解析幾何專項測試卷考試時間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2023·全國·模擬預測）已知圓，圓，則同時與圓和圓相切的直線有（

）A．4條 B．3條 C．2條 D．0條【答案】B【分析】根據(jù)圓的方程，明確圓心與半徑，進而確定兩圓的位置關系，可得答案.【詳解】由圓，則圓心，半徑；由圓，整理可得，則圓心，半徑；由，則兩圓外切，同時與兩圓相切的直線有3條.故選：B.2．（2023·全國·模擬預測）雙曲線的離心率為，且過點，則雙曲線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過已知得出與的兩個關系式，即可聯(lián)立求解，代入雙曲線方程即可得出答案.【詳解】雙曲線的離心率為，，，，即，雙曲線過點，，則由與聯(lián)立解得：，，雙曲線的方程為：，故選：B.3．（2023·河北衡水·衡水市第二中學校考模擬預測）設圓的方程為，則圓C圍成的圓盤在x軸上方的部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直線與軸的交點，并確定的大小，再根據(jù)圓盤在x軸上方的部分由個圓和三角形組成，即可求解.【詳解】令得，解得，設圓C與x軸相交的點為，則，圓圓C的圓心，半徑，，由余弦定理得，因為，所以，三角形的面積等于，圓盤在x軸上方的部分由個圓和三角形組成，所以圓盤在x軸上方的部分面積等于，故選:A.4．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）設直線與拋物線交于A，B兩點，M是線段AB的中點，則點M的橫坐標是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】直接聯(lián)立直線方程與拋物線方程，消y整理得，利用韋達定理以及中點坐標公式即可得解．【詳解】聯(lián)立，消y整理得，則，所以．故選：B．5．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預測）設雙曲線的右焦點為，以原點為圓心，焦距為直徑長的圓與雙曲線在軸上方的交點分別為，，若，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性結合雙曲線的定義，利用點在在圓上，結合勾股定理可求得，即可得，從而可確定雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：如圖，設雙曲線的左焦點為，連接由雙曲線與圓的對稱性可得，由由雙曲線的定義可得，所以，由點在圓上，所以，即，則，故，則，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.6．（2023·全國·模擬預測）已知拋物線C：，O為坐標原點，A，B是拋物線C上兩點，記直線OA，OB的斜率分別為，，且，直線AB與x軸的交點為P，直線OA、OB與拋物線C的準線分別交于點M，N，則△PMN的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設出A、B的坐標，由解得的值，再分別求出點M、點N的坐標，求得的式子，研究恒過x軸上的定點可得點P的坐標，進而用方法1基本不等式或方法2函數(shù)思想求得三角形面積的最小值.【詳解】設，，則，，∴∴，∴設：，令得：，∴，同理：∴，設：，，，，又∵，∴，解得：，∴：恒過點，∴與x軸交點P的坐標為，即：，∴點P到準線的距離為8+1=9.方法1：，當且僅當時取等號.∴，∴△PMN的面積的最小值為.方法2：∵∴，當且僅當m=0時取得最小值.∴，∴△PMN的面積的最小值為.故選：D.7．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖所示，拋物線，為過焦點的弦，過分別作拋物線的切線，兩切線交于點，設，則：①若的斜率為1，則；②若的斜率為1，則；③；④.以上結論正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由題設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立判斷①，結合導數(shù)幾何意義求得處的切線方程，進而得，再依次討論②③④即可得答案.【詳解】解：由得，所以焦點坐標，對①，直線的方程為，由得，所以，所以，故①錯誤．因為，所以，則直線、的斜率分別為、，所以，因為，所以，所以，，由，解得，即．由題意知，直線的斜率存在，可設直線的方程為，由消去得，所以，，故④正確所以，故③正確；所以當?shù)男甭蕿?，則，②錯誤；所以，正確的個數(shù)為2個.故選：B8．（2022·河南商丘·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的離心率為，右焦點為，直線均過點且互相垂直，與雙曲線的右支交于兩點，與雙曲線的左支交于點，為坐標原點，當三點共線時，（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意作出圖形，由雙曲線的對稱性及雙曲線的定義，利用勾股定理建立方程求解可得.【詳解】設雙曲線另一焦點為，連接，如圖，因為三點共線，，所以由雙曲線的對稱性知，四邊形為矩形，設，則，，在中，，即，又，解得或（舍去），在中，，即，解得，即.故選：B二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.9．（2022·吉林·東北師大附中校考模擬預測）設是過拋物線的焦點的弦，若，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．以弦為直徑的圓與準線相切 D．【答案】BCD【分析】設方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，，從而證明B正確；由及基本不等式求得的最小值，知A錯誤；由可證得知D正確；對選項C：根據(jù)圓心到直線的距離判斷是圓與準線否相切.【詳解】拋物線的焦點，，設直線方程為，與拋物線聯(lián)立得，所以，故B正確；而，所以，當且僅當時取得最小值，故A錯誤；而，故成立，所以D正確；對選項C：設的中點為，分別過作準線的垂線，垂足分別為，則圓心到準線的距離，所以圓心到準線的距離等于半徑，故以弦為直徑的圓與準線相切，C正確；故選：BCD10．（2023·全國·模擬預測）已知直線交橢圓于，兩點，是直線上一點，為坐標原點，則（

）A．橢圓的離心率為B．C．D．若，是橢圓的左，右焦點，則【答案】AD【分析】根據(jù)橢圓方程求出、、，即可求出離心率，即可判斷A，設，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，根據(jù)弦長公式判斷B，求出，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示判斷C，設關于直線的對稱點為，求出對稱點的坐標，再根據(jù)，即可判斷D.【詳解】解：因為橢圓，所以，，則，，所以離心率，故A正確；設，，由，消去得，顯然，所以，，所以，故B錯誤；又，所以，故C錯誤；設關于直線的對稱點為，則，解得，即，則，，當且僅當，，三點共線時取等號，所以的最大值為，即，故D正確，故選：AD11．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學?？寄M預測）已知橢圓的左，右焦點分別為，長軸長為4，點在橢圓外，點在橢圓上，則（

）A．橢圓的離心率的取值范圍是B．當橢圓的離心率為時，的取值范圍是C．存在點使得D．的最小值為2【答案】ABC【分析】根據(jù)點在橢圓外，即可求出的取值范圍，即可求出離心率的取值范圍，從而判斷A；根據(jù)離心率求出，則，即可判斷B；設上頂點，得到，即可判斷C；根據(jù)利用基本不等式判斷D.【詳解】由題意得，又點在橢圓外，則，解得，所以橢圓的離心率，即橢圓的離心率的取值范圍是，故A正確；當時，，，所以的取值范圍是，即，故B正確；設橢圓的上頂點為，，，由于，所以存在點使得，故C正確；，當且僅當時，等號成立，又，所以，故D不正確．故選：ABC12．（2022·遼寧·遼寧實驗中學校考模擬預測）若曲線C的方程為，則（

）A．當時，曲線C表示橢圓，離心率為B．當時，曲線C表示雙曲線，漸近線方程為C．當時，曲線C表示圓，半徑為1D．當曲線C表示橢圓時，焦距的最大值為4【答案】BC【分析】根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)，由方程確定曲線形狀，然后求出橢圓的得離心率，得焦距判斷AD，雙曲線方程中只要把常數(shù)1改為0，化簡即可得漸近線方程，判斷B，由圓的標準方程判斷C．【詳解】選項A，時，曲線方程為，表示橢圓，其中，，則，離心率為，A錯；選項B，時曲線方程為表示雙曲線，漸近線方程為，即，B正確；選項C，時，曲線方程為，表示圓，半徑為1，C正確；選項D，曲線C表示橢圓時，或，時，，，，時，，，，所以，即，無最大值．D錯．故選：BC．

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．（2022秋·陜西榆林·高二?？计谥校╇p曲線的漸近線方程為_________.【答案】【分析】由雙曲線方程得，再計算漸近線方程.【詳解】由，得，故漸近線方程為，故答案為：14．（2023秋·吉林通化·高二梅河口市第五中學?？计谀佄锞€的焦點為，為拋物線上一動點，定點，則的最小值為___________．【答案】7【分析】過作拋物線準線的垂線，為垂足，由于，因此當三點共線時，取得最小值，由此計算可得．【詳解】如圖，直線是拋物線的準線，方程為，焦點為，過作于，作過作于，，易知當三點共線，即與重合時，取得最小值．故答案為：7.15．（2023秋·甘肅蘭州·高二?？计谀┮阎p曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為（為雙曲線的半焦距），則雙曲線的離心率為___________.【答案】【分析】根據(jù)點到直線的距離公式可得：雙曲線一個焦點到一條漸近線的距離，根據(jù)題意可得：，再利用即可求出離心率.【詳解】不妨設右焦點，雙曲線的漸近線方程為：，由點到直線的距離公式可得：焦點到漸近線的距離，根據(jù)題意則有，又因為，所以，則，故答案為：.16．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考期末）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的右焦點為，右頂點為，過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．若，則雙曲線的離心率為__________．【答案】【分析】通過線段的長度先證明出為等邊三角形，得出漸近線的傾斜角，進而得出離心率的取值.【詳解】根據(jù)對稱性，不妨取漸近線，根據(jù)點到直線的距離，則到該漸近線的距離為：，即，于是，依題意，由可知，，又，于是，故為等邊三角形，于是，故，則雙曲線的離心率.故答案為：2

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.(1)求雙曲線的方程；(2)若雙曲線的右頂點為，直線與雙曲線相交于兩點不是左右頂點），且.求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.【答案】(1)(2)證明過程見解析，定點坐標為【分析】（1）由漸近線方程求出，根據(jù)焦點到漸近線距離列出方程，求出，從而求出，得到雙曲線方程；（2）與聯(lián)立，求出兩根之和，兩根之積，由列出方程，求出或，舍去不合要求的情況，求出直線過定點，定點坐標為.【詳解】（1）因為漸近線方程為，所以，焦點坐標到漸近線的距離為，解得：，因為，解得：，所以雙曲線的方程為；（2）由題意得：，與聯(lián)立得：，設，則，，，化簡得：，解得：或，當時，恒過點，當時，恒過點，此時中有一點與重合，不合題意，舍去，綜上：直線過定點，定點為，【點睛】處理定點問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設為），（2）利用條件找到與過定點的曲線的聯(lián)系，得到有關與的等式，（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時要將關于與的等式進行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號中式子等于0，求出定點；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關系，可消去變?yōu)槌?shù).18．（2023秋·吉林長春·高三長春市第二中學?？计谀┮阎矫嫔弦粍狱c到的距離與到直線的距離之比為．(1)求動點的軌跡方程；(2)曲線上的兩點，，平面上點，連結，并延長，分別交曲線于點A，B，若，，問，是否為定值，若是，請求出該定值，若不是，請說明理由．【答案】(1)；(2)是定值，.【分析】（1）設，根據(jù)已知可得，整理即可得到動點的軌跡方程；（2）當點在軸上時，以右端點為例，寫出點的坐標，由已知求出，的值，即可得出；當點不在軸上時，設直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得到，由韋達定理得到，同理可得到.根據(jù)向量關系，表示出，，根據(jù)斜率公式推得，結合點滿足橢圓方程，化簡即可得出結果.【詳解】（1）解：設，則，點到直線的距離.由已知可得，整理可得.所以，動點的軌跡是橢圓，方程為.（2）解：是定值，.當點在軸上時，不妨設點為橢圓右端點，由已知可得，，所以，，，，所以，，即，，所以.同理可得，當點為橢圓左端點時，，，所以；當點不在軸上時，設，直線方程為，直線方程為.聯(lián)立直線方程與橢圓方程，整理可得，根據(jù)韋達定理有.聯(lián)立直線方程與橢圓方程，整理可得，根據(jù)韋達定理有.又，，，，因為，，所以，所以.又，，所以，所以，又，所以，所以.綜上所述，.所以，是定值，.19．（2022秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知動點M到點的距離等于它到直線的距離，記動點M的軌跡為曲線C.(1)求動點M的軌跡方程C；(2)已知，過點的直線l斜率存在且不為0，若l與曲線C有且只有一個公共點P，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由拋物線定義可得軌跡方程；（2）設過點的直線l為，將其與拋物線方程聯(lián)立，利用可得值與點P坐標，再得直線AP與y軸交點，后可得的面積【詳解】（1）根據(jù)拋物線定義得動點M的軌跡為曲線..（2）設過點的直線l為，將其與拋物線方程聯(lián)立，得，消去得：①，因l與C有且只有一個公共點，則.將代入①得，解得，代入直線l可得則直線AP方程為：，則其與y軸交點為，則由圖可得：20．（2023·河北衡水·衡水市第二中學?？寄M預測）已知拋物線：和橢圓：有共同的焦點F(1)求拋物線C的方程，并寫出它的準線方程(2)過F作直線交拋物線C于P，Q兩點，交橢圓E于M，N兩點，證明：當且僅當軸時，取得最小值【答案】(1)拋物線方程為，準線為.(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)橢圓中“”的關系求出焦點，根據(jù)共焦點即可求解；(2)利用韋達定理分別表示出，即可證明.【詳解】（1）根據(jù)橢圓：可得，所以，則橢圓的右焦點也為拋物線的焦點，所以，解得，所以拋物線方程為，準線為.（2）由題可得，直線的斜率不等于0，所以設，設，聯(lián)立整理得，所以，所以，設，聯(lián)立整理得，所以，所以所以,所以，因為為常數(shù)，所以當，即時，取得最小值，此時的方程為垂直于軸,所以命題得證.21．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知，分別是橢圓的上下頂點，，