/南寧市第三十三中學(xué)高二年級(jí)開學(xué)考數(shù)學(xué)一、單選題1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D解析：因?yàn)榧鲜撬蟹钦麛?shù)組成的集合，所以．故選：D．2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A.2i B.i C.2 D.1【答案】D解析：因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的虛部為1.故選：D.3.已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且，若，則的外接圓面積為A. B. C. D.【答案】D解析：由題得，所以，所以，所以,所以.由正弦定理得,所以的外接圓面積為.故選D4.已知，若，則的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C解析：方法1：由得，即，而，故，得，而，故.方法2：如圖，設(shè)，則，因?yàn)榕c垂直，故，而，故，故，即的夾角為．故選：C．5.已知函數(shù)若，則＝()A.－ B.3C.－或3 D.－或3【答案】A解析：當(dāng)時(shí)，若，則；當(dāng)時(shí)，若，則，不滿足舍去．于是，可得.故.故本題選A.6.如圖所示，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)．過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，，若，，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B解析：解：由已知得，結(jié)合，，所以．又因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，所以．故選：．7.在棱長為2的正方體中，M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值（）A. B. C. D.【答案】B解析：連接，如圖，由正方體的性質(zhì)可得為等腰直角三角形，故，為直角三角形，，將圖中繞翻折至與共面，如圖，所以由圖可知，共線時(shí)，最小，此時(shí)，由余弦定理可知，所以最小值為.故選：B8.已知正三棱錐的底面的邊長為6，直線AB與底面BCD所成角的余弦值為，則正三棱錐外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B解析：如圖所示，作面，因?yàn)槿忮F為正三棱錐，所以是正三角形的中心，連接，設(shè)球心為，則在上，連接.正三棱錐的底面的邊長為6，所以，因?yàn)橹本€AB與底面BCD所成角的余弦值為，即，所以，設(shè)外接球半徑為，則，，所以在中，可得，解得，則外接球體積為.故選：B.二、多選題9.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】ACD解析：對于A，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以A正確，對于B，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，得到，所以B錯(cuò)誤，對于C，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，得到，所以C正確，對于D，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以D正確，故選：ACD.10.射擊場，甲乙兩人獨(dú)立射擊同一個(gè)靶子，擊中靶子的概率分別為，.記事件A為“兩人都擊中”，事件B為“至少1人擊中”，事件C為“無人擊中”，事件D為“至多1人擊中”則下列說法正確的是（）A.事件A與C是互斥事件 B.事件B與D是對立事件C.事件C與D相互獨(dú)立 D.【答案】AD解析：依題意，，對于A：因“兩人都擊中”的對立事件為“至多1人擊中”，即包括“無人擊中”，“1人擊中”，故事件A與C是互斥事件，故A正確；對于B:因?yàn)槭录﨎,D中都包含1人擊中，故B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)槭录﨏,D中都包含0人擊中，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)椋?，故D正確；故選：AD11.如圖，已知在直三棱柱中，F(xiàn)為的中點(diǎn)，E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.該直三棱柱的外接球的表面積為C.當(dāng)三棱錐的外接球的半徑最小時(shí)，直線EF與所成角的余弦值為D.若E是棱的中點(diǎn)，過A，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面作該直三棱柱的截面，則所得截面的面積為【答案】ACD解析：A選項(xiàng)，根據(jù)，在直三棱柱中，長度固定，長度固定，所以為定值，因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)到平面的距離就是到平面的距離，為定值，所以為定值，即三棱錐的體積為定值，A正確；B選項(xiàng)：外接球的球心是上、下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，設(shè)上底面外接圓圓心為，外接圓半徑為，在中，由余弦定理可得，所以，由正弦定理得，所以，設(shè)外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：作，垂足為，作，垂足為，易證得在平面上的射影為，則點(diǎn)在平面上射影在線段上，由B選項(xiàng)可知，，故，解得，故，則，設(shè)的中點(diǎn)為，外接球的球心為，半徑為，則平面，即，在中，①，又因?yàn)棰?，由①②可得，所以?dāng)取最小值時(shí)，最小，即最小，此時(shí)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則是的中點(diǎn)，則是棱的中點(diǎn).因?yàn)?，所以直線與所成角即為直線與所成角.由B項(xiàng)中，再由余弦定理可得，因?yàn)椋?，，故C項(xiàng)正確；D項(xiàng)：延長，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則四邊形是截面，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近的三等分點(diǎn)，由勾股定理求得，因?yàn)椋詾橹苯?，故，又，，易知，所以四邊形的面積為，故D項(xiàng)正確.故選：ACD三、填空題12.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，方差為6，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)是________，方差是________．【答案】①.1；②.6.解析：由已知得，，所以，.故答案為：①1；②6.13.在三棱柱中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)是側(cè)面的中心，則與平面所成角的大小是______.【答案】60°解析：取BC的中點(diǎn)E，則,則即為所求，設(shè)棱長為2，則,．14.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知甲命中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是，乙命中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是，任意兩次射擊相互獨(dú)立．現(xiàn)在甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每一輪比賽兩人各射擊一次，環(huán)數(shù)高于對方為勝，環(huán)數(shù)低于對方為負(fù)，環(huán)數(shù)相等為平局，規(guī)定連續(xù)勝利兩輪的選手為最終的勝者，比賽結(jié)束，則恰好進(jìn)行3輪射擊后，比賽結(jié)束的概率是______．【答案】解析：記表示甲在第輪勝利，表示甲在第輪平局，表示甲在第輪失敗，則甲獲得勝利的情況為甲射擊10環(huán)，乙射擊不為10環(huán)；和甲射擊9環(huán)，且乙射擊為8環(huán).即；甲獲得平局的情況為甲、乙射擊均為10環(huán)，9環(huán)和8環(huán)，即；甲失敗的情況為．①當(dāng)甲獲得最終勝利結(jié)束3輪比賽時(shí)，則第2輪，第3輪甲連續(xù)勝利，且第1輪甲沒有獲得勝利，其概率為；②當(dāng)乙獲得最終勝利結(jié)束3輪比賽時(shí)，則第2輪，第3輪乙連續(xù)勝利，第1輪乙沒有獲得勝利，其概率為；所以經(jīng)過3輪比賽結(jié)束的概率．故答案為：.四、解答題15.已知向量，，函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，再向右平移個(gè)單位得到的圖象，求在上的值域．【答案】（1），（2）（1）因?yàn)橄蛄浚?，函?shù)，所以，令，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2）由（1）知，函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，再向右平移個(gè)單位，則，當(dāng)時(shí)，，，則．所以在的值域?yàn)?16.這么近，那么美，周末到河北.“五一”小長假過后，為更好地提升旅游品質(zhì)，邯鄲東太行旅游度假區(qū)的工作人員隨機(jī)選擇100名游客對景區(qū)進(jìn)行滿意度評(píng)分（滿分100分），將評(píng)分繪制成頻率分布直方圖，請根據(jù)下面尚未完成的頻率分布直方圖解決下列問題.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求的值；（2）估計(jì)這100名游客對景區(qū)滿意度評(píng)分的中位數(shù)；（3）若工作人員從這100名游客中隨機(jī)抽取了5名，其中評(píng)分在內(nèi)的有2人，評(píng)分在內(nèi)的有3人.現(xiàn)從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行個(gè)別交流，求選取的2人評(píng)分均在內(nèi)的概率.【答案】（1）（2）（3）（1）由圖知：，可得.（2）由，所以中位數(shù)在之間，設(shè)中位數(shù)為，那么，解得，所以中位數(shù)為86.（3）設(shè)在中抽取的2人分別為；在中抽取的3人分別為；從這5人中隨機(jī)抽取2人，則樣本空間為：，共有10個(gè)基本事件.設(shè)選取的2人評(píng)分均在內(nèi)為事件，則中包含3個(gè)基本事件，所以.17.在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為的中點(diǎn)，如圖所示．（1）證明：平面；（2）若為等邊三角形，平面平面，，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（1）如圖所示，取的中點(diǎn)，連接．由分別為的中點(diǎn)，則，而，得，即四邊形為平行四邊形，故，而平面平面，故平面．（2）取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，由為等邊三角形，則．由平面平面，平面平面平面，故平面．由，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．則，，則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，得．則．由圖形知，二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為．18.已知在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，.（1）求角；（2）已知直線為的平分線，且與交于點(diǎn)，若，，求的周長.【答案】（1）（2）（1）在中，由正弦定理可知可轉(zhuǎn)化為，即，即，，由在中，，則；（2）在中，由，即，又直線為的平分線，則，所以，即，又由余弦定理可得，即，可知，解得或（舍），所以的周長為.19.已知為坐標(biāo)