專升本數(shù)學(xué)考試真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)的定義域是（）A.\(x\geq1\)B.\(x>1\)C.\(x\neq1\)D.\(x<1\)2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價(jià)無窮小3.設(shè)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，且\(f^\prime(x_0)=2\)，則\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{2\Deltax}=\)（）A.1B.2C.4D.\(\frac{1}{2}\)4.曲線\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.45.函數(shù)\(f(x)=\sinx\)的一個(gè)原函數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)6.\(\intx^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x+C\)7.設(shè)\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}=\)（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(y\)D.\(2x\)8.已知向量\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec=(2,k)\)，若\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(k=\)（）A.1B.\(-1\)C.4D.\(-4\)9.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂的B.發(fā)散的C.條件收斂的D.絕對(duì)收斂的10.微分方程\(y^\prime=x\)的通解是（）A.\(y=\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(y=x^2+C\)C.\(y=\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(y=2x+C\)答案：1.B2.A3.A4.C5.B6.A7.A8.A9.B10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(1+x^2)\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-x}\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分必要條件是（）A.函數(shù)在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)\(f_{-}^\prime(x_0)\)和右導(dǎo)數(shù)\(f_{+}^\prime(x_0)\)都存在C.\(f_{-}^\prime(x_0)=f_{+}^\prime(x_0)\)D.函數(shù)在點(diǎn)\(x_0\)處有定義4.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^3dx=0\)B.\(\int_{0}^{1}e^xdx=e-1\)C.\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2\)D.\(\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx=\ln2-\ln1\)5.設(shè)\(z=f(x,y)\)，則全微分\(dz\)為（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy\)B.\(f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)C.\(\frac{\partialz}{\partialx}+\frac{\partialz}{\partialy}\)D.\(df(x,y)\)6.下列向量中，與向量\(\vec{a}=(1,1)\)平行的有（）A.\((2,2)\)B.\((-1,-1)\)C.\((1,-1)\)D.\((-2,-2)\)7.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)8.對(duì)于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，下列說法正確的有（）A.若\(f_{xy}(x,y)\)和\(f_{yx}(x,y)\)都連續(xù)，則\(f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)\)B.駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)C.極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)D.偏導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)是駐點(diǎn)9.微分方程的通解包含（）A.任意常數(shù)B.所有解C.特解D.滿足初始條件的解10.下列哪些方法可以用來判斷級(jí)數(shù)的斂散性（）A.比較判別法B.比值判別法C.根值判別法D.萊布尼茨判別法答案：1.ABD2.ABD3.BC4.ABCD5.ABD6.ABD7.ABC8.ACD9.AB10.ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x^2}\)與\(y=x\)是同一個(gè)函數(shù)。（）2.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x_0)\)就是曲線\(y=f(x)\)在點(diǎn)\((x_0,f(x_0))\)處的切線斜率。（）4.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)。（）5.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((0,0)\)處取得極小值。（）6.向量\(\vec{a}=(1,2)\)與向量\(\vec=(2,4)\)垂直。（）7.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)。（）8.微分方程\(y^\prime+y=0\)的通解是\(y=Ce^x\)。（）9.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）10.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x,y)\)和\(f_y(x,y)\)都存在，則\(z=f(x,y)\)一定可微。（）答案：1.×2.×3.√4.√5.√6.×7.√8.×9.×10.×四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)區(qū)間。答：對(duì)\(y=x^3-3x^2+1\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y^\prime<0\)，解得\(0<x<2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計(jì)算\(\intxe^xdx\)。答：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。由分部積分公式\(\intudv=uv-\intvdu\)，可得\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C\)。3.求函數(shù)\(z=x^2+2xy-y^2\)在點(diǎn)\((1,2)\)處的全微分。答：先求偏導(dǎo)數(shù)，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x+2y\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=2x-2y\)。將\((1,2)\)代入得\(\frac{\partialz}{\partialx}\big|_{(1,2)}=6\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\big|_{(1,2)}=-2\)。所以全微分\(dz=6dx-2dy\)。4.求級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)的收斂半徑。答：由冪級(jí)數(shù)收斂半徑公式\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)，這里\(a_n=\frac{1}{n}\)，\(a_{n+1}=\frac{1}{n+1}\)，則\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}}=1\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leq0\\2x+1,&x>0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。答：連續(xù)性：\(\lim\limits_{x\to0^{-}}f(x)=0^2+1=1\)，\(\lim\limits_{x\to0^{+}}f(x)=2\times0+1=1\)，且\(f(0)=0^2+1=1\)，所以函數(shù)在\(x=0\)處連續(xù)。可導(dǎo)性：左導(dǎo)數(shù)\(f_{-}^\prime(0)=\lim\limits_{x\to0^{-}}\frac{(x^2+1)-1}{x}=0\)，右導(dǎo)數(shù)\(f_{+}^\prime(0)=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{(2x+1)-1}{x}=2\)，左右導(dǎo)數(shù)不相等，所以在\(x=0\)處不可導(dǎo)。2.討論二重積分\(\iint_Df(x,y)d\sigma\)的計(jì)算方法，其中\(zhòng)(D\)是由\(y=x\)，\(y=1\)，\(x=0\)所圍成的區(qū)域。答：先確定積分區(qū)域\(D\)，\(D\)是一個(gè)三角形區(qū)域。可采用先對(duì)\(x\)后對(duì)\(y\)積分的方法，積分限為\(0\leqy\leq1\)，\(0\leqx\leqy\)，則\(\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx\)。3.討論微分方程\(y^{\prime\prime}+y