第2講三角恒等變換與解三角形一、選擇題1．(2021·全國甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝eq\r(19)，AB＝2，則BC等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(5)D．32．(2021·全國乙卷)cos2eq\f(π,12)－cos2eq\f(5π,12)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)3．(2022·榆林模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為eq\f(3\r(15),4)，b－c＝1，cosA＝eq\f(1,4)，則a等于()A．10B．3C.eq\r(10)D.eq\r(3)4．已知cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝－eq\f(\r(10),10)，α，β均為銳角，則β等于()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,3)5．設(shè)角α，β的終邊均不在坐標(biāo)軸上，且tan(α－β)＋tanβ＝tanα，則下列結(jié)論正確的是()A．sin(α＋β)＝0 B．cos(α－β)＝1C．sin2α＋sin2β＝1 D．sin2α＋cos2β＝16．(2022·張家口質(zhì)檢)下列命題中，不正確的是()A．在△ABC中，若A>B，則sinA>sinBB．在銳角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，則△ABC是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝eq\f(π,3)，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形7．故宮是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群，故宮宮殿房檐設(shè)計(jì)恰好使北房在冬至前后陽光滿屋，夏至前后屋檐遮陰．已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽高度角約為75°，冬至前后正午太陽高度角約為30°.圖1是頂部近似為正四棱錐、底部近似為正四棱柱的宮殿，圖2是其示意圖，則其出檐AB的長度(單位：米)約為()A．3米 B．4米C．6(eq\r(3)－1)米 D．3(eq\r(3)＋1)米8．(2022·濟(jì)寧模擬)已知sinα－cosβ＝3cosα－3sinβ，且sin(α＋β)≠1，則sin(α－β)的值為()A．－eq\f(3,5)B.eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5)D.eq\f(4,5)二、填空題9．(2022·煙臺(tái)模擬)若sinα＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，則tan2α的值為________．10．(2022·泰安模擬)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,4)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2α))＝________.11.(2022·開封模擬)如圖，某直徑為5eq\r(5)海里的圓形海域上有四個(gè)小島，已知小島B與小島C相距5海里，cos∠BAD＝－eq\f(4,5).則小島B與小島D之間的距離為________海里；小島B，C，D所形成的三角形海域BCD的面積為________平方海里．12．(2022·汝州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝2，cos2C＝cos2A＋4sin2B，則△ABC面積的最大值為________．三、解答題13．(2022·新高考全國Ⅱ)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝eq\f(\r(3),2)，sinB＝eq\f(1,3).(1)求△ABC的面積；(2)若sinAsinC＝eq\f(\r(2),3)，求b.14．(2022·撫順模擬)在①(2c－a)sinC＝(b2＋c2－a2)eq\f(sinB,b)；②cos2eq\f(A－C,2)－cosAcosC＝eq\f(3,4)；③eq\f(\r(3)c,bcosA)＝tanA＋tanB這三個(gè)條件中，任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中