20222023學年北師大版六年級數(shù)學下冊計算專項復習講義專題03圓錐的體積一．圓錐體積的計算公式的推導，與圓柱等底等高的圓錐的體積等于圓柱體積的，推得．如果用V表示圓錐的體積，用S表示圓錐的底面積，用h表示圓錐的高，用r表示圓錐的底面半徑，則圓錐體積的計算公式用字母表示為或．二．圓錐體積的計算公式的應用1．已知圓錐的底面半徑和高，可以直接利用公式來求圓錐的體積．2．已知圓錐的底面直徑和高，可以直接利用公式來求圓錐的體積．3．已知圓錐的底面周長和高，可以直接利用公式來求圓錐的體積．典型例題

一個底面直徑是12cm的圓錐形木塊，把它分成形狀、大小完全相同的兩個木塊后，表面積比原來增加了120cm2，求這個圓錐形木塊的體積是多少？名師學堂

解題思路．把圓錐形木塊分成形狀、大小完全相同的兩塊后，多了兩個以底面直徑為底邊、以圓錐的高為高的等腰三角形的面（如下圖）．先求出一個等腰三角形的而面積，再根據(jù)公式求出圓錐形木塊的高．已知圓錐形木塊的底面直徑和高，可以求出它的體積．正確答案．（cm2）圓錐形木塊的高：（cm）圓錐形木塊的體積：答：這個圓錐形木塊的體積是376.8cm3．重點：圓錐體積的計算公式的推導．難點：理解圓錐與圓柱之間的聯(lián)系，并能解決相關的實際問題．易錯點：只有等底等高的圓柱與圓錐的體積一定存在3倍的關系．【典例分析01】（2022?惠來縣）以直角三角形的OB邊為軸旋轉1周，得到的立體圖形是圓錐。請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算出這個立體圖形的體積。（單位：厘米）【思路引導】根據(jù)圖示可知，沿直角三角形的直角邊OB為軸旋轉一周，會得到一個圓錐體，圓錐的底面半徑是4厘米，高是3厘米，利用圓錐的體積公式V＝πr2h代入數(shù)字計算即可。【規(guī)范解答】解：3.14×42×3＝3.14×16＝50.24（立方厘米）答：圓錐的體積是50.24立方厘米。【考察注意點】本題考查了圓錐體積公式的應用。【典例分析02】（2022?臺兒莊區(qū)）圖形計算。（1）計算下面圓錐體的體積。（2）如圖，圓的面積是6.28dm2，求陰影部分（正方形）的面積。【思路引導】（1）根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答。（2）通過觀察圖形可知，正方形的邊長等于圓的半徑，根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：（1）3.14×32×8＝3.14×9×8＝75.36（立方分米）答：這個圓錐的體積是75.36立方分米。（2）設圓的半徑為r分米，3.14×r2＝6.283.14×r2÷3.14＝6.28÷3.14r2＝1答：陰影部分（正方形）的面積是1平方分米?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查圓錐的體積公式、圓的面積公式、正方形的面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式?！咀兪接柧?1】（2022春?靈寶市期中）求如圖圓柱的表面積和圓錐的體積。（單位：厘米）【思路引導】根據(jù)圓柱的表面積＝側面積+底面積×2，圓錐的體積＝底面積×高÷3，解答此題即可?！疽?guī)范解答】解：3.14×3×3×2+3.14×3×2×6.5＝56.52+122.46＝178.98（平方厘米）8÷2＝4（厘米）3.14×4×4×6÷3＝50.24×2＝100.48（立方厘米）【考察注意點】熟練掌握圓柱的表面積公式和圓錐的體積公式，是解答此題的關鍵?！咀兪接柧?2】（2022春?永州月考）求圓錐的體積（單位：dm）【思路引導】根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【規(guī)范解答】解：3.14×（12÷2）2×10＝3.14×36×10＝376.8（立方分米）答：這個圓錐的體積是376.8立方分米?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。1．（2022?惠來縣）以直角三角形的OB邊為軸旋轉1周，得到的立體圖形是圓錐。請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算出這個立體圖形的體積。（單位：厘米）【思路引導】根據(jù)圖示可知，沿直角三角形的直角邊OB為軸旋轉一周，會得到一個圓錐體，圓錐的底面半徑是4厘米，高是3厘米，利用圓錐的體積公式V＝πr2h代入數(shù)字計算即可。【規(guī)范解答】解：3.14×42×3＝3.14×16＝50.24（立方厘米）答：圓錐的體積是50.24立方厘米?！究疾熳⒁恻c】本題考查了圓錐體積公式的應用。2．（2022春?乳源縣校級月考）求圓錐的體積。（1）底面積40平方分米，高6分米。（2）底面直徑6厘米，高5厘米?！舅悸芬龑А浚?）根據(jù)圓錐的體積公式：V＝Sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可；（2）先求出圓錐的底面半徑，再根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可?！疽?guī)范解答】解：（1）×40×6＝×240＝80（立方分米）答：圓錐的體積是80立方分米。（2）×3.14×（6÷2）2×5＝3.14×15＝47.1（立方厘米）答：它的體積是47.1立方厘米?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查圓錐的體積公式的靈活運用，一定不要忘記乘。3．（2021?黃巖區(qū)）（1）求半圓的周長。（π取3.14）（2）如圖，把一個底面半徑是2dm、高是6dm的圓柱形木料，削成一個由兩個圓錐體組成的零件。每個圓錐的高是原來圓柱高的一半，底面積和原來圓柱的底面積相等。求削去部分的體積。（π取3.14）【思路引導】（1）根據(jù)半圓的周長公式：C＝πd÷2+d，把數(shù)據(jù)代入公式解答。（2）因為等底等底高的圓錐的體積是圓柱體積的，所以削求部分的體積相當于圓柱體積的（1），根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：（1）3.14×4+4×4＝12.56+8＝20.56（厘米）答：半圓的周長是20.56厘米。（2）3.14×22×6×（1）＝3.14×4×6×＝75.36×＝50.24（立方分米）答：削去部分的體積是50.24立方分米?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查半圓周長公式的靈活運用，等底等高的圓柱與圓錐體積之間的關系及應用。關鍵是熟記公式。4．（2021春?海拉爾區(qū)校級期中）求下面圖形的體積。（單位：cm）【思路引導】圓錐的體積：V＝Sh＝πr2h，已知高是21厘米，底面半徑是8厘米，據(jù)此代入公式計算即可解答?！疽?guī)范解答】解：×3.14×82×21＝×3.14×64×21＝1406.72（立方厘米）答：圓錐的體積是1406.72立方厘米。【考察注意點】此題考查了圓錐的體積公式的計算應用，熟記公式是解答本題的關鍵。5．（2021春?北票市期中）求下面零件的體積。（單位：cm）【思路引導】根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式求出大小圓錐的體積差即可?！疽?guī)范解答】解：3.14×（6÷2）2×10﹣3.14×（3÷2）2×5＝3.14×9×10﹣3.14×2.25×5＝94.2﹣11.775＝82.425（立方厘米）答：這個零件的體積是82.425立方厘米?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。6．（2021?溫縣）求如圖三角形繞軸AB旋轉一周所形成的幾何體的體積。【思路引導】根據(jù)圖可知：繞軸AB旋轉一周所形成的幾何體是一個圓錐體，圓錐的底面半徑是4厘米，高是3厘米，進而根據(jù)：圓錐的體積＝πr2h，由此解答即可。【規(guī)范解答】解：×3.14×42×3＝3.14×16＝50.24（立方厘米）答：圍成的幾何體的體積是50.24立方厘米。【考察注意點】靈活掌握圓錐的體積計算公式，是解答此題的關鍵。7．（2021?西和縣）（1）計算下面圓柱的表面積。（2）計算下面圖形的體積?！舅悸芬龑А浚?）根據(jù)圓柱的表面積公式：S表＝S側+S底×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。（2）根據(jù)圓錐的體積公式：V＝r2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【規(guī)范解答】解：（1）3.14×6×10+3.14×（6÷2）2×2＝18.84×10+3.14×9×2＝188.4+56.52＝244.92（平方厘米）答：這個圓柱的表面積是244.92平方厘米。（2）3.14×42×9＝3.14×16×9＝150.72（立方分米）答：這個圓錐的體積是150.72立方分米?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查圓柱的表面積公式、圓錐的體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。8．（2021?沈丘縣）求如圖的體積?！舅悸芬龑А扛鶕?jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：3.14×（4÷2）2×6＝3.14×4×6＝25.12（立方分米）答：這個圓錐的體積是25.12立方分米?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。9．（2021春?虎林市期中）（1）計算圓柱的表面積和體積。（2）計算圓錐的體積?！舅悸芬龑А浚?）根據(jù)圓柱的表面積＝側面積+2個底面積＝底面周長×高+π×半徑的平方×2，以及圓柱的體積＝底面積×高＝πr2h，代入數(shù)據(jù)解答即可；（2）根據(jù)圓錐的體積公式：圓錐的體積＝底面積×高÷3＝πr2h÷3，代入數(shù)據(jù)解答即可?！疽?guī)范解答】解：（1）2×3.14×10×20+3.14×102×2＝3.14×400+3.14×200＝3.14×600＝1884（平方厘米）3.14×102×20＝314×20＝6280（立方厘米）（2）3.14×（10÷2）2×12÷3＝3.14×25×4＝3.14×（25×4）＝3.14×100＝314（立方厘米）【考察注意點】熟練掌握圓柱的表面積公式和圓柱的體積公式以及圓錐的體積公式是解題的關鍵，圓柱的表面積公式：圓柱的表面積＝底面周長×高+π×半徑的平方×2，圓柱的體積＝πr2h，圓錐的體積＝πr2h÷3。10．（2021春?浦城縣期中）求下面各圖形的表面積或體積。（單位：厘米）（1）求表面積。（2）求體積。【思路引導】（1）根據(jù)底面周長是6.28厘米，先求得半徑。再根據(jù)圓的面積＝πr2，求得底面積，側面積＝底面積×高，求得側面積。根據(jù)圓柱的表面積＝圓柱底面積×2+側面積，求得圓柱的表面積。（2）圓柱的體積＝底面積×高，圓柱的體積＝×底面積×高。【規(guī)范解答】解：（1）6.28÷3.14÷2＝6.28÷6.28＝1（厘米）3.14×1×1×2+6.28×15＝6.28+94.2＝100.48（平方厘米）答：圓柱表面積是100.48平方厘米。（2）12÷2＝6（厘米）3.14×6×6×5＝18.84×30＝565.2（立方厘米）×3.14×5×5×9＝3.14×3×25＝3.14×75＝235.5（立方厘米）答：圓柱的體積是565.2立方厘米，圓錐的體積是235.5立方厘米?！究疾熳⒁恻c】本題考查圓柱的表面積和體積以及圓錐的體積。熟記公式是關鍵。11．（2021春?鄒城市期中）計算右面圓錐體的體積。（單位：cm）【思路引導】圓錐的體積＝×底面積×高，代入數(shù)據(jù)計算即可求得?！疽?guī)范解答】解：×3.14×5×5×24＝3.14×25×8＝3.14×200＝628（立方厘米）答：圓錐體的體積是628立方厘米?！究疾熳⒁恻c】本題考查圓錐的體積公式，答題時不要漏了。12．（2021春?惠陽區(qū)期中）計算圖1的表面積和圖2的體積?！舅悸芬龑А扛鶕?jù)圓柱的面積公式：S＝2πrh+2πr2，和圓錐的體積公式：V＝πr2h，代入數(shù)值，計算即可?！疽?guī)范解答】解：2×3.14×2×3+2×3.14×22＝37.68+25.12＝62.8（平方厘米）答：圓柱的表面積是62.8平方厘米?！?.14×（12÷2）2×12＝3.14×36×4＝452.16（立方厘米）答：圓錐的體積是452.16立方厘米?！究疾熳⒁恻c】本題主要考查了圓柱的面積公式和圓錐的體積公式的應用，關鍵是掌握它們的計算公式。13．（2021春?射陽縣月考）看圖列式計算。（單位：厘米）（1）求圓柱的表面積。（2）求圓錐的體積。（3）求下圖模型的表面積?！舅悸芬龑А浚?）根據(jù)圓柱的表面積＝側面積+底面積×2，圓柱的側面積＝底面周長×高，圓的面積公式：S＝πr2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。（2）根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答。（3）由于兩個圓柱粘合在一起，所以上面的小圓柱只求它的側面積，下面的大圓柱求它的表面積，然后合并起來即可?！疽?guī)范解答】解：（1）3.14×6×10+3.14×（6÷2）2×2＝18.84×10+3.14×9×2＝188.4+56.52＝244.92（平方厘米）答：它的表面積是244.92平方厘米。（2）3.14×（5÷2）2×4.5＝×3.14×6.25×4.5＝29.4375（立方厘米）答：它的體積是29.4375立方厘米。（3）3.14×4×4+3.14×8×5+3.14×（8÷2）2×2＝12.56×4+3.14×16×2＝50.24+100.48＝150.72（平方厘米）答：它的表面積是150.72平方厘米?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查圓柱的表面積公式、圓錐的體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。14．（2022春?平邑縣校級期中）看圖計算。（1）計算圓柱的表面積和體積。（單位：dm）（2）計算圓錐的體積?！舅悸芬龑А浚?）根據(jù)圓柱的表面積公式：S表＝S側+S底×2，體積公式：V＝Sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。（2）根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：（1）3.14×8×20+3.14×（8÷2）2×2＝25.12×20+3.14×16×2＝502.4+100.48＝602.88（平方分米）3.14×（8÷2）2×20＝3.14×16×20＝50.24×20＝1004.8（立方分米）答：這個圓柱的表面積是602.88平方分米，體積是1004.8立方分米。（2）×3.14×（10÷2）2×15＝3.14×25×15＝392.5（立方厘米）答：這個圓錐的體積是392.5立方厘米。【考察注意點】此題主要考查圓柱的表面積公式、體積公式、圓錐的體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。15．（2021春?青山區(qū)期中）按要求計算。（1）求圓錐的體積。（2）求圓柱的表面積?！舅悸芬龑А浚?）根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答。（2）根據(jù)圓柱的表面積＝側面積+底面積×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：（1）×3.14×12×2.4＝3.14×1×2.4＝2.512（立方分米）答：這個圓錐的體積是2.512立方分米。（2）3.14×2×25+3.14×（2÷2）2×2＝157+3.14×1×2＝157+6.28＝163.28（平方厘米）答：這個圓柱的表面積是163.28平方厘米?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查圓錐的體積公式、圓柱的表面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。16．（2021春?欒川縣校級期中）把如圖直角三角形ABC以BC邊為軸旋轉一周，得到一個立體圖形，求這個立體圖形的體積？【思路引導】通過觀察圖形可知，直角三角形ABC以BC邊為軸旋轉一周，得到一個底面半徑是6厘米，高是2厘米的圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解答】解：×3.14×62×2＝×3.14×36×2＝75.36（立方厘米）答：這個立體圖形的體積是75.36立方厘米?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。17．（2021春?鄭州期中）（1）求圓柱的表面積（單位：厘米）（2）求圓錐的體積。（單位：分米）【思路引導】（1）根據(jù)圓柱的表面積公式：S表＝2πr2+2πrh，代入數(shù)值計算即可；（2）根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，代入數(shù)值計算即可。【規(guī)范解答】解：（1）2×3.14×62+2×3.14×6×15＝6.28×6×6+6.25×6×15＝37.68×（6+15）＝37.68×21＝791.28（cm2）答：圓柱的表面積為791.28平方厘米。（2）×3.14×（12÷2）2×10＝×3.14×6×6×10＝3.14×2×6×10＝6.28×60＝376.8（dm3）答：圓錐的體積為376.8立方分米?！究疾熳⒁恻c】本題主要考查了圓柱的表面積和圓錐的體積，熟記公式是本題解題的關鍵。18．（2020?大名縣）在一個正方體木塊上挖掉一個圓錐形木塊（如圖），求剩下木塊的體積。【思路引導】根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式求出正方體與圓錐的體積差即可。【規(guī)范解答】解：8×8×8﹣3.14×（6÷2）2×4＝64×8﹣3.14×9×4＝512﹣37.68＝474.32（立方分米）答：剩下木塊的體積是474.32立方分米。【考察注意點】此題主要考查正方體的體積公式、圓錐的體積水果的靈活運用，關鍵是熟記公式。19．（2022春?洪澤區(qū)月考）求圓柱表面積及圓錐體積?！舅悸芬龑А浚?）根據(jù)圓柱的表面積公式：S表＝S側+S底×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。（2）根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！疽?guī)范解