課時(shí)1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理與排列組合一、課標(biāo)要求1．了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義；2．理解排列、組合的概念，能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式；3．能夠運(yùn)用計(jì)數(shù)原理、排列、組合解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．二、知識(shí)梳理1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理名稱完成一件事的策略完成這件事共有的方法數(shù)分類加法計(jì)數(shù)原理有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法N＝_______分步乘法計(jì)數(shù)原理需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法N＝_______2．排列、組合的定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按_______排成一列是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列作為一_______是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合特別地，把n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列．3．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同_______的_______．從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同_______的_______．公式Aeq\o\al(m,n)＝__________________________＝______________n的階乘n?。紸eq\o\al(n,n)＝______________Ceq\o\al(m,n)＝_______＝___________________________＝___________________________規(guī)定0！＝_______Ceq\o\al(0,n)＝_______組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)Ceq\o\al(m,n)＝_______； (2)Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n)＝_______．【拓展知識(shí)】1．解決排列、組合問(wèn)題的常用方法(1)合理分類與準(zhǔn)確分步； (2)特殊元素優(yōu)先安排； (3)相鄰問(wèn)題_______法；(4)不相鄰問(wèn)題_____法； (5)順序一定問(wèn)題_____法． (6)排列、組合混合問(wèn)題先__后__；2．兩個(gè)區(qū)別(1)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問(wèn)題，各類中的方法相互獨(dú)立，每種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各步之間相互依存，只有所有步驟都完成才能做成這件事．(2)排列與組合的區(qū)別排列需要將取出的元素排序，組合只要將元素取出，因此，排列_______序，組合_______序．交換被取出兩元素的順序，若與順序有關(guān)，則是_______；若與順序無(wú)關(guān)，則是_______．3．計(jì)數(shù)原理的推廣如果完成一件事，有n類不同方案，在第1類方案中有eqm\s\do1(1)種不同的方法，在第2類方案中有eqm\s\do1(2)種不同的方法……在第n類方式中有eqm\s\do1(n)種不同的方法，那么完成這件事共有_______種不同的方法．如果完成一件事，需要n個(gè)步驟，做第1步有eqm\s\do1(1)種不同的方法，做第2步有eqm\s\do1(2)種不同的方法……做第n步有eqm\s\do1(n)種不同的方法，那么完成這件事共有______________種不同的方法．三、基礎(chǔ)回顧1．判斷正誤.(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事． ()(2)若兩個(gè)排列中的元素完全相同，則兩個(gè)排列也相同． ()(3)排列數(shù)的意義是“從3個(gè)不同的元素中取2個(gè)元素”． ()(4)若Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(5))＝Ceq\o(\s\up1(n),\s\do1(5))，則n＝3． ()2．電腦調(diào)色板有紅、綠、藍(lán)三種基本顏色，每種顏色的色號(hào)均為0～255，在電腦上繪畫，可以分別從三種顏色的色號(hào)中各選一個(gè)配成一種顏色，那么在電腦上可配成的顏色種數(shù)為 ()A．6 B．27 C．255eq\s\up1(3) D．256eq\s\up1(3)3．在一次考試的選做題部分，要求在第1題的4個(gè)小題中選做3個(gè)小題，在第2題的3個(gè)小題中選做2個(gè)小題，在第3題的2個(gè)小題中選做1個(gè)小題，則不同的選法共有 ()A．84種 B．24種 C．9種 D．6種4．（多選題）下列式子的值等于10的有 ()A．Aeq\o(\s\up1(2),\s\do1(5)) B．eq\f(A\o(\s\up1(3),\s\do1(5)),A\o(\s\up1(3),\s\do1(3))) C．Ceq\o(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(4)) D．Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(6))－Ceq\o(\s\up1(3),\s\do1(5))5．已知直線上有n個(gè)點(diǎn)．從中任取2個(gè)點(diǎn)連成線段，可得到____條線段；從中任取2個(gè)點(diǎn)，分別作為有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)，可得到____個(gè)有向線段．四、考點(diǎn)掃描考點(diǎn)一兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的例1（1）(2024·廣東汕頭市模擬)三個(gè)人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過(guò)4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A.4種 B．6種C．10種 D．16種（2）某生產(chǎn)過(guò)程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中選出4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩名工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩名工人中安排1人，則不同的安排方案共有()A．24種B．36種C．48種D．72種（3）（2024·全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷）在如圖的4×4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有________種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是________．規(guī)律方法：對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（1）如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為eqa\s\do1(1)，eqa\s\do1(2)，…，eqa\s\do1(12)，設(shè)1≤i<j<k≤12．若k－j＝3且j－i＝4，則稱eqa\s\do1(i)，eqa\s\do1(j)，eqa\s\do1(k)為原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，則稱eqa\s\do1(i)，eqa\s\do1(j)，eqa\s\do1(k)為原位小三和弦．則用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為 ()A．5 B．8 C．10 D．15（2）有4名學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，每人限報(bào)一科，則不同的報(bào)名方法有()A．81種 B．64種 C．24種 D．4種考點(diǎn)二排列問(wèn)題例2現(xiàn)有男運(yùn)動(dòng)員4名、女運(yùn)動(dòng)員3名，其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1人．7名運(yùn)動(dòng)員排成一排，求分別滿足下列條件的不同排法的種數(shù)．(1)女運(yùn)動(dòng)員都不相鄰；(2)男隊(duì)長(zhǎng)不站左端，女隊(duì)長(zhǎng)不站右端；(3)男隊(duì)長(zhǎng)必須排在女隊(duì)長(zhǎng)左邊(可不相鄰)．規(guī)律方法：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】（1）(2024·湖北黃岡市模擬)源于探索外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀(jì)獲得了長(zhǎng)足的發(fā)展，太空中的環(huán)境為某些科學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了有利條件，宇航員常常在太空旅行中進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn).在某次太空旅行中，宇航員們負(fù)責(zé)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)要經(jīng)過(guò)5道程序，其中A，B兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實(shí)驗(yàn)不同程序的順序安排共有()A．18種 B．36種C．72種 D．108種（2）(2024·山東濱州市9月聯(lián)考）祖沖之是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家，他是世界上第一個(gè)將“圓周率”精算到小數(shù)點(diǎn)后第七位，即3.1415926和3.1415927之間的人，它提出的“祖率”對(duì)數(shù)學(xué)的研究有重大貢獻(xiàn)．某教師為了幫助同學(xué)們了解，讓同學(xué)們把小數(shù)點(diǎn)后的7位數(shù)字1，4，1，5，9，2，6進(jìn)行隨機(jī)排列，整數(shù)部分3的位置不變，那么可以得到大于3.15的不同數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．328 B．360 C．2160 D．2260（3）（多選題）（2024·浙江新昌中學(xué)期末）某同學(xué)購(gòu)買了一套五行文昌塔擺件(如圖)，準(zhǔn)備一字排開擺放在桌面上，下列結(jié)論正確的有()A．不同的擺放方法共有120種B．若要求“水塔”和“土塔”不相鄰，則不同的擺放方法共有36種C．若要求“水塔”和“土塔”不相鄰，則不同的擺放方法共有72種D．若要求“水塔”和“土塔”相鄰，且“水塔”不擺兩端，則不同的擺放方法共有36種考點(diǎn)三組合問(wèn)題例3（1）（2023?新高考Ⅰ卷）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種（用數(shù)字作答）．（2）(2024·江蘇常州市高三期初測(cè)試)某校在新學(xué)期開設(shè)了“遇見”，“數(shù)學(xué)與生活”，“微積分初步”，“無(wú)限的世界”和“數(shù)學(xué)閱讀與寫作”5門數(shù)學(xué)類校本課程.小明和小華名同學(xué)商量每人選報(bào)2門校本課程.若兩人所選的課程至多有一門相同，且小明一定選報(bào)“遇見”課程，則兩名同學(xué)不同的選課方案有__________種.（用數(shù)字作答）規(guī)律方法：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】（1）（2023?新高考Ⅱ卷）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法做抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）．A.種 B.種C種 D.種（2）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0相鄰的情形有___種；2個(gè)0不相鄰的情形有____種．考點(diǎn)四排列、組合的綜合應(yīng)用例4(1)（2023?全國(guó)甲卷?理科）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）A.120 B.60 C.40 D.30(2)(202