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第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念主講教師王岳微分學(xué)產(chǎn)生的背景

文藝復(fù)興使得歐洲的生產(chǎn)力得到迅速發(fā)展，在此刺激下，自然科學(xué)也進(jìn)入了一個嶄新的時期，一些微分學(xué)的基本問題受到人們空前的關(guān)注：如確定變速運動物體的速度與加速度，即：瞬時變化率——導(dǎo)數(shù)問題的研究成為當(dāng)務(wù)之急；望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計需要確定透鏡曲面上任一點的法線，這又使求任意曲線的切線問題變得不可回避；確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點與遠(yuǎn)日點等涉及的求函數(shù)極大值、極小值等問題也亟待解決。

因此，在17世紀(jì)上半葉，幾乎所有的科學(xué)大師都致力于尋求解決這些難題的方法。在此背景下，在17世紀(jì)后期，微積分學(xué)應(yīng)運而生。微積分的系統(tǒng)發(fā)展常主要歸功于兩位科學(xué)先驅(qū)——英國的牛頓和德國的萊布尼茨。一、引例引例1．曲線的切線問題即切線斜率為

引例2．變速直線運動的瞬時速度問題

上述兩個引例，雖然分屬幾何和物理的問題，但得出了相同形式的結(jié)果，即都要計算：

當(dāng)自變量的改變量趨于零時，函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限。

我們拋開這些實際問題的具體背景，抓住它們在數(shù)學(xué)上的共性——求增量比的極限，由此抽象出導(dǎo)數(shù)的概念。二、導(dǎo)數(shù)的概念1.導(dǎo)數(shù)的定義即若,則：導(dǎo)函數(shù)定義即：左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)：右導(dǎo)數(shù)：2．函數(shù)的改變量、平均變化率和瞬時變化率的關(guān)系函數(shù)的改變量（增量）

函數(shù)的平均變化率函數(shù)的瞬時變化率（導(dǎo)數(shù)）3．用導(dǎo)數(shù)表示實際量——變化率模型

引例1中，曲線在某一點的切線斜率正是該曲線的函數(shù)在這一點的導(dǎo)數(shù)；

引例2中，變速直線運動在某一時刻的瞬時速度正是位移函數(shù)在該時刻對時間的導(dǎo)數(shù)。用上述建立導(dǎo)數(shù)模型的方法可以得到：

用導(dǎo)數(shù)表示變化率的例子還很多，如出生率、角速度、線密度、傳染病的傳染率等，這里不再一一列舉。三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義法線方程為四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系因此，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可簡

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