13.3.1三角形的內(nèi)角人教版(2024)八年級(jí)上冊(cè)第十三章

三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)1探索并證明三角形的內(nèi)角和定理2探索并掌握直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)回顧舊識(shí)在小學(xué)，通過度量或剪拼，我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和等于

180°，這樣的方法獲得的結(jié)論可靠嗎？由于測(cè)量常常有誤差，這樣驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和等于

180°，不能完全令人信服；又由于形狀不同的三角形有無數(shù)個(gè)，我們不可能用上述方法一一驗(yàn)證所有三角形的內(nèi)角和等于

180°.因此，需要通過推理的方法去證明：任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°.探索新知探究你還記得在小學(xué)時(shí)如何通過剪拼的方法得出三角形的內(nèi)角和嗎？下圖給出了兩種剪拼的方法.從這個(gè)操作過程，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？BCABClBBAACl(1)(2)探索新知在(1)中，將△ABC

的∠B和∠C剪下，分別拼在∠A的左右，三個(gè)角合起來形成一個(gè)平角，出現(xiàn)一條過點(diǎn)

A的直線

l，移動(dòng)后的∠B和∠C各有一條邊在直線

l上.想一想：直線

l與△ABC的邊

BC有什么關(guān)系？你能由這個(gè)圖想出證明“三角形內(nèi)角和等于180°”的方法嗎？BCABClBBAACl(1)(2)l∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)探索新知已知：△ABC.求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.證明：

過點(diǎn)

A作直線

l，使得

l∥BC.∵

l∥BC，∴∠2＝∠4.

(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)同理∠3＝∠5.∵∠1，∠4，∠5組成平角，∴∠1＋∠4＋∠5＝180°(平角定義)，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°(等量代換).BCABCl12ABCl345由圖(2)你能給出這個(gè)定理的其他證法嗎？探索新知已知：△ABC.求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.證明：

延長

BC

到點(diǎn)

D，過點(diǎn)

C

作

CE∥BA，∵

CE∥BA，∴∠A＝∠1

(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠B＝∠2

(兩直線平行，同位角相等).∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°(平角定義)，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代換).BBAAClED12CBA探索新知三角形的內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°.12ABCl345思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？ED12CBA借助平行線的“移角”的功能，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角(180°).借助這個(gè)核心同學(xué)們還有其他的證法嗎？典型例題例1如圖，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，

AD是

△ABC的角平分線.求

∠ADB的度數(shù).CABD解：由

∠BAC＝40°，AD是

△ABC的角平分線，得

∠BAD＝∠BAC＝20°.在

△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠BAD

＝180°－75°－20°

＝85°.

典型例題例2如圖是

A，B，C三島的平面圖，C島在

A島的北偏東50°方向，B島在

A島的北偏東80°方向，C島在

B島的北偏西40°方向.從

B島看

A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從

C島看

A，B兩島的視角∠ACB呢？分析：A，B，C三島的連線構(gòu)成

△ABC，所求的∠ACB是

△ABC的一個(gè)內(nèi)角.如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.50°40°30°典型例題解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°.由

AD∥BE，得∠BAD＋∠ABE＝180°.所以∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，∠ABC＝∠ABE－∠CBE＝100°－40°＝60°.在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB

＝180°－60°－30°＝90°.答：從

B島看

A，C兩島的視角∠ABC是60°，從

C島看

A，B兩島的視角∠ACB是90°.50°40°30°你還能給出其他解法嗎？典型例題解：過點(diǎn)

C作

CF∥BE，則

CF∥AD.所以∠ACF＝∠CAD＝50°，∠BCF＝∠CBE＝40°，所以∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝50°＋40°＝90°.因?yàn)椤螩AB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°，所以在△ABC中，∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－90°－30°＝60°.答：從

B島看

A，C兩島的視角∠ABC是60°，從

C島看

A，B兩島的視角∠ACB是90°.50°40°30°F探索新知直角三角形的性質(zhì)定理利用三角形的內(nèi)角和定理，可以得到一些特殊三角形的內(nèi)角的關(guān)系.如圖，在直角三角形

ABC

中，∠C＝90°，由三角形的內(nèi)角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°即∠A＋∠B＋90°＝180°，所以∠A＋∠B＝90°.直角三角形的兩個(gè)銳角互余.直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，直角三角形

ABC

可以寫成

Rt△ABC.ABC典型例題例3如圖，∠C＝∠D＝90°，AD，BC

相交于點(diǎn)

E，比較

∠CAE

與

∠DBE

的大小.解：在

Rt△ACE

中，∠CAE＝90°－∠AEC.在

Rt△BDE

中，∠DBE＝90°－∠BED.∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE.ABCDE探索新知思考我們知道，如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形有兩個(gè)角互余.

反過來，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎？已知：△ABC.求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.證明：在△ABC中，因?yàn)椤螦

＋∠B

＋∠C＝180°，又

∠A

＋∠B＝90°，所以∠C＝90°.即

△ABC是直角三角形.ABC探索新知直角三角形的判定定理有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.ABC幾何語言：在△ABC中，∵∠A

＋∠B＝90°，∴△ABC

是直角三角形．證明一個(gè)三角形是直角三角形的方法1.證明三角形有一個(gè)內(nèi)角是90°(或證明三角形有兩條邊互相垂直).2.證明三角形的兩個(gè)銳角的和是90°.3.證明三角形中有一個(gè)內(nèi)角與已知的直角相等.當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)C當(dāng)堂檢測(cè)B當(dāng)堂檢測(cè)D當(dāng)堂檢測(cè)A當(dāng)堂檢測(cè)52°當(dāng)堂檢測(cè)135°當(dāng)堂檢測(cè)25°