專題06一元二次方程實(shí)際問題八大題型題型一：傳播問題題型二：增長(zhǎng)率問題題型三：圖形問題題型四：數(shù)字問題題型五：銷售利潤(rùn)問題題型六：動(dòng)態(tài)幾何問題題型七：握手循環(huán)問題題型八：圖表信息問題題型一：傳播問題1．現(xiàn)在是流感多發(fā)季，假設(shè)有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患了流感，請(qǐng)問各位同學(xué)，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染（

）人A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染人，經(jīng)過一輪傳染有人患病，經(jīng)過兩輪傳染有人患病，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染人，根據(jù)題意可得，整理得，∴，∴或（不合題意，舍去）∴每輪傳染中平均一個(gè)人傳染人．故選：B．2．有4人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有196人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)相同，則三輪傳染后有（）人得了流感.A．1372 B．343 C．1512 D．2744【答案】A【分析】本題考查了運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題．設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，根據(jù)初始4人經(jīng)過兩輪傳染后總?cè)藬?shù)為196，建立方程求解x，再計(jì)算三輪后的總?cè)藬?shù)．正確的列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，則每輪傳染后患病總?cè)藬?shù)是上一輪的倍，根據(jù)題意得，，，，，（舍去），∴每輪傳染中平均每人傳染6人，則三輪傳染后得流感的人數(shù)為（人）．故選：A．3．某村為提高當(dāng)?shù)亍按濉笨倹Q賽的熱度，發(fā)起了邀請(qǐng)好友轉(zhuǎn)發(fā)海報(bào)得門票的活動(dòng)．小方從公眾號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)鏈接給自己后，又轉(zhuǎn)發(fā)給個(gè)好友，收到鏈接的每個(gè)好友又轉(zhuǎn)發(fā)給個(gè)互不相同的人，此時(shí)小方的這條鏈接共被轉(zhuǎn)發(fā)133次，剛好滿足領(lǐng)取門票的資格，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用——傳播問題，個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)給個(gè)互不相同的人時(shí)，轉(zhuǎn)發(fā)了次，加上小方轉(zhuǎn)給自己的1次和轉(zhuǎn)給好友的次，共133次，由此可列方程．【詳解】解：由題意得，，故選B．4．有1個(gè)人患了流感，假設(shè)在每輪傳染中平均1個(gè)人傳染了x個(gè)人．(1)求經(jīng)過兩輪傳染后，患上流感的人數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）．(2)若經(jīng)過兩輪傳染后，有100人患上流感，為了對(duì)癥下藥，醫(yī)院計(jì)劃設(shè)置普通病房和重癥病房（所有病房都是單人病房），且重癥病房的數(shù)量不少于普通病房的，在經(jīng)過第三輪傳染后，為了一次性將所有病人收治入院，則醫(yī)院至少需要設(shè)置多少個(gè)重癥病房？【答案】(1)(2)醫(yī)院至少需要設(shè)置167個(gè)重癥病房【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)在每輪傳染中平均1個(gè)人傳染了x個(gè)人，列出代數(shù)式即可；（2）先根據(jù)兩輪傳染后，有100人患上流感，列出方程求出的值，進(jìn)而求出三輪傳染后的總?cè)藬?shù)，設(shè)醫(yī)院需要設(shè)置y個(gè)重癥病房，根據(jù)題意，列出不等式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知，第一輪被傳染的人數(shù)為x，第二輪被傳染的人數(shù)是，兩輪傳染后，患上流感的人數(shù)為．（2）由題意，得，解得（舍去），，經(jīng)過第三輪傳染后，患上流感的人數(shù)為．設(shè)醫(yī)院需要設(shè)置y個(gè)重癥病房，則設(shè)置個(gè)普通病房．由題意，得，解得，為正整數(shù)，，∴醫(yī)院至少需要設(shè)置167個(gè)重癥病房．5．“埃博拉”病毒是一種能引起人類和靈長(zhǎng)類動(dòng)物產(chǎn)生“出血熱”的烈性傳染病毒，傳染性極強(qiáng)．一個(gè)美國(guó)人在非洲旅游時(shí)不慎感染了“埃博拉”病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有64人受到感染．(1)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？(2)如果不及時(shí)控制，第三輪將又有多少人被傳染？【答案】(1)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了7個(gè)人(2)第三輪將又有448人被傳染【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有64人受到感染，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）第三輪被傳染人數(shù)就是用第二輪感染的64人乘以每人每輪的傳染人數(shù)7即可．【詳解】（1）解∶設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，根據(jù)題意得，解得或(舍)．答∶每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了7個(gè)人．（2）由（1）可知每輪傳染中平均一個(gè)人傳染7個(gè)人，經(jīng)過兩輪傳染后有64人感染．那么第三輪被傳染的人數(shù)為人．答：第三輪將又有448人被傳染．6．某?！吧镅袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外研學(xué)實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支．若該植物的一個(gè)主干及其上面的支干和小分支的總數(shù)是57，求這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)．【答案】這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是7．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是，根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是57，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．【詳解】解：設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是，根據(jù)題意，可得，整理得，解得，（不合題意，舍去），答：這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是7．題型二：增長(zhǎng)率問題7．習(xí)近平總書記說：讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣．我校為響應(yīng)全民閱讀活動(dòng)，利用節(jié)假日面向社會(huì)開放學(xué)校圖書館．據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一個(gè)月進(jìn)館人次，進(jìn)館人次逐月增加，第三個(gè)月進(jìn)館人次，若進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)第一個(gè)月的進(jìn)館人次及進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率，可得出第二個(gè)月進(jìn)館人次，第三個(gè)月進(jìn)館人次，結(jié)合第三個(gè)月進(jìn)館人次，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得：故選：B．8．股票每天的漲、跌幅均不超過，即當(dāng)漲了原價(jià)的后，便不能再漲，叫漲停；當(dāng)?shù)嗽瓋r(jià)的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后兩天時(shí)間又漲回到原價(jià)，若這兩天此股票股價(jià)的平均增長(zhǎng)率為，則滿足的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了增長(zhǎng)率的定義及由實(shí)際問題抽象出一元二次方程的知識(shí)，這道題的關(guān)鍵在于理解：價(jià)格上漲后是原來價(jià)格的倍．股票一次跌停就跌到原來價(jià)格的，再?gòu)牡幕A(chǔ)上漲到原來的價(jià)格，且漲幅只能，所以至少要經(jīng)過兩天的上漲才可以．設(shè)平均每天漲，第一天漲為，第二天漲為，據(jù)題意列出方程．【詳解】解：設(shè)這兩天此股票股價(jià)的平均增長(zhǎng)率為∴，即，故選：A．9．某商品連續(xù)兩次漲價(jià)，由每件100元漲為每件144元，平均每次上漲的百分比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，掌握直接開方法解一元二次方程，增長(zhǎng)率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．設(shè)平均每次上漲的百分比為x，根據(jù)增長(zhǎng)率的計(jì)算方法列方程即可求解．【詳解】解：設(shè)平均每次上漲的百分比為x，依題意得，，解得（負(fù)值已舍去），即平均每次上漲的百分比為，故選：D．10．電影《哪吒之魔童鬧?！窡嵊澈螅倪概c敖丙的聯(lián)名玩偶深受歡迎．某網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)商家3月4日銷售玩偶共200個(gè)，5日、6日銷售量持續(xù)增長(zhǎng)，6日銷量達(dá)到338個(gè)．(1)求3月5日、6日這兩天玩偶銷售量的日平均增長(zhǎng)率．(2)為慶祝《哪吒之魔童鬧海》全球票房大賣，商家決定做優(yōu)惠活動(dòng)．已知玩偶每個(gè)成本30元，售價(jià)為每個(gè)50元時(shí)，日銷量可達(dá)320個(gè)；每降價(jià)1元，日銷量可增加5個(gè)．當(dāng)每個(gè)玩偶降價(jià)多少元時(shí)，當(dāng)日總利潤(rùn)可達(dá)到5940元？【答案】(1)日平均增長(zhǎng)率為(2)每個(gè)玩偶降價(jià)元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)日平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；（2）設(shè)每個(gè)玩偶降價(jià)元，根據(jù)當(dāng)日總利潤(rùn)可達(dá)到元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)日平均增長(zhǎng)率為，由題意得：，解得：，（舍），答：日平均增長(zhǎng)率為；（2）解：設(shè)每個(gè)玩偶降價(jià)元，由題意得：，解得：，（舍），答：每個(gè)玩偶降價(jià)元．11．某市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米元的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國(guó)務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購(gòu)房者持幣觀望，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對(duì)價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米元的均價(jià)開盤銷售．(1)求平均每次下調(diào)的百分率；(2)王先生準(zhǔn)備以開盤價(jià)均價(jià)購(gòu)買一套平方米的住房，開發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案：①打折銷售；②不打折，一次性送裝修費(fèi)每平方米元，試問哪種方案更優(yōu)惠?【答案】(1)(2)方案②更優(yōu)惠【分析】本題主要考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．()設(shè)出平均每次下調(diào)的百分率為，第一次下調(diào)后的價(jià)格為元，第二次下調(diào)后的價(jià)格為元，根據(jù)已知銷售價(jià)格列方程解答即可．()分別計(jì)算兩種方案的優(yōu)惠價(jià)格，比較后發(fā)現(xiàn)更優(yōu)惠方案即可．【詳解】（1）解：設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為，第一次下調(diào)后的價(jià)格為元，第二次下調(diào)后的價(jià)格為元，根據(jù)題意，可列方程：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（下調(diào)百分率不能大于，舍去），所以，平均每次下調(diào)的百分率為．（2）方案①：住房面積是平方米，開盤均價(jià)為每平方米元，打折銷售，那么總房款為：(元)；方案②：不打折，一次性送裝修費(fèi)每平方米元，那么實(shí)際支付款為：(元)∵，∴方案②更優(yōu)惠．12．2024年第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)在法國(guó)巴黎舉行，中國(guó)運(yùn)動(dòng)健兒們?nèi)〉昧?0金27銀24銅的好成績(jī)，向全世界展現(xiàn)了中國(guó)拼搏向上的民族精神．除此之外還值得我們驕傲的是“中國(guó)制造”在巴黎奧運(yùn)會(huì)大放異彩，其中的奧運(yùn)相關(guān)設(shè)備、器材、紀(jì)念品、吉祥物都是由中國(guó)企業(yè)生產(chǎn)，并授權(quán)奧運(yùn)會(huì)的吉祥物“弗里熱”從6月份開始在中國(guó)銷售．某商店以每個(gè)35元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一款“弗里熱”鑰匙扣，以每個(gè)58元的價(jià)格出售．經(jīng)統(tǒng)計(jì)：6月份的銷售量為256個(gè)，8月份的銷售量為400個(gè)．(1)求該款鑰匙扣從6月份到8月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率；(2)從9月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，試銷了一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)該款吉祥物的月銷售量（個(gè)）與每個(gè)鑰匙扣降價(jià)（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，且部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示．/元36/個(gè)460520若商店希望每月銷售這款鑰匙扣所獲得的利潤(rùn)是8400元．則每個(gè)鑰匙扣應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】(1)該款鑰匙扣從6月份到8月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為(2)每個(gè)鑰匙扣應(yīng)降價(jià)8元【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；（1）設(shè)該款鑰匙扣從6月份到8月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為m，由題意易得，然后進(jìn)行求解即可；（2）由表格先得出月銷售量（個(gè)）與每個(gè)鑰匙扣降價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，然后再根據(jù)題意可得方程，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)該款鑰匙扣從6月份到8月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為m，由題意得：，解得：（不符合題意，舍去），答：該款鑰匙扣從6月份到8月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為．（2）解：設(shè)月銷售量（個(gè)）與每個(gè)鑰匙扣降價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為，由表格得：，解得：，∴月銷售量（個(gè)）與每個(gè)鑰匙扣降價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為，∴，解得：（不符合題意，舍去）；答：每個(gè)鑰匙扣應(yīng)降價(jià)8元．題型三：圖形問題13．某小區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)、寬的長(zhǎng)方形空地上修建三條同樣寬的道路(如圖)，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為．設(shè)道路的寬為，則下面所列方程正確的是(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，利用平移和長(zhǎng)方形的面積公式，列出一元二次方程即可．【詳解】解：設(shè)道路的寬為，由題意，得：；故選C．14．電動(dòng)車雖然方便了我們的日常出行，但是部分電動(dòng)車充電過程中十分危險(xiǎn)，一旦發(fā)生著火、爆炸，將造成非常嚴(yán)重的危害．“人車分離”是保障大家生命安全的重要手段．陽光小區(qū)為實(shí)現(xiàn)“人車分離”，在小區(qū)外面搭建了兩個(gè)矩形電動(dòng)車車棚（如圖），一邊利用小區(qū)的后墻（可利用墻長(zhǎng)為），其他的邊用總長(zhǎng)的不銹鋼柵欄圍成，左右兩側(cè)各開一個(gè)長(zhǎng)的出口（出口處不用柵欄），不銹鋼柵欄狀如“山”字形．若車棚占地面積為，則電動(dòng)車車棚的長(zhǎng)（）為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)電動(dòng)車車棚的寬為，則車棚的長(zhǎng)，根據(jù)車棚占地面積為，列出一元二次方程，解方程取符合題意的值即可．【詳解】解：設(shè)電動(dòng)車車棚的寬為，則車棚的長(zhǎng)，由題意得：，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去，故選：B．15．如圖，某養(yǎng)雞戶用一段長(zhǎng)的鐵絲網(wǎng)圍成一個(gè)一邊靠墻（墻長(zhǎng)）的矩形雞舍，其面積為．在雞舍的邊中間位置留一個(gè)寬的門（由其他材料制成），則的長(zhǎng)為（）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)，則，根據(jù)矩形雞舍的面積為，列出關(guān)于的一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【詳解】解：設(shè)，則，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，，又墻長(zhǎng)，，即的長(zhǎng)為，故選：D．16．某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)25），另外三邊用木欄圍成，木欄長(zhǎng)40，若養(yǎng)雞場(chǎng)面積為，求雞場(chǎng)兩邊的長(zhǎng)分別是多少？【答案】【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用：首先設(shè)出雞場(chǎng)寬為米，長(zhǎng)為米，然后根據(jù)矩形的面積長(zhǎng)寬，用未知數(shù)x表示出雞場(chǎng)的面積，根據(jù)面積為列出方程，解方程即可；【詳解】設(shè)寬為米，長(zhǎng)米，根據(jù)題意得：，解得：，，由得，故，∴雞場(chǎng)靠墻的一邊長(zhǎng)為：（m）．∴雞場(chǎng)兩邊的長(zhǎng)分別是．17．如圖，若要建一個(gè)長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，墻對(duì)面有一個(gè)米寬的門，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)米，圍成的長(zhǎng)方形的雞場(chǎng)除門之外四周不能有空隙．(1)若墻長(zhǎng)為米，要圍成的雞場(chǎng)的面積為平方米，則雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少米？(2)圍成的雞場(chǎng)的面積可能達(dá)到平方米嗎？(3)若墻長(zhǎng)為米，對(duì)建平方米面積的雞場(chǎng)有何影響？【答案】(1)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為米，寬為米(2)雞場(chǎng)面積不可能達(dá)到平方米，見解析(3)當(dāng)時(shí)，不能圍成一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)；當(dāng)時(shí)，可以圍成一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)；當(dāng)時(shí)，可以圍成兩個(gè)長(zhǎng)寬不同的長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找到等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵．（1）先設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的寬為，得出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，再根據(jù)面積公式列出方程，求出的值即可，注意要符合題意；（2）先設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的寬為，得出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，再根據(jù)面積公式列出方程，判斷出的值，即可得出答案；（3）根據(jù)實(shí)際問題當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，三種情況進(jìn)行討論，得出符合條件的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的寬為，根據(jù)題意得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（舍去），則養(yǎng)雞場(chǎng)的寬是，長(zhǎng)為；（2）解：設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的寬為，根據(jù)題意得：，整理得：，，∵方程沒有實(shí)數(shù)根，∴圍成養(yǎng)雞場(chǎng)的面積不能達(dá)到；（3）解：當(dāng)時(shí)，不能圍成一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)；當(dāng)時(shí)，可以圍成一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)；當(dāng)時(shí)，可以圍成兩個(gè)長(zhǎng)寬不同的長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)．18．某公司展銷如圖所示的長(zhǎng)方形工藝品，該工藝品長(zhǎng)，寬，中間鑲有寬度相同的三條絲綢花邊．(1)若除絲綢花邊外白色部分的面積為，求絲綢花邊的寬度；(2)已知該工藝品的成本是40元/件，如果以單價(jià)100元/件銷售，那么每天可售出200件，另外每天除工藝品的成本外還需支付各種費(fèi)用2000元．根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，如果將銷售單價(jià)降低1元，每天可多售出20件，請(qǐng)問該公司把單價(jià)降低多少元時(shí)，當(dāng)日所獲利潤(rùn)為10000元．【答案】(1)絲綢條帶的寬度為(2)當(dāng)單價(jià)降低元或50元時(shí)能達(dá)到利潤(rùn)10000元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)該工藝品長(zhǎng)，寬，除絲綢花邊外白色部分的面積為，進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．（2）根據(jù)該工藝品的成本是40元/件，以單價(jià)100元/件銷售，每天可售出200件，還需支付各種費(fèi)用2000元．將銷售單價(jià)降低1元，每天可多售出20件，進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）解：設(shè)絲綢花邊的寬度為，根據(jù)題意，得．整理，得，解得，（舍去）．答：絲綢花邊的寬度為．（2）解：設(shè)每件工藝品降價(jià)y元出售，由題意得：．解得：．答：當(dāng)單價(jià)降低元或50元時(shí)能達(dá)到利潤(rùn)10000元．19．閱讀材料，并解決問題．【學(xué)習(xí)研究】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，以為例，構(gòu)造方法如下：首先將方程變形為，然后畫四個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形，按如圖1所示的方式拼成一個(gè)“空心”大正方形，則圖1中大正方形的面積可表示為，還可表示為四個(gè)矩形與一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形面積之和，即．因此，可得新方程．因?yàn)楸硎具呴L(zhǎng)，所以，即．遺憾的是，這樣的做法只能得到方程的其中一個(gè)正根．【理解應(yīng)用】參照上述圖的方法，請(qǐng)?jiān)谙旅嫒齻€(gè)構(gòu)圖中選擇能夠用幾何法求解方程的正確構(gòu)圖是______．（從序號(hào)①②③中選擇）【類比遷移】小穎根據(jù)以上解法解方程，請(qǐng)將其解答過程補(bǔ)充完整：第一步：將原方程變形為，即；第二步：利用四個(gè)全等的矩形構(gòu)造“空心”大正方形；第三步：根據(jù)大正方形的面積可得新的方程______，解得原方程的一個(gè)根為______；【拓展應(yīng)用】一般地，對(duì)于形如的一元二次方程可以構(gòu)造圖2來解．已知圖2是由四個(gè)面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4，那么此方程的系數(shù)______，______，求得方程的正根為______．【答案】【理解應(yīng)用】②【類比遷移】【拓展應(yīng)用】；3；1或【分析】本題考查整式乘法與幾何圖形，解一元二次方程，讀懂題意，理解材料中的方法，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．[理解應(yīng)用]：根據(jù)題意，變形為，根據(jù)圖示分別算出每個(gè)圖形中長(zhǎng)方形的面積，進(jìn)行比較即可求出答案．[類比遷移]：根據(jù)材料提示，進(jìn)行計(jì)算即可求出答案．[拓展應(yīng)用]：先根據(jù)材料提示分解為，圖形結(jié)合分析，即可得，分類討論，由此即可求出答案．【詳解】解：[理解應(yīng)用]變形為，如圖所示，圖①一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為：；圖②一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為；圖③一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為：；∴當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意，故選：②；[類比遷移]第一步：將原方程變形為，即；第二步：利用四個(gè)全等的矩形構(gòu)造“空心”大正方形；第三步：根據(jù)大正方形的面積可得新的方程，解得原方程的一個(gè)根為；故答案為：；[拓展應(yīng)用]∵∴，∴四個(gè)小矩形的面積為，大正方形的面積是，其中它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，∵圖2是由四個(gè)面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4，∴，解得，，當(dāng)時(shí)，，∴，解得，，即方程的一個(gè)正根為1；當(dāng)時(shí)，，∴，解得，，即方程的一個(gè)正根為；綜上所述，方程的一個(gè)正根為或，故答案為：或．20．某校在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，組織學(xué)生設(shè)計(jì)矩形花圃．花圃的一邊可利用長(zhǎng)為8米的圍墻，另三邊用籬笆圍成，已知籬笆長(zhǎng)20米．下面是小高和小周兩位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案（籬笆全部用完，籬笆裁剪與拼接處的損耗忽略不計(jì)）：(1)如圖1是小高同學(xué)設(shè)計(jì)的方案，花圃的一邊靠墻（米），另三邊用籬笆圍成．設(shè)的長(zhǎng)為x米，①求的長(zhǎng)（用含x的代數(shù)式表示）；②當(dāng)花圃面積為42平方米時(shí)，求x的值；(2)如圖2是小周同學(xué)設(shè)計(jì)的方案，花圃的一邊由圍墻（）和部分籬笆（）組成，另三邊由剩余的籬笆圍成．問花圃面積能達(dá)到50平方米嗎？請(qǐng)通過計(jì)算說明．【答案】(1)①米；②7(2)矩形花圃面積不能達(dá)到50平方米，理由見解析【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)列式求解即可；②根據(jù)矩形面積計(jì)算公式建立方程求解即可；（2）設(shè)米，則米，根據(jù)矩形面積計(jì)算公式建立方程，看方程是否有正數(shù)解即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解；①由題意得，米②根據(jù)題意，得：，整理得，解得：，，∵，∴，∴，∴x的值為7；（2）解：矩形花圃面積不能達(dá)到50平方米，理由如下：設(shè)米，則米根據(jù)題意，得：，整理得，∵，∴此方程無實(shí)數(shù)解，∴矩形花圃面積不能達(dá)到50平方米．題型四：數(shù)字問題21．一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為9，且這兩個(gè)數(shù)字之積等于它們兩個(gè)數(shù)字和的2倍，這個(gè)兩位數(shù)是（）A．36 B．63 C．36或63 D．或【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為，根據(jù)這兩個(gè)數(shù)字之積等于它們兩個(gè)數(shù)字和的2倍，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合這個(gè)兩位數(shù)是，即可得出這個(gè)兩位數(shù)是36或63．【詳解】解：設(shè)十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為，依題意得：，整理得：，解得．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)這個(gè)兩位數(shù)是；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)這個(gè)兩位數(shù)是．故選：C．22．如果兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的積為288，那么這兩個(gè)數(shù)的和為（

）A．34 B．34或 C．35或 D．【答案】B【分析】先設(shè)出其中一個(gè)偶數(shù)，根據(jù)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的關(guān)系表示出另一個(gè)偶數(shù)，再根據(jù)題目列出方程，最后求出這兩個(gè)數(shù)的和?！驹斀狻拷猓涸O(shè)較小的偶數(shù)為，較大的偶數(shù)為由題意可得：解得：當(dāng)時(shí)，，這兩個(gè)數(shù)之和為34當(dāng)時(shí)，，這兩個(gè)數(shù)之和為-34這兩個(gè)數(shù)的和為34或-34故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，利用代數(shù)式表示兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵。23．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，個(gè)位數(shù)字的平方剛好等于這個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是（

）A．不存在 B．25 C．36 D．25或36【答案】D【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，正確理解關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．設(shè)十位數(shù)字為a，則個(gè)位數(shù)字，根據(jù)個(gè)位數(shù)字的平方等于該數(shù)，建立方程并求解，驗(yàn)證符合條件的解．【詳解】解：設(shè)十位數(shù)字為a，則個(gè)位數(shù)字．兩位數(shù)的值為，根據(jù)題意，得：解得：，．當(dāng)時(shí)，個(gè)位數(shù)字為，兩位數(shù)為25，當(dāng)時(shí)，個(gè)位數(shù)字為，兩位數(shù)為36．綜上，這個(gè)兩位數(shù)是25或36，故選：D．24．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字小1，且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72．求這個(gè)兩位數(shù)．【答案】98【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為，再根據(jù)“個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，”列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為．依題意，得，解得（不合題意，舍去），，．答：這個(gè)兩位數(shù)為98．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確表示出這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是解題的關(guān)鍵．25．【觀察思考】如圖所示【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）第個(gè)圖案中，“▲”的個(gè)數(shù)為____________；（2）第個(gè)圖案中，“★”的個(gè)數(shù)可表示為_________________；【規(guī)律應(yīng)用】（3）結(jié)合圖案中的規(guī)律，求正整數(shù)，使得“▲”的個(gè)數(shù)的倍比“★”的個(gè)數(shù)多．【答案】；；當(dāng)或時(shí)，“▲”的個(gè)數(shù)的倍比“★”的個(gè)數(shù)多．【分析】本題主要考查了數(shù)字與圖形的規(guī)律、解一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字與圖形的規(guī)律得到關(guān)于的一元二次方程．根據(jù)圖案中“▲”的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律得到第個(gè)圖案中“▲”的個(gè)數(shù)即可；根據(jù)圖案中“★”的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律得到第個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)即可；根據(jù)圖案中“▲”的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律和“★”的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律得到關(guān)于的一元二次方程，解方程求出即可．【詳解】解：第個(gè)圖案中，“▲”的個(gè)數(shù)為，第個(gè)圖案中，“▲”的個(gè)數(shù)為，第個(gè)圖案中，“▲”的個(gè)數(shù)為，第個(gè)圖案中，“▲”的個(gè)數(shù)為，第個(gè)圖案中，“▲”的個(gè)數(shù)為；故答案為：；解：第個(gè)圖案中，“★”的個(gè)數(shù)為，第個(gè)圖案中，“★”的個(gè)數(shù)為，第個(gè)圖案中，“★”的個(gè)數(shù)為，第個(gè)圖案中，“★”的個(gè)數(shù)為，，第個(gè)圖案中，“★”的個(gè)數(shù)為；故答案為：；設(shè)第個(gè)圖案中“▲”的個(gè)數(shù)的倍比“★”的個(gè)數(shù)多，根據(jù)題意可得：，整理得：，解得：或，當(dāng)或時(shí)，“▲”的個(gè)數(shù)的倍比“★”的個(gè)數(shù)多．26．2014年2月27日，第十二屆全國(guó)人大常委會(huì)第七次會(huì)議通過決定，將每年的12月13日設(shè)立為南京大屠殺死難者國(guó)家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年開始的第10個(gè)公祭日，在今年12月的日歷表上可以用一個(gè)方框圈出4個(gè)數(shù)（如圖所示），若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65，求這個(gè)最大數(shù)（請(qǐng)用方程知識(shí)解答）．【答案】這個(gè)最小數(shù)為5【分析】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)日歷上數(shù)字規(guī)律得出，圈出的四個(gè)數(shù)最大數(shù)與最小數(shù)的差值為8，設(shè)最小數(shù)為x，則最大數(shù)為，結(jié)合已知，利用最大數(shù)與最小數(shù)的乘積為65，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)最小數(shù)為x，則最大數(shù)為，根據(jù)題意，得．解得或（不符合題意，舍去）．答：這個(gè)最小數(shù)為5．27．已知實(shí)數(shù)、滿足，試求的值．解：設(shè)，則原方程可化為，即，解得：，∵，∴，上面的這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替(即換元)，則能使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化．根據(jù)以上閱讀材料，解決下列問題：(1)已知實(shí)數(shù)、滿足，求的值；(2)若四個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積為，求這四個(gè)正整數(shù)．【答案】(1)(2)這四個(gè)正整數(shù)為，，，【分析】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)換元法解一元二次方程即可求解；（1）令，則原方程為：，結(jié)合可得答案；（2）根據(jù)題意設(shè)最小數(shù)為，列出關(guān)系式，進(jìn)而利用換元法即可求解．【詳解】（1）解：令，∴化為：，解得：或，∵，∴，∴；（2）解：設(shè)最小的數(shù)為，則，∴，設(shè)，則，解得：，，∵是正整數(shù)，∴，解得：，(舍去)，∴這四個(gè)正整數(shù)為，，，．題型五：銷售利潤(rùn)問題28．某文具店將進(jìn)價(jià)為12元的口風(fēng)琴按照每個(gè)20元出售時(shí)，平均每天能夠售出8個(gè)．若這種商品每件降低元能多售出4個(gè)．若該文具店希望這種口風(fēng)琴每天的銷售利潤(rùn)為144元，那么每個(gè)口風(fēng)琴的售價(jià)應(yīng)該是多少元，設(shè)售價(jià)定為每件元，下列列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用．讀懂題意，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)售價(jià)為x元，則利用每一件的銷售利潤(rùn)×每天售出的數(shù)量=每天利潤(rùn)，列方程即可．【詳解】解：設(shè)售價(jià)定為每件元，則由題意得，故選：B．29．某商店將進(jìn)價(jià)為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售200件．若這種商品每件漲元，其銷量就會(huì)減少10件，要使利潤(rùn)為640元，需將售價(jià)定為x元，下列列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用．讀懂題意，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)售價(jià)為x元，則利用每一件的銷售利潤(rùn)×每天售出的數(shù)量=每天利潤(rùn)，列方程即可．【詳解】解：設(shè)售價(jià)為x元，根據(jù)題意列方程得．故答案為：B30．某商店以每件元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，根據(jù)規(guī)定，每件商品的利潤(rùn)不得超過．若每件商品的售價(jià)定為元，則可賣出件．如果商店預(yù)期要盈利元，那么每件商品的售價(jià)應(yīng)定為（

）A．20元 B．20.8元 C．20元或30元 D．30元【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解一元二次方程的應(yīng)用題，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程并檢驗(yàn)結(jié)果是否符合題意是解題的關(guān)鍵．本題可根據(jù)利潤(rùn)的計(jì)算公式列出方程，再結(jié)合利潤(rùn)限制條件求解，設(shè)每件商品的售價(jià)應(yīng)定為元，則利潤(rùn)為元，根據(jù)要盈利元，列方程求解．【詳解】解：設(shè)每件商品的售價(jià)應(yīng)定為元，則利潤(rùn)為元，由題意得，整理得解得：當(dāng)時(shí)，每件商品的利潤(rùn)不得超過．不符合題意，舍去．故每件商品的售價(jià)應(yīng)定為元．故選：A．31．某商場(chǎng)平均每天可售出童裝20件，每件盈利40元．為了迎接兒童節(jié)，該商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天銷售這種童裝共盈利1200元，設(shè)每件童裝降價(jià)元，那么應(yīng)滿足的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用中的銷售問題，找到共盈利的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，難點(diǎn)是得到降價(jià)后銷量在20的基礎(chǔ)上增加的件數(shù)．原來每件盈利40元，降價(jià)元后，那么每件盈利元；原來可賣出20件，易得每降價(jià)1元，多售出2件，那么每降價(jià)元，就多售出件．要想平均每天銷售這種童裝共盈利1200元，據(jù)此列出方程即可．【詳解】解：由題意可列方程為：．故選：C32．在2020年元旦期間，某商場(chǎng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能銷售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)，商場(chǎng)要想使這種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000元，每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為多少元？設(shè)每臺(tái)冰箱定價(jià)元，根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題抽象出一元二次方程的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解利潤(rùn)=銷售量x單位利潤(rùn)，根據(jù)利潤(rùn)=單臺(tái)利潤(rùn)×銷售數(shù)量，設(shè)定價(jià)為元，單臺(tái)利潤(rùn)為元．原售價(jià)2900元時(shí)每天售出8臺(tái)，每降價(jià)50元多售4臺(tái)．當(dāng)售價(jià)為元時(shí)，降價(jià)元，相當(dāng)于降價(jià)個(gè)50元，因此銷量增加臺(tái)，總銷量為．由此列方程即可．【詳解】解：設(shè)定價(jià)為元，則單臺(tái)利潤(rùn)為元．售價(jià)降低元，對(duì)應(yīng)降價(jià)次數(shù)為次，銷量增加臺(tái)，總銷量為．總利潤(rùn)方程為：故選：B．33．將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，就能賣出500個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)0.1元，其銷售量就減少1個(gè)，若設(shè)這種商品每個(gè)漲價(jià)x元．(1)用含x的代數(shù)式表示．①每個(gè)商品的實(shí)際利潤(rùn)是元；②實(shí)際的銷售量是個(gè)．(2)為了賺得8000元的利潤(rùn)而又盡量兼顧顧客的利益，每個(gè)售價(jià)應(yīng)定為多少？【答案】(1)①，；(2)【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握利潤(rùn)問題中總利潤(rùn)、單個(gè)利潤(rùn)、銷售量之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)利潤(rùn)=售價(jià)進(jìn)價(jià)，結(jié)合漲價(jià)金額，得出每個(gè)商品的實(shí)際利潤(rùn)表達(dá)式；②根據(jù)每個(gè)漲價(jià)元銷售量減少個(gè)，計(jì)算出漲價(jià)元時(shí)銷售量的減少量，進(jìn)得出實(shí)際銷售量表達(dá)式．（2）根據(jù)總利潤(rùn)=單個(gè)利潤(rùn)×銷售量，列出方程，求解后根據(jù)盡量兼顧顧客利益的條件確定售價(jià)．【詳解】（1）解：①∵進(jìn)貨單價(jià)為元，原售價(jià)元，漲價(jià)元，∴每個(gè)商品的實(shí)際利潤(rùn)是元，即元．②∵每個(gè)漲價(jià)元，銷售量就減少個(gè)，漲價(jià)元，∴銷售量減少個(gè)，又∵原銷售量為個(gè)，∴實(shí)際的銷售量是個(gè)，即個(gè)．（2）解：根據(jù)題意得，展開得：，移項(xiàng)整理得：，因式分解得：，解得，．∵要盡量兼顧顧客的利益，即售價(jià)應(yīng)盡量低，∴取，此時(shí)售價(jià)為（元）．答：每個(gè)售價(jià)應(yīng)定為元．34．某地為有力推進(jìn)鄉(xiāng)村全面振興，拓寬農(nóng)產(chǎn)品的銷售渠道，利用互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，通過電商平臺(tái)，讓農(nóng)產(chǎn)品直接面向消費(fèi)者，提高農(nóng)產(chǎn)品銷售效率．其中，銷售一批成本為30元的農(nóng)產(chǎn)品，按銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于50元銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量與銷售單價(jià)（元）之間的關(guān)系如圖所示，設(shè)每天的銷售利潤(rùn)為元．(1)請(qǐng)分別求出與，與的函數(shù)解析式；(2)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)為800元？(3)銷售該商品每天獲得的利潤(rùn)能否達(dá)到1300元？若能求出此時(shí)的單價(jià)，若不能請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)銷售單價(jià)定為40元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)為800元(3)不能，理由見解析【分析】本題主要考查了一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)以及一元二次方程在銷售問題中的應(yīng)用．（1）依據(jù)題意，運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）依據(jù)題意，根據(jù)每件的利潤(rùn)乘以銷售量等于利潤(rùn)800元，列出方程并求解，再結(jié)合單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于50元銷售，可得符合題意的答案；（3）依據(jù)題意，根據(jù)每件的利潤(rùn)乘以銷售量等于利潤(rùn)1300元，列出方程，再根據(jù)，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)該商品每天的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為，又∵圖象過點(diǎn)、，∴，解得，∴函數(shù)關(guān)系式為，∵銷售單價(jià)不低于成本價(jià)30元，且不高于50元銷售，∴，∴每天的銷售利潤(rùn)為；（2）解：由題意得：，整理得：，解得：，．∵單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于50元銷售，∴不符合題意，舍去．∴銷售單價(jià)定為40元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)為800元；（3）解：不能，理由如下：由題意得：，整理得：，則，∴方程無解，∴銷售該商品每天獲得的利潤(rùn)不能達(dá)到1300元．35．某商店購(gòu)進(jìn)了一批吉祥物毛絨玩具，進(jìn)價(jià)為每個(gè)30元．若毛絨玩具每個(gè)的售價(jià)是40元時(shí)，每天可售出80個(gè)；若每個(gè)售價(jià)提高1元，則每天少賣2個(gè)．(1)設(shè)該吉祥物毛絨玩具每個(gè)售價(jià)定為x（）元，求該商品銷售量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果每天的利潤(rùn)要達(dá)到1200元，并且盡可能讓利于顧客，每個(gè)毛絨玩具售價(jià)應(yīng)定為多少元？(3)每個(gè)毛絨玩具售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售玩具所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)(2)每個(gè)毛絨玩具售價(jià)應(yīng)定為50元(3)每個(gè)毛絨玩具售價(jià)定為55元時(shí)，每天銷售玩具所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1250元【分析】本題主要考查一次函數(shù)及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；（1）根據(jù)“毛絨玩具每個(gè)的售價(jià)是40元時(shí)，每天可售出80個(gè)；若每個(gè)售價(jià)提高1元，則每天少賣2個(gè)”可直接列出函數(shù)關(guān)系式；（2）由（1）及利潤(rùn)、售價(jià)及成本的等量關(guān)系式可列方程進(jìn)行求解；（3）設(shè)利潤(rùn)為w元，由（2）及配方法可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：由題意得：；∴該商品銷售量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：由（1）可得：，解得：，∵盡可能讓利于顧客，∴；答：每個(gè)毛絨玩具售價(jià)應(yīng)定為50元．（3）解：設(shè)利潤(rùn)為w元，由題意得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)w有最大值，最大值為1250；答：每個(gè)毛絨玩具售價(jià)定為55元時(shí)，每天銷售玩具所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1250元．36．年8月，某音樂節(jié)推出了普通票與VIP票．據(jù)了解，1張普通票比1張票便宜元，用元買的普通票的數(shù)量與用元買的票的數(shù)量相同．(1)求普通票與VIP票的單價(jià)分別是多少元；(2)據(jù)統(tǒng)計(jì)，音樂節(jié)首日普通票銷量是張，票銷量是張．第二天由于天氣原因，兩種票的銷售均受到影響，組委會(huì)為了刺激銷售，進(jìn)行了降價(jià)促銷，普通票單價(jià)降低了m元，銷量仍減少了張，票單價(jià)保持不變，銷量減少了張，最終第二天總銷售額比首日少了元，求m的值．【答案】(1)普通票每張為元，票的每張為元(2)【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程．（1）設(shè)普通票的每張為元，則票的每張為元，根據(jù)用元買的普通票的數(shù)量與用元買的票的數(shù)量相同，列出分式方程，解方程即可；（2）由題意先表示出第二天普通票和票的單價(jià)和銷量，再根據(jù)第二天總銷售額比首日少了元，列出一元二次方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)普通票的每張為元，則票的每張為元，，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，則元，答：普通票每張為元，票的每張為元；（2）解：，，，（舍），答：的值為．37．“七里山塘，枕河而居”，蘇州市的山塘街是具有江南風(fēng)貌特色的歷史文化街區(qū)，現(xiàn)在已成為網(wǎng)紅打卡地．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2014年10月1日截至21時(shí)山塘歷史街區(qū)累計(jì)客流量為8萬人次，第三天游客人數(shù)達(dá)到萬人次．(1)求游客人數(shù)從假期第一天到第三天的平均日增長(zhǎng)率；(2)景區(qū)內(nèi)某文創(chuàng)小店推出了特色絲綢團(tuán)扇，每把扇子的成本為7元．根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，每把扇子定價(jià)為25元時(shí)，平均每天可售出300把．若每把扇子的售價(jià)每降低1元，平均每天可多售出30把．設(shè)每把扇子降價(jià)元．請(qǐng)解答以下問題：①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代數(shù)式表示）；②若該文創(chuàng)小店想通過售出這批扇子每天獲得5760元的利潤(rùn)，又想盡可能地減少庫(kù)存，每把扇子應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】(1)(2)①；②6【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，列代數(shù)式．根據(jù)題意正確的列等式方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)從假期第一天到第三天的平均日增長(zhǎng)率為，依題意得，計(jì)算求出滿足要求的解即可；（2）①由題意知，每天可售出扇子把，然后作答即可；②依題意得，計(jì)算求解，然后作答即可．【詳解】（1）解：設(shè)從假期第一天到第三天的平均日增長(zhǎng)率為，依題意得，，解得，或（舍去），∴從假期第一天到第三天的平均日增長(zhǎng)率為；（2）①解：由題意知，每天可售出扇子把，故答案為：；②解：依題意得，，整理得，，解得，或，∵想盡可能地減少庫(kù)存，∴每把扇子應(yīng)降價(jià)6元．題型六：動(dòng)態(tài)幾何問題38．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)開始移動(dòng)（移動(dòng)方向如圖所示），點(diǎn)P的速度為，點(diǎn)Q的速度為，點(diǎn)Q移動(dòng)到C點(diǎn)后停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，借助三角形的面積計(jì)算公式來研究圖形中的動(dòng)點(diǎn)問題．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是，用t分別表示出和的長(zhǎng)，利用三角形的面積計(jì)算公式即可解答．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是，，解得：，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去，∴，故答案為：A．39．如圖，在中，，，，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著方向以的速度運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著邊以的速度運(yùn)動(dòng)，，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由題意得，，則，由勾股定理得到，則，則由勾股定理可得，解方程即可得到答案．【詳解】解：由題意得，，∴，在中，，，，則，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得或，故選：C．40．如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿邊向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿射線勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為方程，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．根據(jù)三角形的面積公式列出方程即可解決問題．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則有，，，，，解得或5，或時(shí)，的面積為．故選：C．41．如圖，中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向終點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向終點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止，則（

）秒后，的面積等于．A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為秒，因?yàn)槊?，所以，列方程得，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)移動(dòng)時(shí)間為秒，秒，，根據(jù)題意得，解得或（不符合題意，舍去），秒后，的面積等于，故選：A．42．已知：如圖所示，在中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．(1)如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，的面積等于？(2)在（1）中，的面積能否等于？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)1秒后的面積等于(2)的面積不可能等于，理由見解析【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，的面積等于，根據(jù)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，表示出和的長(zhǎng)可列方程求解．（2）通過根的判別式即可判定能否達(dá)到，即可作答．【詳解】（1）解：∵其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)∴設(shè)經(jīng)過x秒以后面積為，則，整理得：，∴解得：（舍去），答：1秒后的面積等于；（2）解：的面積不能等于，理由如下：設(shè)經(jīng)過t秒以后面積為，則，整理得：，，∴此方程無解，故的面積不能等于．43．如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形？(2)是否存在某時(shí)刻，使線段恰好把的面積平分？若存在，求此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)為何值時(shí)，、間的距離等于？【答案】(1)當(dāng)時(shí)，為等腰三角形(2)不存在，理由見解析(3)【分析】（1）依題意得，，，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，只有，聯(lián)立方程即可求解；（2）依題意得，，化簡(jiǎn)得，再根據(jù)判別式確定即可；（3）由于，則，代入化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】（1）解：依題意得，，，則，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，只有，，解得，即當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；（2）不存在，理由如下：依題意得，，，，，方程無實(shí)根，不存在某時(shí)刻，使線段恰好把的面積平分；（3），，，，化簡(jiǎn)得：，解得或，∵∴不符合題意，舍去故時(shí)，、間的距離等于．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問題，涉及了等腰三角形，勾股定理、一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)；注意利用實(shí)際問題中的約束條件檢驗(yàn)所得的解．44．如圖所示，A、B、C、D是矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，一直到達(dá)為止，點(diǎn)以的速度向移動(dòng)．(1)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，四邊形的面積為？(2)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離第一次是？【答案】(1)5秒(2)秒【分析】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問題，涉及解一元一次方程和勾股定理，代數(shù)式的表示，（1）設(shè)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到x秒滿足條件，則，，根據(jù)梯形的面積公式求解即可；（2）設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過t秒時(shí)滿足條件，作，垂足為E，則，有，利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到x秒時(shí)四邊形的面積為，則，，根據(jù)梯形的面積公式得，解之得，答：P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到5秒時(shí)四邊形的面積為；（2）解：設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過t秒時(shí)，點(diǎn)P，Q間的距離是，作，垂足為E，則，∵，∴，由勾股定理，得，解得（舍去）．答：從出發(fā)到秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離第一次是．45．如圖，、、、為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，一直到達(dá)為止，點(diǎn)以的速度向移動(dòng)．(1)、兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，四邊形的面積為；(2)、兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)的距離第一次是．【答案】(1)5秒(2)從出發(fā)到秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離第一次是．【分析】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問題，涉及解一元一次方程和勾股定理，代數(shù)式的表示，（1）設(shè)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到x秒滿足條件，則，，根據(jù)梯形的面積公式求解即可；（2）設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過t秒時(shí)滿足條件，作，垂足為E，則，有，利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到x秒時(shí)四邊形的面積為，則，，根據(jù)梯形的面積公式得，解之得，答：P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到5秒時(shí)四邊形的面積為；（2）解：設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過t秒時(shí)，點(diǎn)P，Q間的距離是，作，垂足為E，則，∵，∴，由勾股定理，得，解得（舍去）．答：從出發(fā)到秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離第一次是．題型七：握手循環(huán)問題46．要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽．設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)個(gè)隊(duì)參賽，則滿足的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了列一元二次方程解決實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找準(zhǔn)等量關(guān)系．根據(jù)單循環(huán)賽總場(chǎng)數(shù)的計(jì)算公式，結(jié)合總比賽場(chǎng)數(shù)，建立方程求解．【詳解】解：設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)個(gè)隊(duì)參賽，每個(gè)隊(duì)需與其他個(gè)隊(duì)比賽一場(chǎng)，但每場(chǎng)比賽被計(jì)算了兩次，因此總比賽場(chǎng)數(shù)為，根據(jù)題意，總場(chǎng)數(shù)為場(chǎng)，故方程為．故選：B．47．某班班主任為在開學(xué)季讓學(xué)生帶著新的夢(mèng)想、新的希望開啟新的學(xué)期，組織學(xué)生互送賀卡一張互相鼓勵(lì)，若全班共送出賀卡1722張，設(shè)該班有x人，根據(jù)題意可列方程（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)該班有x人，則每人需送出張，根據(jù)全班共送出賀卡1722張，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)該班有x人，則每人需送出張，依題意得：，故選：A．48．參加一次聚會(huì)的每?jī)扇硕嘉樟艘淮问?，所有人共握?0次，參加聚會(huì)的人數(shù)是（

）A．5人 B．4人 C．3人 D．6人【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握組合數(shù)的公式．通過組合數(shù)公式建立方程求解人數(shù)．【詳解】解：設(shè)有人，根據(jù)題意，得，整理，得，解得（不符合題意，舍去），∴參加聚會(huì)的有5人，故選：．49．過元旦了，全班同學(xué)每?jī)蓚€(gè)人互發(fā)一條祝福短信，共發(fā)了380條，設(shè)全班有x名同學(xué)，列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)全班有x名同學(xué)，根據(jù)全班同學(xué)每?jī)蓚€(gè)人互發(fā)一條祝福短信，共發(fā)了380條，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)全班有x名同學(xué)，則每個(gè)同學(xué)要發(fā)條信息，根據(jù)題意得：，故選：A．50．2024年11月3日，大連足球在萬眾期待中迎來歷史性時(shí)刻，時(shí)隔一年重返中國(guó)足球超級(jí)聯(lián)賽（中超），彰顯了大連在中國(guó)足球歷史上的重要地位．2025年賽季中超聯(lián)賽仍然采用雙循環(huán)比賽制（即每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽），共要比賽240場(chǎng)．求本次聯(lián)賽共有多少支球隊(duì)．【答案】本次聯(lián)賽共有16支球隊(duì)【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找準(zhǔn)等量關(guān)系并正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)本次聯(lián)賽共有支球隊(duì)，根據(jù)2025年賽季中超聯(lián)賽仍然采用雙循環(huán)比賽制（即每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽），共要比賽240場(chǎng)，列出一元二次方程，求解并取符合題意的值即可．【詳解】解：設(shè)本次聯(lián)賽共有支球隊(duì)，由題意得，，，（舍去），本次聯(lián)賽共有16支球隊(duì)．51．列方程解決下列問題．材料一：2023年7月6日~8日，機(jī)器人足球世界杯中國(guó)賽（上海分賽場(chǎng)）暨張江智能機(jī)器人科創(chuàng)展示在“世界人工智能大會(huì)”張江分會(huì)場(chǎng)正式舉行．假設(shè)參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，賽程安排3天，每天安排145場(chǎng)比賽，求共有多少支隊(duì)伍參賽？材料二：2025年4月19日，全球首次“人機(jī)共跑”半程馬拉松在北京完賽，國(guó)內(nèi)高校，科研機(jī)構(gòu)，企業(yè)等20支機(jī)器人隊(duì)伍參賽，其中6支成功完賽，這些技術(shù)突破具有里程碑的意義，未來將應(yīng)用于工業(yè)制造，物流分揀，特種作業(yè)，家庭服務(wù)或養(yǎng)老服務(wù)等場(chǎng)景．這次機(jī)器人馬拉松比賽里程約為，北京天工機(jī)器人獲得冠軍，松延動(dòng)力機(jī)器人獲亞軍．北京天工機(jī)器人每小時(shí)比松延動(dòng)力機(jī)器人多跑，用時(shí)比松延動(dòng)力機(jī)器人少，求松延動(dòng)力機(jī)器人的平均速度是多少？【答案】材料一：共有30支隊(duì)伍參賽；材料二：【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．材料一：設(shè)共有支隊(duì)伍參賽，根據(jù)賽程安排3天，每天安排145場(chǎng)比賽，建立一元二次方程求解即可；材料二：設(shè)松延動(dòng)力機(jī)器人的平均速度是，則北京天工機(jī)器人的平均速度是，根據(jù)這次機(jī)器人馬拉松比賽里程約為，北京天工機(jī)器人用時(shí)比