，\(S_9=81\)，則\(a_7\)等于（）A.18B.13C.9D.7答案：B4.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\tan\alpha\)的值為（）A.\(\frac{3}{4}\)B.\(-\frac{3}{4}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(-\frac{4}{3}\)答案：B5.拋物線\(y^2=8x\)的焦點到準線的距離是（）A.1B.2C.4D.8答案：C6.函數(shù)\(y=\log_2(x^2-3x+2)\)的定義域為（）A.\((1,2)\)B.\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)C.\([1,2]\)D.\((-\infty,1]\cup[2,+\infty)\)答案：B7.若\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，則\(z=3x-y\)的最大值為（）A.1B.3C.5D.7答案：C8.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的偶函數(shù)，且在\((-\infty,0]\)上單調(diào)遞減，若\(f(2)=0\)，則不等式\(xf(x)\lt0\)的解集為（）A.\((-2,0)\cup(2,+\infty)\)B.\((-\infty,-2)\cup(0,2)\)C.\((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\)D.\((-2,0)\cup(0,2)\)答案：B9.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)這\(5\)個數(shù)字中任取\(3\)個不同的數(shù)字組成一個三位數(shù)，則這個三位數(shù)是偶數(shù)的概率為（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：B10.已知函數(shù)\(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)(A\gt0,\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)的部分圖象如圖所示，則\(f(x)\)的解析式為（）A.\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)B.\(f(x)=2\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)C.\(f(x)=2\sin(x+\frac{\pi}{6})\)D.\(f(x)=2\sin(x-\frac{\pi}{6})\)答案：A二、多項選擇題1.下列說法正確的是（）A.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)B.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-d\gtb-c\)C.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(ac\gtbd\)D.若\(a\gtb\gt0\)，\(c\lt0\)，則\(\frac{c}{a}\gt\frac{c}\)答案：BD2.已知直線\(l_1\)：\(ax+2y+6=0\)和直線\(l_2\)：\(x+(a-1)y+a^2-1=0\)，則下列說法正確的是（）A.若\(l_1\parallell_2\)，則\(a=-1\)或\(a=2\)B.若\(l_1\perpl_2\)，則\(a=\frac{2}{3}\)C.當\(a=2\)時，\(l_1\)與\(l_2\)重合D.當\(a=-1\)時，\(l_1\parallell_2\)答案：BD3.已知函數(shù)\(f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)，則下列說法正確的是（）A.\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)B.\(f(x)\)的圖象關于點\((\frac{5\pi}{12},0)\)對稱C.\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{3}]\)上單調(diào)遞增D.\(f(x)\)的圖象關于直線\(x=\frac{\pi}{6}\)對稱答案：AC4.已知圓\(C\)：\((x-1)^2+(y-2)^2=25\)，直線\(l\)：\((2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0\)，則下列說法正確的是（）A.直線\(l\)恒過定點\((3,1)\)B.直線\(l\)與圓\(C\)相交C.當直線\(l\)被圓\(C\)截得的弦長最短時，直線\(l\)的方程為\(2x-y-5=0\)D.直線\(l\)被圓\(C\)截得的最長弦長為\(10\)答案：ABCD5.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)\(f(x)\)有兩個極值點B.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([-1,2]\)上的最大值為\(2\)C.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增D.函數(shù)\(f(x)\)的圖象關于點\((1,0)\)對稱答案：ABC6.已知雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的左、右焦點分別為\(F_1\)，\(F_2\)，過\(F_2\)的直線與雙曲線的右支交于\(A\)，\(B\)兩點，若\(\triangleABF_1\)是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為（）A.\(\sqrt{3}\)B.\(\sqrt{5}\)C.\(\sqrt{7}\)D.\(2\)答案：AC7.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)分別為\(\triangleABC\)內(nèi)角\(A\)，\(B\)，\(C\)的對邊，\(\sinA\sinB\sinC=\frac{1}{8}\)，且\(\triangleABC\)面積\(S=2\)，則下列說法正確的是（）A.\(abc=16\)B.若\(a=2\)，則\(A=\frac{\pi}{3}\)C.\(\triangleABC\)外接圓半徑\(R=2\sqrt{2}\)D.\(\cosA+\cosB+\cosC\geqslant\frac{3}{2}\)答案：ACD8.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則下列說法正確的是（）A.\(xy\)的最大值為\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為\(4\)C.\(x^2+y^2\)的最小值為\(\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)的最大值為\(\sqrt{2}\)答案：ABCD9.已知函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\(R\)，其導函數(shù)為\(f^\prime(x)\)，若\(f^\prime(x)-f(x)\lt1\)，且\(f(0)=1\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(f(1)\lte\)B.\(f(1)\gte\)C.\(f(x)\lte^x\)D.\(f(x)\gte^x-2\)答案：AD10.已知集合\(A=\{x|x^2-3x-4\leqslant0\}\)，\(B=\{x|x^2-2mx+m^2-9\leqslant0\}\)，\(m\inR\)，則下列說法正確的是（）A.當\(m=1\)時，\(A\capB=[-1,4]\)B.若\(A\subseteqB\)，則\(m\in[1,2]\)C.若\(A\capB=\varnothing\)，則\(m\in(-\infty,-4)\cup(7,+\infty)\)D.若\(A\cupB=B\)，則\(m\in[-1,4]\)答案：BC三、判斷題1.若直線\(l\)的斜率\(k=\tan\alpha\)，則直線\(l\)的傾斜角為\(\alpha\)。（×）2.若\(\vec{a}\cdot\vec=\vec{a}\cdot\vec{c}\)，則\(\vec=\vec{c}\)。（×）3.函數(shù)\(y=\sinx\)在區(qū)間\([0,\pi]\)上的圖象與\(x\)軸圍成的面積為\(0\)。（×）4.若函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導，且\(f^\prime(x)\gt0\)，則函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上單調(diào)遞增。（√）5.若等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公比\(q\gt1\)，則數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)為遞增數(shù)列。（×）6.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(zhòng)(c\)為橢圓的半焦距。（√）7.若函數(shù)\(y=f(x)\)是奇函數(shù)，則\(f(0)=0\)。（×）8.若\(a\gtb\gt0\)，則\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)。（√）9.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為實數(shù)，若\(ac^2\gtbc^2\)，則\(a\gtb\)。（√）10.函數(shù)\(y=\log_2(x^2+1)\)的值域為\([0,+\infty)\)。（√）四、簡答題1.求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\)的單調(diào)區(qū)間和極值。答案：對\(f(x)\)求導得\(f^\prime(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，解得\(x=-1\)或\(x=3\)。當\(x\lt-1\)時，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；當\(-1\ltx\lt3\)時，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；當\(x\gt3\)時，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增。所以\(f(x)\)的極大值為\(f(-1)=10\)，極小值為\(f(3)=-22\)。單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,-1)\)和\((3,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((-1,3)\)。2.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式。答案：由\(a_{n+1}=2a_n+1\)可得\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)。則\(\frac{a_{n+1}+1}{a_n+1}=2\)。又\(a_1+1=2\)，所以數(shù)列\(zhòng)(\{a_n+1\}\)是以\(2\)為首項，\(2\)為公比的等比數(shù)列。根據(jù)等比數(shù)列通項公式可得\(a_n+1=2\times2^{n-1}=2^n\)，所以\(a_n=2^n-1\)。3.已知圓\(C\)經(jīng)過點\(A(1,1)\)，\(B(2,-2)\)，且圓心\(C\)在直線\(l\)：\(x-y+1=0\)上，求圓\(C\)的方程。答案：設圓\(C\)的圓心坐標為\((a,b)\)，半徑為\(r\)。因為圓心\(C\)在直線\(x-y+1=0\)上，所以\(a-b+1=0\)①。又\((a-1)^2+(b-1)^2=(a-2)^2+(b+2)^2\)②。由②得\(a^2-2a+1+b^2-2b+1=a^2-4a+4+b^2+4b+4\)，化簡得\(2a-6b=6\)③。聯(lián)立①③，解得\(a